Алгебраические неравенства и методы их решения

Понятие «неравенство», процедуры «решения неравенств» занимают достойное и очень обширное место в школьной программе математики с 7-го по 11-й класса. В ЕГЭ задачи на решение неравенств представлены в группе самых трудных задач.
На протяжении длительного периода в истории развития математики неравенства играли и продолжают играть важную роль в различных вопросах как самой математики, так и ее приложений.
Изучением понятия неравенства занялись еще древние греки с конца III в. до нашей эры. В своих работах Архимед, занимаясь вычислением длины, указал границы числа . Позже ряд неравенств появляется и в работах Евклида. Например, в своем знаменитом трактате «Начала» он доказывает, что среднее геометрическое двух положительных чисел не больше их среднего арифметического и не меньше их среднего гармонического. 
Поскольку рассуждения древних мыслителей проводились словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию, то сложно было представить символическую запись таких неравенств. Поэтому современные знаки неравенств появились позже. Их появление связано с именами таких ученых, как Р. Рекорд, Томас Гарриот и Пьер Бугер. Так знаки неравенств появились в начале XVII столетия, и ввел их английский математик Томас Гарриот. Он воспользовался ими для соотношения «больше» и «меньше» при рассмотрении вопроса о наличии у кубического уравнения положительных корней. Затем в 1734 году французский математик Пьер Бугер ввел знаки «не больше» и «не меньше», которые позднее приняли более привычную для нас математическую символику . 
Толковый словарь математических терминов дает следующее описание: «Неравенство алгебраическое выражение, показывающее, что одна величина больше или меньше другой». Математическая энциклопедия подчеркивает: « неравенства, в которые входят величины, принимающие различные числовые значения, могут быть верны для одних значений этих величин и неверны для других». Требование «Решить неравенство» как раз и означает «Найти множество значений, для которых неравенство верно».
Изучению неравенств уделяется особое внимание в области элементарной математики, поскольку именно алгебраические неравенства являются математическими моделями очень многих физических или иных учебных задач, поэтому методы их решения в большинстве случаев вызывают затруднения. 
В связи с тем, что неравенства обладают обширным потенциалом в области элементарной математики, особое внимание следует уделить алгебраическим неравенствам. Поскольку при их изучении встречаются рациональные, дробно-рациональные и иррациональные неравенства, линейные и квадратные неравенства, неравенства содержащие неизвестное под знаком модуля, и, в то же время, многие логарифмические и показательные, а также тригонометрические, неравенства сводятся к алгебраическим в результате преобразований замены, то необходимо их отдельное и комплексное изучение. 
Объект нашего исследования: алгебраические неравенства. 
Предмет исследования: методы и приемы решения алгебраических неравенств. 
Цель исследования: систематизация методов и приемов решения алгебраических неравенств и их применение при решении практических задач.
Планируемый результат исследования: выработка методических рекомендаций для учителей и выпускников школ для обучения и решения сложных неравенств. 
Структура и объем исследования. Курсовая работа состоит из введения, теоретической части, практической части (системы заданий по неравенствам), заключения и списка использованной литературы. 
В тексте «кляксой» отмечен текст, описывающий типичные ошибки учащихся, допускаемые при решении подобных задач.