Решение 30 задач. Бросаются три игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма числа очков не меньше 3, но не превосходит 6

Задача 1

Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что :

а. сумма числа очков не превосходит 5;

b. произведение числа очков не превосходит 8;

с. произведение числа очков делится на 9.

Задача 2

Бросаются три игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма числа очков не меньше 3, но не превосходит 6.

Задача 3

Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий 1-го сорта равно 2, 2-го сорта – 5, 3-го сорта – 2 и 4-го сорта – 1. Для контроля наудачу берутся 6 изделий. Определить вероятность того, что среди них 1 первосортное, 3 второсортных, 1 третьесортное и 1 четырехсортное.

Задача 4

Среди 11 билетов 8 выигрышных. Найдите вероятность того, что среди 4 билетов 3 выигрышных.

Задача 5

Среди 8 лотерейных билетов 5 выигрышных. Наудачу взяли 4 билета. Определить вероятность того, что среди них от 1 до 2 выигрышных.

Задача 6

В лифт 6-этажного дома сели 4 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этажа. Определить вероятность того, что:

а. все вышли на разных этажах;

b. по крайней мере, двое сошли на одном этаже.

Задача 7

В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину 1/5.

Задача 8

В круге радиуса R=13 наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадет в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны  S₁=2,5 и S₂=3,5.

Задача 9

Два студент условились встретиться в определенном месте между 12 и 12,5 часами одного и того же дня. Пришедший первый ждет второго 15 минут, после чего уходит. Найдите вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 12,5 часов).

Задача 10

Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени от 16:00 до 17:00. Одно из событий длится 10 мин., другое 5 мин. Определить вероятность того, что:

а. события «перекрываются» по времени;

b. «не перекрываются».

Задача 11

Наугад взяты два положительных числа, каждое из которых не больше 2. Какова вероятность того, что их сумма не превзойдем 2, а произведение будет не больше ¾.

Задача 12

Физическая система, состоящая из определенным образом соединенных элементов (деталей, узлов) работает в течение фиксированного интервала времени. Предполагая, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями, вычислите вероятность безотказной работы системы, изображенной на рисунке.

Соответствующие вероятности безотказной работы равны р₁=0,91, р₂=0,80, р₃=0,70, р₄=0,65, р₅=0, р₆=0,70, р₇=0,60, р₈=0,81, р₉=0. Участок цепи, где вероятность равна нулю, считается разорванным.

Задача 13

Определите вероятность отказа технической системы, состоящей из последовательно соединенных узлов, работающих независимо друг от друга, если вероятности безотказной работы этих узлов равны р₁=0,85, р₂=0,90, р₃=0,95.

Задача 14

В двух партиях 82% и 36% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а. хотя бы одно бракованное;

b. два бракованных;

с. одно доброкачественное и одно бракованное?

Задача 15

Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком 0,75, вторым – 0,41. Первый сделал 3 выстрела, второй – 2 выстрела. Определить вероятность того, что цель не поражена.

Задача 16.

Два игрока А и В поочередно бросают монеты. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадает герб. Первый бросок делает игрок А, второй – В, третий – А и т.д.

а. Найти вероятность выигрыша В до 5-го броска.

b. Какова вероятность выигрыша для каждого игрока при сколь угодно длительной игре?

Задача 17

Урна содержит М=6 занумерованных шаров с номерами от 1 до 6. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события:

А – номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1,2,3,…6;

В – хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения;

С – нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения.

Определить вероятности событий А, В, С. Найти предельные значения вероятностей при бесконечном увеличении числа шаров.

Задача 18

В двух урнах соответственно 6 белых, 3 черных и 5 белых, 4 черных шаров. Из второй урны перекладывают в первую 2 шара, после чего из первой урны берут 2 шара. Какова вероятность того, что эти последние шары – белые.

Задача 19

В двух урнах соответственно 20 белых, 1 черный и 20 белых, 4 черных шаров. Из первой во вторую переложено 15 шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны – черный.

Задача 20

В альбоме 8 чистых и 3 гашеных марок. Из них наудачу извлекаются 2 марки (среди которых могут быть и чистые и гашеные), подвергаются гашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекается 2 марки. Определить вероятность того, что все 2 марки чистые.

Задача 21

В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем 1-й завод поставляет 50% изделий, 2-й – 30% изделий, 3-й – 20% изделий. Среди изделий 1-го завода 70% изделий первосортных, 2-го завода – 80% первосортных и 3-го завода – 90% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено 2-ым заводом.

Задача 22

Число отечественных автомобилей превышает число иномарок в 3 раз. Отечественная машина ломается в среднем 6 раз чаще иномарки. В автосервисе появилась сломанная машина. Найдите вероятность того, что сломанная машина оказалась отечественной.

Задача 23

Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет 8 раз. Определить вероятность того, что цифра выпадет 3 раза.

Задача 24

Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,40. Найдите

а. вероятность того, что среди отобранных 8 деталей число стандартных деталей больше 2 , но не больше 8;

b. наивероятнейшее число появлений стандартной детали из 8 отобранных и вероятность этого числа.

Задача 25

Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,4. Куплено 12 билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышных билетов и соответствующую вероятность.

Задача 26

На каждый лотерейный билет с вероятностью 0,11 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью 0,20 – мелкий выигрыш и с вероятностью 0,69 билет может оказаться без выигрыша. Куплено 14 билетов. Определить вероятность получения 2 крупных выигрыша и 2 мелких.

Задача 28

Вероятность «сбоя» при телефонном вызове равна 0,0008. Найдите вероятность того, что при 2300 вызовах будет не меньше 2 и не больше 5 «сбоев».

Задача 29

В течение часа на станцию техобслуживания поступает в среднем 1,2 заявок на ремонт топливной системы двигателя и 0,8 заявок на ремонт двигателя. Найдите вероятность того, что в течение 4 часов придет 6 заявок на ремонт топливной системы или 3 заявки на ремонт двигателя (потоки заявок считать простейшими).

Задача 30

Вероятность наступления некоторого события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,70. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству m ≤ 290.