Виды погрешностей и законы их определения

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ -------------------------------------------------------------------------------- 3
1. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ ПОГРЕШНОСТИ, ЗАКОНЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1.1 Понятие погрешности ------------------------------------------------------------ 5
1.2 Классификация погрешностей ------------------------------------------------- 5
1.3 Законы определения погрешностей ------------------------------------------ 10
2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПОГРЕШНОСТЕЙ НА АВТОТРАНСПОРТЕ ------------------------------------- 14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ --------------------------------------------------------------------------- 19
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ --------------------------------------------------------------- 21

ВВЕДЕНИЕ
В практике использования измерений очень важным показателем становится их точность, которая представляет собой ту степень близости итогов измерения к некоторому действительному значению, которая используется для качественного сравнения измерительных операций. А в качестве количественной оценки, как правило, используется погрешность измерений. Причем чем погрешность меньше, тем считается выше точность.
Согласно закону теории погрешностей, если необходимо повысить точность результата (при исключенной систематической погрешности) в 2 раза, то число измерений необходимо увеличить в 4 раза; если требуется увеличить точность в 3 раза, то число измерений увеличивают в 9 раз и т. д.
Актуальность темы обусловлена тем, что процесс оценки погрешности измерений считается одним из важнейших мероприятий в вопросе обеспечения единства измерений. Естественно, что факторов, оказывающих влияние на точность измерения, существует огромное множество. Следовательно, любая классификация погрешностей измерения достаточно условна, поскольку нередко в зависимости от условий измерительного процесса погрешности могут проявляться в различных группах.
Цель работы состоит в том, чтобы правильно раскрыть тему реферата "Виды погрешностей и законы их определения".
Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи: рассмотреть понятие погрешности, разобрать виды погрешностей, изучить методы и законы их определения, изучить практическое применение измерения погрешностей в автомобильном транспорте.
Методологической основой работы стали инструктивно-методические материалы, труды ведущих ученых по статистике, метрологии, стандартизации и сертификации.
В работе использованы труды таких теоретиков, как Сергеев А.Г., Луканин В.Н., Гончаров А.А., Аристов А.И., Димов Ю.В., Зайцев С.А., Тартаровский Д.Ф., Ястребов А.С., Якорева А.С. и др.
Реферат имеет следующую структуру: введение, две главы, заключение и список литературы.
1. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ ПОГРЕШНОСТИ, ЗАКОНЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1.1 Понятие погрешности
Погрешность измерения — оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.
Поскольку выяснить с абсолютной точностью истинное значение любой величины невозможно, то невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. На практике вместо истинного значения используют действительное значение величины, то есть значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него. Такое значение, обычно, вычисляется как среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2,8±0,1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2,7 с. до 2,9 с. некоторой оговорённой вероятностью [2].
1.2 Классификация погрешностей
Многообразие свойств погрешностей и та определяющая роль, которую они играют в статистике и метрологии, порождают соответствующее многообразие подходов к их классификации по видам и свойствам.
1) Методические и инструментальные погрешности. Разделение влияния на погрешности алгоритмов измерений и технических средств, реализующих эти алгоритмы, привело к разделению погрешностей на методические и инструментальные (аппаратные). Традиционная метрология, хотя и давно пользуется данным разделением погрешностей на два вида, не дает им однозначного определения, ограничиваясь утверждениями, что инструментальные погрешности обусловлены несовершенством используемой при измерениях аппаратуры, а методические - принятыми методами (алгоритмами) измерений. Указанная неоднозначность определений приводит к тому, что в некоторых работах по метрологии вообще отказываются от использования подобного разделения. Это, конечно, неправильно и непродуктивно, т.к. разделение полной погрешности на методическую и инструментальную позволяет соотнести предельные возможности по точности, предоставляемые принятым алгоритмом измерений, с реальной точностью, обеспечиваемой при реализации этого алгоритма техническими средствами [7].
