Принципы построения и основные требования к математическим моделям систем

Содержание

Введение 3
1 Общие сведения 4
2 Принципы построения математической модели системы 7
3 Основные требования к математическим моделям 11
Заключение 16
Список литературы 17

Введение

В переводе с греческого «система» означает «соединение», «составленное из частей».
Когда нужно дать характеристику исследуемому или проектируемому объекту, который представляет собой нечто единое (целое), сложное и о котором сразу дать представление невозможно, показав его, описав математическим выражением или изобразив графически, то используют термин «система». Но, на различных этапах рассмотрения, в термин система, можно вложить разные понятия, говорить как бы о том, что система существует в разных формах.
Модель и моделирование это универсальные понятия, атрибуты одного из самых эффективных методов познания в любой профессиональной области.
Цель моделирования заключается в получении, обработки, представлении и использовании информации о системе, ее внутренние процессы и взаимодействие с внешней средой, и модель является средством познания закономерности поведения системы и ее свойств.
Модель – это объект-заменитель объекта-оригинала, который обеспечивает исследование свойств оригинала.
Стремительное развитие методов математического моделирования и разнообразие областей их применения привело к появлению большого количества моделей различного типа.
Актуальность темы исследования заключается в одном из больших преимуществ правильно построенной математической модели системы, а именно в том, что она позволяет достаточно точно описать структуры изучаемого процесса.
А для того чтобы правильно построить математическую модель системы, нужно знать принципы построения и основные требования которые предъявляются к математическим моделям систем.
1 Общие сведения

В количественной форме математические модели (ММ), при помощи логико-математических конструкций, описывают основные свойства системы, ее параметры, внешние и внутренние связи.
Чтобы построить ММ нужно:
детально провести анализ рассматриваемой системы;
выделить ее самые значимые свойства и черты;
установить переменные, т.е. характеристик, значения которых оказывают влияние на основные свойства и черты системы;
дать описание зависимости основных свойств системы от значения переменных при помощи логико-математических соотношений;
выделить внутренние связи системы при помощи ограничений, логико-математических конструкций, неравенств, равенств, уравнений и т.п.;
установить внешние связи и дать описание их при помощи ограничений, логико-математических конструкций, неравенств, равенств, уравнений и т.п.
Математическое моделирование, помимо изучения системы и формирования их математического описания, содержит:
создание алгоритма, который моделирует поведение системы;
проверку адекватности ММ системы на базе натурного и вычислительного эксперимента;
корректировку ММ;
применение ММ.
Математическое описание изучаемых систем находится в зависимости от:
природы реальной системы и формируется на основе законов физики, механики, химии, гидродинамики, термодинамики, теории упругости теории пластичности, электротехники, и т.п.;
необходимой точности и достоверности изучения системы.
На этапе выбора ММ определяются: нелинейность и линейность системы, статичность или динамичность, нестационарность или стационарность, в том числе степень детерминированности изучаемой системы.
При математическом моделировании нужно сознательно отвлечься от конкретной физической природы системы и, сосредоточиться на исследовании количественных зависимостей между параметрами, которые описывают системы.
ММ никогда не бывает и не будет целиком и полностью тождественна рассматриваемой системе. ММ основана на идеализации, упрощении и представляет собой приближенное описание системы. Поэтому результаты, которые были получены при анализе ММ, имеют приближенный характер. Точность таких данных будет определяться степенью адекватности ММ и системы.
Для построения ММ может применяться как классический, так и системный подход.
На рисунке 1 изображен процесс синтеза (построения) модели М на основе классического подхода (индуктивного).
Рисунок 1 – Процесс построения ММ на основе классического подхода
Система, которая подлежит моделированию, разделяется на отдельные подсистемы, т.е. отбираются начальные данные Д для моделирования и определяются цели Ц, которые отображают отдельные стороны процесса моделирования.
По отдельному набору начальных данных Д определяется цель моделирования отдельной стороны функционирования системы, на основе этой цели создается определенная компонента К будущей модели. Модель в таком случае это совокупность компонент.
Создание модели ММ на основе классического подхода подразумевает суммирование отдельных компонент в единую ММ, при этом каждая из компонент выполняет свои собственные задачи и от других частей ММ изолирована.
Классический подход можно использовать для создания относительно простых моделей, в которых возможно разделение и взаимно независимое изучения отдельных сторон работы реальной системы.
Подобная разобщенность решаемых задач для ММ сложных систем не допускается, потому что это может и приводит к чрезмерным затратам ресурсов при реализации ММ на основе программно-технических средств.
На рисунке 2 изображен процесс синтеза (построения) модели ММ на основе системного подхода.
На основе начальных данных Д, которые были получены из анализа внешней надсистемы, ограничений, которые были наложены на систему или исходя из возможностей ее реализации, и на основе цели функционирования формируются начальные требования Т к ММ системы.
На базе этих требований формируются некоторые подсистемы П, элементы Э и выполняется наиболее сложный этап синтеза – выбор В составляющих системы, для чего применяются критерии выбора КВ.
Рисунок 2 – Процесс построения модели ММ на основе системного подхода
2 Принципы построения математической модели системы

