Применение дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных к решению задач на экстремум

Экстремальной задачей в математике называют задачу на максимум или минимум (экстремум) функции по переменным, удовлетворяющим, возможно, некоторым ограничениям. С простейшими задачами нас знакомят еще в школе. Для того чтобы понять место экстремальных задач в современном мире, целесообразно проследить историю их развития.
    Экстремальными задачами человек интересуется с античных времен. В Древней Греции уже давно знали об экстремальных свойствах круга и шара: среди плоских фигур с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет круг; шар имеет максимальный объем среди пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности. 
    Задачами на нахождение экстремума занимались многие античные ученые такие как Евклид, Архимед, Аристотель и др. Известна следующая задача Евклида: а заданный треугольник ABC  (рис 1.) вписать параллелограмм ADEF наибольшей площади. Нетрудно доказать, что решением этой задачи является параллелограмм, вершины D,E,F которого делят соответствующие стороны треугольника пополам. 
    Если в античные времена экстремальные задачи исследовались только геометрическими методами и каждая задача для своего решения требовала специфического приема, то в XVII веке появились общие методы изучения экстремальных задач, которые привели к созданию дифференциального и интегрального исчислений. 
С экстремальными задачами связано и зарождение основ другого раздела современной математики – функционального анализа. В 1696 году И. Бернулли опубликовал статью с предложением ко всем математикам решить следующую задачу. В вертикальной плоскости заданы две точки, не лежащие на одной вертикали. Нужно соединить точки такой непрерывной линией, чтобы тяжелый шарик, скатываясь по ней без сопротивления, проходил путь от верхней точки до нижней за наименьшее время. Через год эту задачу, называемую теперь задачей о брахистохроне, решили И. Ньютон, Я. Бернулли, Г.В. Лейбниц и сам И. Бернулли.
Теория экстремальных задач в XVIII-XIX веках играла большую роль и в других разделах науки, особенно в механике и физике.
    С конца XVII до середины XX века теория экстремальных задач прошла огромный путь. В ее развитии приняли участие почти все великие математики прошлого. Экстремальными задачами занимались Х. Гюйгенс, К.Ф. Гаусс, А.М, Лежандр, П.Г. Дирихле, Б. Риман, У.Р. Гамильтон и многие другие. К середине XX века создалось впечатление, что теория экстремальных задач достигла такого уровня, который позволяет решить любую задачу, возникающую в науке или на практике.  Но в экономике и технике стали возникать задачи, для решения которых практический опыт и здравый смысл оказывались уже недостаточными. Это было связано с увеличением возможных вариантов выбора, ужесточением требований к точности решения, с ограничениями на доступные ресурсы. 
    С начала 50-х годов новый раздел экстремальных задач стал называться линейным программированием и явился первым разделом современной теории решения экстремальных задач, которая отличается от классической теории экстремальных задач наличием в ней методов решения задач с нестрогими неравенствами и порождаемыми последними замкнутыми множествами. В след за линейным программированием возникла и теория оптимизации процессов.
    Теория экстремальных задач продолжает развиваться и в наши дни. В последние годы возникли и сейчас находятся в центре внимания математиков три направления: большие экстремальные задачи, негладкие экстремальные задачи, задачи оптимизации в условиях неопределенности. [1]

    Таким образом, можно сделать вывод, что теория экстримальных задач всегда была важна и давала все новые возможности решения задач. 
Актуальность. В данной работе будут рассмотрены основные вопросы дифференциального исчисления функций одной или нескольких переменных в решении задач на экстремум. Работа являетя актуальной, так как экстремальные задачи одна из важнейших тем математического анализа, глубокое изучение которой важно как для старшеклассников, так и для студентов ВУЗов. 
Цель: Изучение функций одной или нескольких переменных, решение экстремальных задач.