Пара сил

Содержание
1.Пара сил.
2.Теорема о сумме моментов пары сил.
3.Теорема об эквивалентности пар сил.
4.Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость.
5.Теорема о сложении пар сил.
6.Условия равновесия пар сил. Сила равновесие плоскость
Заключение
Список литературы

1. Пара сил

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных
и направленных в противоположные стороны сил, действующих на
абсолютно твердое тело.
Плоскостью действия пары сил называется плоскость, в которой
расположены эти силы.
Плечом пары сил d называется кратчайшее расстояние между линиями
действия сил пары.
Моментом пары сил называется вектор M , модуль которого равен
произведению модуля одной из сил пары на ее плечо и который направлен
перпендикулярно плоскости действия сил пары в ту сторону, откуда пара
видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки. dFM1

Рис. 1.1

2. Теорема о сумме моментов пары сил.

Сумма моментов сил, входящих в состав пары, относительно любой
точки не зависит от выбора этой точки и равна моменту этой пары сил.
),()()(212010FFMFMFM
Выбираем произвольно точку О, проводим из нее в точки А и В
радиус-векторы (Рис. 1.2).
21FF , ABrr12

),()()(
)()(

21

22212
212222112010
FFMFMFABFrr
FrFrFrFrFMFM
A


Рис. 1.2

Две пары сил, имеющие одинаковые векторные моменты, эквивалентны,
то есть оказывают на тело одинаковое механическое действие.

3. Теорема об эквивалентности пар сил.

Пару сил, действующую на твердое тело, можно заменить другой парой
сил, расположенной в той же плоскости действия и имеющий одинаковый с
первой парой момент.

Эквивалентность пар:
- действие пары сил на твердое тело не
изменится, если переместить пару в другое
положение в плоскости ее действия,
- плоскость ее действия переместить
параллельно самой себе,
- любым образом изменить модули сил и
плечо пары, сохранив неизменным их
произведение, то есть момент пары M=F · d.

На твердое тело действует пара сил ),(21FF . Перенесем силу 1F в точку
1O , а силу 2F в точку 2O . Проведем через точки 21,OO две любые
параллельные прямые, пересекающие линии действия сил пары. Соединим
точки 21,OO отрезком прямой и разложим силы 1F в точке 1O и 2F в точке 2O

по правилу параллелограмма.

111FFF
222FFF
Так как 21FF , то
21FF и 21FF
Поэтому ),(21FF эквивалентна системе ),,,(2121FFFF , а эта система
эквивалентна системе ),(21FF , так как ),(
21FF
эквивалентна нулю.

Таким образом, заданную пару сил ),(21FF заменили другой парой сил
),(21FF .
Момент исходной пары сил ),(21FF численно равен площади
параллелограмма 21ABOO , а момент пары сил ),(21FF численно равен площади
параллелограмма 21CDOO . Но площади этих параллелограммов равны, так как
площадь треугольника ACO1 равна площади треугольника BDO2 .

4. Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость.
Действие пары сил на твердое тело не изменится от переноса этой пары
в параллельную плоскость.
На твердое тело действует пара сил ),(21FF в плоскости 1П . Из точек
приложения сил А и В опустим перпендикуляры на плоскость 2П и в точках
их пересечения с плоскостью 2П приложим две системы сил ),(11FF и ),(22FF ,
каждая из которых эквивалентна нулю.

11FF 22FF 11FF 22FF

Сложим две равные и параллельные силы 1F и 2F . Их
равнодействующая R параллельна этим силам, равна их сумме и приложена
посредине отрезка 1AB в точке О.
Сложим две равные и параллельные силы 2F и 1F . Их
равнодействующая R параллельна этим силам, равна их сумме и приложена
посредине отрезка 1BA в точке О.
Так как RR , то система сил ),(RR эквивалентна нулю и ее можно
отбросить.
Таким образом пара сил ),(21FF эквивалентна паре сил ),(21FF , но
лежит в другой, параллельной плоскости.
Момент пары сил, действующий на твердое тело, есть свободный
вектор.
Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело,
эквивалентны, если они имеют одинаковые по модулю и направлению
моменты.

5. Теорема о сложении пар сил.

Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, и лежащие в
пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой
сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил. 21MMM

Имеются две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях.
Пара сил ),(11FF в плоскости 1П характеризуется моментом 1M , а пара сил
),(22FF в плоскости 2П характеризуется моментом 2M .
Расположим пары сил так, чтобы плечо пар было общим и
располагалось на линии пересечения плоскостей. Складываем силы,
приложенные в точке А и в точке В, 21FFR 21FFR . Получаем пару
сил ),(RR .
212121)(MMFBAFBAFFBARBAM

6. Условия равновесия пар сил.

Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно
расположенных в пространстве, то последовательно применяя правило
параллелограмма к каждым двум моментам пар сил, можно любое
количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент
которой равен сумме моментов заданных пар сил.
iMM

Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и
достаточно, чтобы момент эквивалентной пары сил равнялся нулю. 0M
Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и
достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций моментов пар сил на
каждую из трех координатных осей была равна нулю.

0ixxMM 0iyyMM 0izzMM

Заключение

Пару сил как жесткую фигуру можно как угодно поворачивать и
переносить в ее плоскости действия.
У пары сил можно изменять плечо и силы, сохраняя при этом момент
пары и плоскость действия.
Не изменяя действия пары сил на тело, пару сил можно переносить в
любую плоскость, параллельную плоскости её действия, а также изменять её
силу и плечо, сохраняя неизменными модуль и направление её момента

Список литературы
1. Яблонский А.А., В.М.Никифорова Курс теоретической механики.

Учеб.пособие для вузов: 13-е изд., исправ.-М.: Интеграл-
Пресс,2009.-603с.
2. Айзенберг, Т. Б. Руководство к решению задач по теоретической
механике / Т. Б. Айзенберг, И. М. Воронков, В. М. Осецкий. – Изд.6-
е.– М. : Высш. шк., 1968. – 392 с.