Принципы построения математической модели системы отображены на рисунке 3.
Вкратце рассмотрим основные принципы построения ММ.
Этап обследования заключает в себя:
детальное исследование системы для определения главных механизмов, факторов, которые оказывают влияние на его поведение, установления характеристик, дающих возможность описывать моделируемую системы;
сбор и проверка существующих экспериментальных данных об системах-аналогах, если необходимо, то проводятся дополнительные эксперименты;
аналитический обзор литературных источников, анализ и сравнение между собой ранее построенных ММ данной системы;
анализ и обобщение всего накопленного материала, создание общего плана построения ММ.
Содержательную постановку задачи моделирования формулируют на базе собранной информации об моделируемой системе, обычно, содержательная записка не окончательна и в процессе разработки ММ может конкретизироваться и уточняться.
Рисунок 3 – Этапы построения ММ
В результате обследования, весь собранный материал о накопленных к текущему моменту данных об системе, содержательная постановка задачи моделирования, дополнительные требования к реализации модели и представлению результатов оформляются в виде технического задания на проектирование и создание модели.
Техническое задание это итоговый документ, который заканчивает этап обследования и является крайне ответственным и важным. Чем более полную информацию удастся собрать о системе на этапе обследования, тем более четко можно выполнить содержательную постановку задачи, более полно учесть накопленные знания и опыт, избежать многих сложностей на дальнейших этапах разработки модели. Требования к будущей модели должны быть максимально строго сформулированы.
Нечеткие и неконкретные требования могут значительно усложнить процесс разработки модели, привести к бесконечным доработкам и улучшениям. До 30% от времени отпущенного на создание всей модели, может уходить на этап проработки технического задания, и даже более – учитывая возможные переформулировки и уточнения.
Техническое задание нужно подвергать внешней и внутренней экспертизе независимыми экспертами, которые не принимают участие в его создание.
На основании содержательной модели создается «естественнонаучная», или концептуальная постановка задачи моделирования, являющаяся базой для концептуальной модели системы.
Концептуальная постановка задачи моделирования это сформулированный в терминах конкретных дисциплин список главных вопросов, которые интересуют исследователя, в том числе совокупность гипотез относительно поведения и свойств моделируемой системы.
Концептуальная модель представляется в виде некоторой идеализированной модели системы, описанная в терминах конкретных дисциплин. Чтобы достичь этого формулируется совокупность гипотез о поведении системы, изменении внутренних характеристик, ее взаимодействии с окружающей средой.
Обычно, такие гипотезы являются правдоподобными в том плане, что для их обоснования можно привести некоторые теоретические доводы, и применены экспериментальные данные, базирующиеся на ранее собранной информации о системе.
Именно при выборе и обосновании принимаемых гипотез в значительной степени будет проявляться знания, искусство и опыт исследователя.
В соответствие с принятыми гипотезами определяется множество характеристик, которые описывают состояние системы, в том числе список законов, управляющих изменением и взаимосвязью этих характеристик между собой.
Завершенная концептуальная постановка дает возможность сформулировать математическую постановку задачи моделирования, включающую набор разных математических соотношений, описывающих свойства и поведение моделируемой системы.
Набор математических соотношений определит вид оператора модели. Самым простым будет оператор модели тогда, когда он представлен системой алгебраических уравнений.
Такие модели называются моделями аппроксимационного типа, потому что для того чтобы их получить зачастую применяют разные методы аппроксимации имеющихся экспериментальных данных о поведении выходных характеристик моделируемой системы в зависимости воздействий внешней среды и от входных характеристик, в том числе от значений внутренних характеристик системы. У таких моделей область применения ограничена.
Чтобы создать ММ сложных систем, используемых для большого класса практических задач необходимо, привлечение большого объема знаний, собранного в рассматриваемой дисциплине.
В большей части дисциплин, такие знания сконцентрированы в теоремах, законах, аксиомах, с четкой математической формулировкой.
Поиск решения задачи представляется в виде поиска некоторых зависимостей искомых параметров от начальных характеристик модели. Методы решения бывают алгоритмические и аналитические.
Для дальнейшего анализа результатов аналитические методы более удобны, но их применять можно только для сравнительно простых моделей. Когда у математической задачи есть аналитическое решение, то оно более предпочтительнее численного.
Алгоритмические методы предполагают некоторый алгоритм, который позволяет провести вычислительный эксперимент с применением ЭВМ.
В подобном эксперименте, точность моделирования будет зависеть от выбранного метода и его показателей.
Алгоритмические методы, обычно, в реализации более трудоемки, исследователь должен хорошо знать методы вычислительной математики, иметь мощную вычислительную технику и обширную библиотеку специального программного обеспечения.
Численные методы можно применять только для корректных математических задач, что значительно ограничивает их применение в математическом моделировании.
У проверки адекватности ММ 2 цели:
убедиться в том, что совокупности гипотез, которые были сформулированы на этапах концептуальной и математической постановок – справедливы;
определить, что точность полученных результатов соответствует точности, установленной в техническом задании.
Точность устанавливается в зависимости от требований, предъявляемых к модели, и ее предназначения. При этом нужно принимать во внимание особенности постановок тестовых задач или точность получения экспериментальных результатов.
3 Основные требования к математическим моделям

