Решение 30 задач. Среди 13 билетов 5 выигрышных. Найдите вероятность того, что среди 5 билетов 2 выигрышных

№1.Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что:

1. Сумма числа очков не превосходит 6;
2. Произведение числа очков не превосходит 18;
3. Произведение числа очков делится на 8

№2. Бросается три игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма числа очков не меньше 3, но не превосходит 7.

№3. Имеются изделия четырех сортов, причем изделий 1-го сорта равно 2, 2-го  сорта – 4, третьего сорта – 5, четвертого сорта – 1. Для контроля берутся 8 изделий. Определить вероятность того, что среди них 2 первосортных, 2 изделия второго сорта, 3 – третьего сорта и 1 – 4-го сорта.

№4. Среди 13 билетов 5 выигрышных. Найдите вероятность того, что среди 5 билетов 2 выигрышных.

№5. Среди 8 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу взяли 3 билета. Определить вероятность того, что среди них от 1 до 2 выигрышных.

№6. В лифт 11-этажного дома сели 4 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что:

1. все вышли на разных этажах;
2. По крайней мере, двое сошли на одном этаже.

№7. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину

№8. В круге радиуса 14 наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны 2,6 и 5,6.

№9. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 12  часами одного и того же дня. Пришедший первым ждет второго 20 минут, после чего уходит. Найдите вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода ( промежутке  от 12 до 12 часов)

№10. Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени от 16:00 до 17:30. Одно из событий длится 10 мин, другое – 15 мин. Определить вероятность того, что:

1. События «перекрываются» по времени;
2. «не перекрываются»

№11. Наугад взяты два положительных числа, каждое из которых не больше 2. Какова вероятность того, что их  сумма не превзойдет 2, а произведение будет не меньше 33/49

№13. В автопарке 35 автомобилей, из которых 10 прошли капитальный ремонт. Найдите вероятность того, что из 3 машин, вышедших на линию, хотя бы одна еще не была в капительном ремонте.

№14. В двух партиях  83 и  35% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

1. Хотя бы одно бракованное;
2. Два бракованных;
3. Одно доброкачественное и одно бракованное?

№15. Вероятность того,  что цель поражена при одном выстреле первым стрелком 0,61, вторым – 0,55. Первый сделал 2, второй – 3 выстрела. Определить вероятность того, что цель не поражена.

№16. Два игрока А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок А, второй – В, третий – А и т.д.

1. Найти вероятность выигрыша А до 5-го броска.
2. Каковы вероятности выигрыша для каждого игрока при сколь угодно длительной игре?

№17. Урна содержит 5 занумерованных шаров с номерами от 1 до 5. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события:

А. номера шаров в порядке поступления образуют последовательность

1,2, …5

В. Хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения;

С. Нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения.

Определить вероятности событий А, В, С. Найти предельные значения вероятностей при бесконечном увеличении числа шаров.

№18. В двух урнах соответственно 4 белых, 6 черных и 3 белых, 7 черных шаров. Из второй урны перекладывают в первую 3 шара, после чего из первой урны берут 2 шара. Какова вероятность того, что эти последние шары – черные.

№19.  В двух урнах соответственно 6 белых, 4 черных и 1 белый, 7 черных шаров. Из первой во вторую  переложено 2 шара, затем  из второй урны извлечен один шар. Определить  вероятность того, что выбранный из второй урны шар  – белый.

№20. В альбоме 11 чистых и 8 гашеных марок. Из них наудачу извлекается 2 марки (среди которых могут быть и чистые, и гашеные), подвергаются гашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекается 5 марок. Определить вероятность того, что все 5 марок чистые.

№21. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем первый завод поставляет 40% изделий, второй – 30%, третий – 30%. Среди изделий первого завода 80% первосортных, среди изделий второго завода 60% первосортных, среди изделий третьего завода – 90% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено первым заводом.

№22. Число отечественных автомобилей превышает число иномарок в 3,6 раз. Отечественная машина ломается в среднем в 2,8 раз чаще иномарок. В автосервисе появилась сломанная машина. Найдите вероятность того, что сломанная машина оказалась иномаркой.

№23. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет 6 раз. Определить вероятность того, что цифра выпадет 4 раза.

№24. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,85. Найдите:

1. Вероятность того, что среди отобранных 9 деталей число стандартных деталей больше 6, но не больше 9
2. Наивероятнейшее число появлений стандартной детали из 9 деталей и вероятность этого числа.

№25. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,4. Куплено 12 билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

№26. На каждый лотерейный билет с вероятностью 0,18 может выпасть крупный выигрыш с вероятностью 0,12 – мелкий выигрыш и с вероятностью билет может оказаться без выигрыша. Куплено 15 билетов. Определить вероятность получения 3 крупных выигрышей и 1 мелкого.

№27. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,020. Поступило 200 вызовов. Определить вероятность 7 сбоев.

№28. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,0050. Найдите вероятность того, что при 1400 вызовах будет не меньше 7 и не больше 9 «сбоев».

№29. В течение часа на станцию техобслуживания поступает в среднем 1,5 заявки на ремонт топливной системы двигателя и 1,0 заявка на ремонт двигателя. Найдите вероятность того, что в течение 6 часов придет 8 заявок на ремонт топливной системы или 5 заявок на ремонт двигателя (потоки заявок считать простейшим).

№30. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых событий равна 0,60. Определить вероятность того, что число М наступлений события удовлетворяет неравенству: