Ответы на билеты по высшей математике

Множества, точная верхняя и нижняя грань.
Множество — одно из ключевых понятий математики; это предельно общее понятие, поэтому его нельзя строго определить через другие математические понятия. Нестрого можно пояснить, что множество — это набор, совокупность, собрание каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества и обладают общим для всех их характеристическим свойством. Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики.
Примеры: множество жителей заданного города, множество непрерывных функций, множество решений заданного уравнения.
Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным.
Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань) — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.
Точная верхняя и нижняя грани множества X обычно обозначаются supX (читается супремум икс) и infX (читается инфимум икс) соответственно.
2. Взаимно-однозначные функции
Для любых x1 и x2 из области определения так, чтобы f(x1)≠fx2 называется взаимно – однозначной.hy=x, ∀yϵVf, xϵDf, y=f(x) – обратная функция.
Монотонная функция — это функция, которая всё время либо не убывает, либо не возрастает. Более точно, это функция f, приращение которой ∆f=fx'-f(x) при ∆x=x'-x>0 не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное.
Функцию y=fx, x∈X называют чётной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство f-x=f(x).Функцию y=f(x), x∈X называют нечётной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство f(-x)=-f(x).
Периодическая функция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (периода функции) на всей области определения.
Всякая функция f, которая может быть задана с помощью формулы y = f(x), содержащей лишь конечное множество арифметических операций над основными элементарными функциями и композиций, называется элементарной функцией.
3. Бесконечно малые функции.
Функция, определенная на проколотой окрестности Ux0 называется бесконечно малой функцией в окрестности точки x0, если для ∀ε>0 существует ∃σ>0 такое, что для ∀x∈Ux0αx>ε. x-x0<σ, x≠x0-проколотая окрестность.Примеры:
1) αx≡0 ∀x0 αx<ε
2) y=x-x0 в окрестности точки x0 ∀ε>0 ∃σ=ε x-x0<σ=εТеорема о сумме бесконечно малых функций.
Сумма двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
Доказательство. Пусть ε > 0 – произвольно малое число; α(x) и β(x) – бесконечно малые функции при x→a. Тогда существуют такие положительные числа δ1 и δ2, что условия
x-a<δ1 и x-a<δ2влекут за собой соответствующие неравенства
α(x)<ε2 и β(x)<ε2Если δ=minδ1, δ2, то условие x-a<δ перекрывает оба условия и, следовательно,
αx+β(x)≤...