Различие причин, порождающих методические и инструментальные погрешности, приводит к тому, что применительно к конкретному сочетанию алгоритма измерений и средств его реализации их приходится определять различными способами:
- методические погрешности определяются на модельной основе (модели алгоритма измерений, входного воздействия и условий составляют априорные знания) с использованием расчетных соотношений или имитационного эксперимента;
- инструментальные - только с помощью метрологического эксперимента с использованием эталонных средств. При этом разделение полной погрешности на методические и инструментальные зависит от состава априорных знаний, которые при этом используются.
Исходя из того, что на первом этапе выбирается алгоритм измерений, а затем технические средства для его реализации, можно утверждать, что для принятого алгоритма максимально достижимая точность характеризуется методической погрешностью, т.к. при выполнении измерений технические средства вносят дополнительные (инструментальные) погрешности. Целесообразно обеспечивать примерное равенство роли методических и инструментальных погрешностей. Таким образом, разделение погрешностей на методические и инструментальные позволяет обеспечивать желаемое соотношение между точностью, характеризуемой полной погрешностью, и расходом материальных ресурсов на создание аппаратных средств.
2) Систематические и случайные погрешности. Систематическая и случайная погрешности в сумме, как методическая и инструментальная, составляют полную погрешность.
Разделение полной погрешности на систематическую и случайную имеет целью исключение первой из результата измерений (коррекцию). При рассмотрении операции квантования фигурировали разные варианты-соотнесения результата с характеристиками кванта.
Как и полная погрешность на систематическую и случайную погрешности могут быть разделены методическая и инструментальная погрешности [5].
Определение систематической погрешности требует специальной организации метрологического эксперимента. Так, если при экспериментальном определении полной погрешности требуется выполнить однократное сопоставление результата измерений с результатом, получаемым с помощью эталонного средства, что позволяет получить оценку, то для определения систематической погрешности необходимо выполнить совокупность метрологических экспериментов и на их основе сформировать оценку.
Процедура оценивания погрешностей и характеристик погрешностей результатов измерений с использованием эталонных средств называется метрологическим экспериментом.
3) Стабильные и нестабильные погрешности. Еще один способ разложения полной погрешности заключается в ее представлении в виде суммы стабильной и нестабильной составляющих:
- стабильная погрешность, изменение которой на интервале измерений пренебрежимо мало.
В данном случае равенство суммы стабильной и нестабильной составляющих полной погрешности, как и при определении случайной и систематической погрешностей достигается определением второго компонента (нестабильной) в виде разности.
Цель данной классификации аналогична цели разделения полной погрешности на систематическую и случайную, а именно - обеспечение возможности подавления (коррекции) одной из составляющих (стабильной) [13].
Отличие стабильной погрешности от систематической в том, что последняя постоянна на множестве измерительных экспериментов, а нестабильная - только на интервале одного измерения.
4) Статические и динамические погрешности. Результат измерений зависит от характера изменения измеряемой величины на интервале измерений. Это обусловлено инерционностью используемых для выполнения измерений технических средств.
Статическая погрешность - погрешность при измерении постоянной по времени величины. Например, погрешность измерения неизменного за время измерения напряжения постоянного тока.
Динамическая погрешность - погрешность измерения изменяющейся во времени величины. Например, погрешность измерения коммутируемого напряжения постоянного тока, обусловленная переходными процессами при коммутации, а также ограниченным быстродействием измерительного прибора [3].
5) Основные и дополнительные погрешности. Основная погрешность - погрешность, возникающая в нормальных условиях применения средства измерения (температура, влажность, напряжение питания и др.), которые нормируются и указываются в стандартах или технических условиях.
Дополнительная погрешность обуславливается отклонением одной или нескольких влияющих величин от нормального значения. Например, изменение температуры окружающей среды, изменение влажности, колебания напряжения питающей сети. Значение дополнительной погрешности нормируется и указывается в технической документации на средства измерения.
6) Аддитивные и мультипликативные погрешности. При организации измерений и выборе способов повышения точности необходимо знать, зависит погрешность от измеряемой величины или не зависит. Погрешности, которые зависят от измеряемой величины носят название мультипликативных. Независящие от измеряемой величины погрешности называются аддитивными. Примерами аддитивных погрешностей служат погрешности, порождаемые шумами, погрешности из-за округления [10].
Мультипликативные погрешности - функции измеряемой величины. Так, погрешность из-за отличия реализуемого коэффициента нормализации от номинального - линейная функция измеряемой величины. Дополнительная погрешность - параболическая функция измеряемой величины. Разделение погрешностей на аддитивные и мультипликативные облегчает выбор методов повышения точности измерений, также позволяет корректно организовывать процедуры метрологического анализа: для аддитивных погрешностей изучение их свойств может выполняться при произвольных значениях измеряемой величины, а для мультипликативных необходимо согласовывать процедуру изучения их свойств со свойствами измеряемой величины.
7) Абсолютные, относительные и приведенные погрешности. Абсолютная погрешность — это разность между измеренным и действительным значениями измеряемой величины. Абсолютную погрешность выражают в единицах измеряемой величины. Абсолютную погрешность, взятую с обратным знаком, называют поправкой.
Относительная погрешность р равна отношению абсолютной погрешности ΔА к действительному значению измеряемой величины и выражается в процентах [14].
Характеризовать точность измерений часто бывает удобно, используя отношение абсолютной погрешности к значению измеряемой величины. Действительно, указание на значение абсолютной погрешности без сведений о динамическом диапазоне измерений не позволяет составить представление о точности измерений. Например, абсолютная погрешность, равная 1 миллиметру, при измерении расстояния в 1 метр соответствует одной точности, при измерении расстояния в 10 метров - другой, более высокой. Определяемая погрешность носит название относительной и позволяет учесть как абсолютную погрешность, так и значение измеряемой величины. Естественно, абсолютная погрешность первична, а относительная - вторична. Соответственно и в основе определения (оценивания) относительной погрешности лежит определение абсолютной погрешности.
Приведенная погрешность измерительного прибора - это отношение абсолютной погрешности к номинальному значению. Номинальное значение для прибора с односторонней шкалой равно верхнему пределу измерения, для прибора с двусторонней шкалой (с нулем посередине) — арифметической сумме верхних пределов измерения [11].
1.3 Законы определения погрешностей
Определение погрешностей описывается законом нормального распределения (рис. 1, а), законом равной вероятности (рис. 1, б) или законом распределения, являющимся композицией двух первых (рис 1, в) [8].
Закон нормального распределения (закон Гаусса) имеет место тогда, когда причины, порождающие рассеивание параметров, многочисленны, являются случайными, и среди них нет доминирующих.
Закон равной вероятности, наоборот, имеет место при наличии погрешности, изменяющейся во времени по линейному закону (закономерно - изменяющаяся погрешность). Концепция законов нормального распределения и равной вероятности является результатом случайных и закономерно изменяющихся факторов.
Рис.1 Законы распределения погрешностей: а – закон нормального распределения; б – закон равной вероятности; в – композиционный закон.
Основными характеристиками законов распределения являются математическое ожидание (среднее арифметическое значение параметра) M(Dx) и среднее квадратическое отклонение s. Они при дискретных значениях размера определяются по следующим соотношениям:
Плотность вероятности нормального закона распределения описывается следующей формулой:
Если изменение случайной величины следует закону нормального распределения, то она может принимать любые значения в пределах ± ¥. При этом можно считать, что практически все детали партии имеют размеры, находящиеся в пределах ±3s, отсчитываемых от среднего значения (математического ожидания). В этих пределах под кривой нормального распределения заключено 99,73% всей ее площади. Поэтому теоретическое поле рассеивания w ограничено 6s. Размерность среднего квадратичного отклонения совпадает с размерностью самой случайной величины. Теоретическое поле рассеивания позволяет дать оценку метода вычисления, прогнозировать точность вычисления сколько угодно большого числа предметов измерения [17].
Например, при механической обработке деталей на станках, настроенных на размер, для того чтобы все детали были годными необходимо соблюдение двух условий:
1. Поле рассеивания случайной величины должно быть равно или меньше допуска размера выдерживаемого при обработке: w £ Т.
