Контрольная работа по Математике на тему: "Теория вероятностей и математическая статистика"

Контрольная работа № 1  вариант 7

Транспортная задача

Имеются 3 пункта поставки однородного груза А₁, А₂ и пять пунктов его потребления В₁, В₂, В₃, В₄, В₅. Известны вектор запасов отправителей (500; 600) и вектор потребностей получателей (150; 200; 170; 180; 230).

Расстояния между пунктами поставки и пунктами потребления задается матрицей С:

С = (850 730  670  880  650)
       (320  340 580  440  310)

Найти такой план перевозки Х груза, чтобы общие затраты по перевозкам были минимальными. Начальный опорный план найти всеми известными методами и выбрать наилучший план.
 

Контрольная работа № 2

Системы случайных величин

Найти корреляционную матрицу двумерной случайной величины (x₁, x₂), если плотность вероятностей

p_s1s2 (x;y) = 2/ П(x² y² +1)³

 

Контрольная работа № 3

Функция дискретной случайной величины

Случайные величины x и η независимы и имеют ряды распределения

Найти ряд распределения величины ζ=1+2x + 3η, ее функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.
 

Контрольная работа № 4

Функция непрерывной случайной величины

Случайная величина x подчиняется нормальному закону распределения. Определить математическое ожидание случайной  величины η, если

η = a²  -2aζ / 2Q²
 

Контрольная работа № 5

Цепи Маркова

Дана матрица

p= (0,6  0,1  0,3)
     (0,1  0,7  0,2)
     (0,2  0,2  0,6)

 вероятностей перехода цепи Маркова. Распределение по состояниям в момент t=0 определяется вектором q^p= (0,6  0,1  0,3). Найти:

1. Распределение по состояниям в момент t=2.

2. Вероятность того, что в моменты t=0, 1, 2 состояниями цепи будут соответственно 2, 1, 3 состояния.

3. Стационарное (предельное) распределение вероятностей.

 

Контрольная работа № 6

Стационарные случайные процессы

На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением 5η'(t) + η(t) = 2ζ'(t) + 3ζ(t), подается стационарная случайная функция x(t) с математическим ожиданием Mx= –1 и корреляционной функцией R_x(t)= 2e^–2|t|(1+2|t|).

Найти:

1. Математическое ожидание Мη

2. Дисперсию Dη

3. Корреляционную функцию R_η(t) на выходе системы в установившемся режиме.

 

Контрольная работа № 7

Математическая статистика

Задание 1. Первичная обработка выборок

1.1. По выборке А вычислить относительные и накопленные частоты, построить полигон и гистограмму, составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график, вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочное среднее, дисперсию, стандартное отклонение. Найти моду и медиану.

Выборка А (n=95)

1.2. По выборке В вычислить относительные и накопленные частоты, построить полигон и гистограмму, вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочное среднее, дисперсию, стандартное отклонение.

Выборка В (n= 194)

1.3. Для случайных величин X, Y, Z выборки С найти числовые характеристики: выборочное среднее, дисперсию, стандартное отклонение.

Выборка С (n=20)

Задание 2. Точечное оценивание

2.1. Пусть случайная величина имеет распределение Пуассона. Используя метод моментов и метод максимального правдоподобия получения точечных оценок, найти по выборке А значение оценки l неизвестного параметра l.

2.2. Пусть случайная величина имеет нормальное распределение. Используя метод моментов и метод максимального правдоподобия получения точечных оценок, найти по выборке В значения оценок a, s. неизвестных параметров a, s.
 

Задание 3. Интервальное оценивание

Пусть генеральная совокупность имеет нормальное распределении. Из генеральной совокупности сделана выборка В. Найти доверительные интервалы для оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения при доверительной вероятности 0,95.
 

Задание 4. Статистическая проверка гипотез

По выборке С случайной величины Y при уровне значимости a=0,05 проверить гипотезу о среднем значении H₀: а =а₀ = 188 при альтернативной гипотезе  Н₁: а > 205.

4.2. По выборке С случайной величины Z при уровне значимости a = 0,1 проверить гипотезу о дисперсии Н₀: s²= s²₀ = 1943  при альтернативной гипотезе  Н₁: s² >1943

4.3. По выборке А при уровне значимости a = 0,05 проверить гипотезу о распределении Пуассона генеральной совокупности.

4.4. По выборке В при уровне значимости a = 0,1 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

 

Задание 5. Корреляционный анализ

По двум столбцам X, Y и Z выборки С определить матрицу выборочных коэффициентов парной корреляции с учетом их значимости (принять уровень значимости a=0,05). Если коэффициент значим, сделать вывод о направлении и тесноте связи между случайными величинами. Построить корреляционные поля и линии регрессии.

 

Задание 6. Дисперсионный анализ

По выборке D проверить с уровнем значимости a=0,01 гипотезу о равенстве средних значений для всех уровней факторов F (о значимости влияния фактора F).

Выборка D7

N  F1  F2  F3  F4  F5  F6
1  19  27  29  43   17   8
2  35  38  37  39  31
3  25  36  29  22  12
4  43  44  25  36  24
5         11 22   23
6         33
7         19
 

Задание 7. Регрессионный анализ

По выборке Е провести регрессионный анализ: определить параметры модели y(x) = b₀ + b₁ * x₁ + b₂ * x₂ по методу наименьших квадратов, проверить гипотезы об однородности дисперсии, значимости параметров модели, адекватности модели (для всех вариантов принять a=0,05 ).

Выборка E7

N  X1  X2  Y1 Y2 Y3
1  0  0  182 176  191
2  -1  0 210 202 194
3  1  0 167  147  178
4  0  -1  168 170 166
5 0  1   202 193  196
Для вычисления коэффициентов уравнения регрессии

y(x) = b₀ + b₁ x₁ + b₂x₂

и других характеристик множественной регрессии использовать режим Регрессия табличного процессора Excel.