2. Поле рассеивания размеров w должно располагаться в границах поля допуска Т. Несоблюдение одного из этих условий приводит к появлению бракованных деталей. Вместо размеров деталей можно в равной степени оперировать отклонениями размеров. Отклонения размеров, равно как и сами размеры обработанных деталей есть случайные геометрические параметры. В основе статистического метода определения суммарной погрешности лежат законы и правила теории вероятностей и математической статистики. Статистический метод анализа точности процессов включает в себя:
- измерение обработанных деталей;
- статистическую обработку результатов измерений и расчет основных точностных характеристик процесса обработки;
- сравнение поля допуска и поля рассеивания контролируемого размера;
- определение путей улучшения процесса обработки.
Наличие случайных и закономерно-изменяющихся погрешностей приводят к рассеиванию размеров обрабатываемых деталей. Рассеивание геометрических параметров определяет точность обработки партии деталей.
Знание характера распределения размеров необходимо:
- для анализа причин, вызывающих рассеивание размеров;
- для определения суммарного влияния погрешностей при обработке;
- для количественного определения вероятности получения бракованных деталей [1].

2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ НА АВТОТРАНСПОРТЕ
Управление качеством технологических процессов, связанных с эксплуатацией автомобильного транспорта, осуществляется на основе измерительной информации, получаемой от различных источников. Качество самой измерительной информации определяется уровнем метрологического обеспечения технологических процессов при технической эксплуатации и автосервисе автомобилей. Измерительная техника на современном этапе развития общества рассматривается как одна из основ экономии материальных и энергетических ресурсов, решения крупнейших социальных проблем, связанных с защитой окружающей среды и охраны здоровья. Последнее особенно актуально для автомобильного транспорта, так как автомобиль, — в принципе, а неисправный особенно — является источником повышенной опасности [9].
Задача метрологического обеспечения в масштабе страны заключается в повышении качества продукции и услуг и эффективности управления производством, улучшения учета и использования материальных и энергетических ресурсов, совершенствовании мероприятий по охране окружающей среды и здоровья людей, обеспечении качества и надежности работы транспорта и связи. Достижение этих задач связано с разработкой и развитием четырех основ метрологического обеспечения — научной, технической, нормативно-правовой и организационной.
На автомобильном транспорте используют самые разнообразные средства измерений, то есть технические средства, имеющие нормированные метрологические характеристики. В отличие от средств измерений приборы, не имеющие нормированных метрологических характеристик, называют индикаторами.
При практическом применении тех или иных видов измерений важна точность их проведения. Термин «точность измерений», то есть степень приближения результатов измерения к истинному значению, не имеет строгого определения и используется для качественного сравнения измерительных операций. Для количественной оценки используется понятие «погрешность измерений» (чем меньше погрешность, тем выше точность). Оценка погрешности измерений — одно из важных мероприятий по обеспечению единства измерений.
Количество факторов, влияющих на точность измерения, достаточно велико, и любая классификация погрешностей измерения в известной мере условна, так как различные погрешности в зависимости от условий измерительного процесса проявляются в различных группах. Поэтому для практических целей достаточно рассмотреть абсолютную, относительную и приведенную погрешности измерения [14].
Величина х, полученная в одной серии измерений, является случайным приближением к хi. Для оценки ее возможных отклонений от хi определяют опытное среднее квадратическое отклонение (СКО):
σx=i=1n(xi-x)2n(n-1)Для оценки рассеяния отдельных результатов хi измерения относительно своего среднего x определяют СКО:
σx=1ni=1n(xi-x)2 при n≥20
или
σx=1n-1i=1n(xi-x)2 при n<20
В качестве данного истинного значения при многократных измерениях параметра выступает среднее арифметическое значение x.
Погрешность измерения параметров технического состояния автомобилей, в основном, определяется погрешностью применяемых для этого средств. В инструкциях по эксплуатации средств измерений она нормируется в относительной или приведенной формах. Поэтому организация процессов по определению соответствия реальной погрешности измерительной техники допускаемым значениям (поверка) должна стать одной из основных задач для работников метрологических служб отрасли. Например, согласно нормативным документам топливно-раздаточные колонки имеют допустимую погрешность измерения +0,5 %, что составляет при отпуске 50 литров топлива +0,25 литра. Превышение погрешности колонки даже до ±1 % (на практике чаще в минус) может привести к значительным недоливам топлива клиентам или неоправданным расходам АЗС.
Наличие погрешности измерений при техническом осмотре и ремонте автомобилей приводит к появлению ошибок при контрольно-диагностических операциях. В различной литературе эти ошибки называют по-разному: риском поставщика и риском заказчика, ложным и необнаруженным отказами, ложной тревогой и ложным отбоем, ложным стиранием и необнаруженной ошибкой, ошибками первого и второго рода и т. п. Однако физический смысл здесь заложен один — Р^ характеризует вероятность забракования по результатам контроля параметра годного автомобиля, а Р2 — вероятность признания бракованного автомобиля годным [6].
Тогда достоверность контроля, количественно характеризующая вероятность принятия правильного решения по результатам измерений или степень объективности контрольно-измерительной процедуры, можно оценить как
Д = 1 - (P1 + P2)Оценить ущерб от недостоверности измерительной информации можно путем расчета экономических потерь автотранспортных предприятий или их клиентов. Наличие этих потерь является следствием недостаточного уровня метрологического обеспечения.
Потери от ошибок первого рода при контроле конкретного параметра определяются по формуле:
П1=NP1Зиспргде N — количество контролируемых автомобилей по заданному параметру;
Зиспр — неоправданные затраты на исправление последствий ошибочного контроля.
Например, при контроле углов развала колес автомобиля на оптико-механических стендах значение Р1 = 0,035 Если принять стоимость регулировочных работ равной 100 рублей, а количество диагностируемых автомобилей в течение года 1000 штук, то потери составят 3500 рублей. Если диагностируется автомобиль клиентов, то они платят СТО за ненужные регулировки, которые могут только ухудшить техническое состояние автомобиля.
На автомобильном транспорте виды средств измерений, подвергаемые поверке, определяются в соответствии с перечнем услуг по техническому осмотру и ремонту автомобилей, подлежащих обязательной сертификации. К этим услугам, в частности, относятся:
- регламентные работы (по видам технического обслуживания);
- контрольно-диагностические работы;
- смазочно-заправочные работы;
- регулировка фар;
- регулировка углов установки управляемых колес;
- регулировка топливной аппаратуры;
- электротехнические работы;
- ремонт двигателей;
- ремонт КПП и ведущих мостов;
- ремонт передней подвески и рулевого управления;
- ремонт тормозной системы;
- подготовка к окраске и окраска;
- шиномонтажные работы, балансировка колес;
- приемка шин на восстановление методом наложения нового протектора;
- проверка герметичности и опрессовка газовой системы питания газобаллоных автомобилей;
- освидетельствование газовых баллонов для сжиженного газа и др.
В соответствии с федеральным законом от 26.06.2008 N 102-ФЗ (ред. от 13.07.2015) "Об обеспечении единства измерений" поверку средств измерений осуществляют аккредитованные в соответствии с законодательством Российской Федерации об аккредитации в национальной системе аккредитации на проведение поверки средств измерений юридические лица и индивидуальные предприниматели.
Поскольку поверка производится с целью оценки погрешности, то эта операция по существу является одним из звеньев передачи размера единицы от эталона до рабочего средства измерения. Поверка средств измерений предусматривает: соблюдение условий их эксплуатации; внешний осмотр; опробование работоспособности; подготовительные работы и определение метрологических характеристик поверяемого средства измерения.
Методика определения метрологических характеристик зависит от типа поверяемого средства и происходит с применением рабочих эталонов [4].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Причины возникновения погрешности могут быть различными. Измерительные преобразования осуществляются с использованием различных физических явлений, на основании которых можно установить соотношение между измеряемой величиной объекта исследования и выходным сигналом средства измерений, по которому оценивается результат измерения.
Точно установить это соотношение никогда не удается вследствие недостаточной изученности объекта исследования и неадекватности его принимаемой модели, невозможности точного учета влияния внешних факторов, недостаточной разработанности теории физических явлений, положенных в основу измерения, использования простых, но приближенных аналитических зависимостей вместо более точных, но сложных и т. д. В результате чего можно сделать вывод о необходимости расчета погрешности для оценочной проверки полученных результатов.
В данной работе рассмотрены виды погрешностей, их классификация, причины возникновения, законы определения и определено практическое применение измерения погрешностей на автомобильном транспорте.
Причинами возникновения погрешностей является совокупность большого числа факторов, которые можно объединить в две основные группы:
- факторы, появляющиеся нерегулярно, которые трудно предвидеть;
- факторы, закономерно изменяющиеся при проведении измерений, которые проявляются постоянно.
Появление случайных погрешностей зависит от большого числа несущественных факторов. Случайные ошибки от каждого из них невозможно выявить, учесть и исключить в отдельности. Но можно рассматривать как результат суммарного воздействия всех факторов на результат измерений и учитывать с помощью методов теории вероятности.
В отличие от случайных систематические погрешности остаются постоянными или закономерно изменяются. При надлежащей постановке эксперимента их обычно удается вычислить и исключить из результатов.
Особенностью измерений является то, что при их повторении на более высоком научно-техническом уровне результат измерения не совпадает абсолютно точно с ранее полученными значениями. Это приводит к заключению, что полностью исключить погрешности невозможно, можно лишь снизить их до минимальных размеров, тем самым увеличить точность.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аристов А.И., Карпов Л.И., Приходько В.М., Раковщик Т.М. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник пособие для студентов высших учебных заведений. - 2-ое изд., испр.- М.: Издательский центр «Академия», 2017. - 384 с.
2. Бурдун Г.Д., Марков Б.Н. Основы метрологии. М.: Издательство стандартов, 2015.
3. Гончаров А.А., Копылов В.Д. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. - 5-ое изд., стер.- М. : Издательский центр «Академия», 2017. - 240 с.
4. Дивин А.Г. Методы и средства измерений, испытаний и контроля: учебное пособие. В 5 ч. - Тамбов: Изд-во ГОУ ВПО ТГТУ, 2018. - Ч. 1. - 104 с.
5. Димов Ю.В. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник для студентов высших учебных заведений.- 2-ое изд., испр.- Сп.-б. : «Питер», 2018. - 432 с.
6. Зайцев С.А. Нормирование точности: Учеб. пособие для сред. проф. образования. М.: Издательский центр «Академия», 2017.
7. Земельман М.А. Метрологические основы технических измерений. М.: Издательство стандартов, 2016.
8. Козлов М.Г. Метрология и стандартизация - СПб.: «Петербургская печать», 2017. - 372 с.
9. Луканин В.Н. Справочное и научно-практическое пособие для специалистов отрасли «Автомобильный транспорт», для студентов и научных сотрудников профильных учебных заведений, - М: «Библиотека бухгалтера и предпринимателя», 2018. - 439 с.
10. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешности результатов измерений. М.: Издательский центр «Академия», 2015.
11. Сергеев А.Г., Крохин В.В. Метрология. Карманная энциклопедия студента. М.: издательство Логос, 2016.
12. Сергеев А.Г., Терегеря В.В. Метрология, стандартизация, сертификация - М: «Логос», 2016 г. – 154 с.
13. Сигов А.С., Нефёдов В.И. Метрология, стандартизация и технические измерения: Учебник для студентов высших учебных заведений. - М. : «Высшая школа», 2018. - 624 с.
14. Схиртладзе А.Г. Практикум по нормированию точности: Учеб. пособие для вузов. М.: Славянская школа, 2016.
15. Тартаровский Д.Ф., Ястребов А.С. Метрология, стандартизация и технические средства измерений: Учеб. для вузов - М.: Высшая школа, 2018.
16. Хромой Б.П. Метрология, стандартизация и измерения - М.: Высшая школа, 2016. - 424 с.
17. Якорева А.С. Метрология, стандартизация и сертификация - М.: ООО"ЛитРес", 2018 г. - 32 с.