Основные требования, предъявляемые к ММ систем:
универсальность;
точность;
адекватность;
экономичность.
Универсальность ММ характеризует полноту отражения в ней свойств реальной системы. ММ не все отражает, а только некоторые свойства реальной системы.
В основном, универсальность определяется числом и составом учитываемых в ММ выходных и внешних характеристик.
Точность ММ можно оценить степенью совпадения значений выходных характеристик реальной системы и значений тех же характеристик, которые были рассчитаны при помощи ММ.
В различных условиях функционирования системы, точность модели может быть различной. Такие условия можно охарактеризовать внешними параметрами.
Экономичность ММ определяется затратами вычислительных ресурсов на ее выполнение. Когда работа с ММ выполняется вручную, то ее экономичность устанавливается затратами личного времени исследователя.
Когда модель применятся при автоматизированном проектировании, то экономичность определяется затратами машинного времени и ресурсами ЭВМ. Так как указанные величины определяются параметрами конкретного ЭВМ, то применять их для оценки экономичности ММ не корректно.
Адекватность подразумевает, достаточно ли хорошо с точки зрения целей исследования результаты, полученные в процессе моделирования, отображают истинное положение дел.
Если не решен вопрос, правильно ли отображает модель изучаемую систему (т.е. адекватна ли она), ценность модели равна нулю.
Термин «адекватность» имеет достаточно расплывчатый смысл. Результативность моделирования существенно увеличится, если при создании модели и переносе результатов с модели на систему-оригинал может использовать некоторую теорию, уточняющую концепцию подобия, связанную с применяемой процедурой моделирования.
Теории, которая позволяет дать оценку адекватности ММ и моделируемой системы нет, в отличие от хорошо разработанной теории подобия явлений.
На всех этапах построения модели выполняют проверку адекватности, начиная с самого первого этапа – концептуального анализа. Если описание системы будет составлено не адекватно реальной системе, то и модель, как бы точно она не отображала описание системы, не будет адекватной оригиналу.
Если исследование системы будет выполнено качественно и концептуальная модель весьма точно отразит реальное положение дел, то далее перед исследователями возникнет только одна проблема, проблема эквивалентного преобразования одного описания в другое.
Предварительно исходный вариант ММ проверяется так:
все ли необходимые характеристики учтены в модели;
нет ли в модели незначимых характеристик;
правильно ли отражены функциональные связи между характеристиками;
правильно ли установлены ограничения на значения характеристик;
не выдает ли модель абсурдные ответы, если ее параметры принимают максимальные и минимальные значения.
Подобная предварительная оценка адекватности модели дает возможность установить в ней самые грубые ошибки.
Однако подобные рекомендации имеют рекомендательный, неформальный характер.
Формальных методов оценки адекватности нет. В связи с чем, в основном, качество модели будет зависеть от опыта, эрудиции, интуиции создателя модели и иных субъективных факторов.
Окончательную оценку по адекватности модели можно только на практике, т.е. сравнение модели с оригиналом на основе экспериментов с системой и моделью.
Система и модель подвергаются одинаковым воздействиям, после чего сравниваются их реакции. Если реакции одинаковы, то модель адекватна оригиналу.
При этом:
воздействия на систему имеют физическую природу, а на математическую модель – числовые аналоги физических воздействий;
воздействия на объект носят ограниченный характер из-за недоступности к элементам системы, возможного разрушения системы и т.п.
Для оценки степени подобия структур систем (математических или физических) есть понятие изоморфизма.
Две системы изоморфны, когда есть взаимно однозначное соответствие между элементами и отношениями (связями) данных систем.
Моделирую сложные системы достичь такого полного соответствия трудно, да и нецелесообразно. При моделировании не бывает абсолютного подобия.
Нужно стремиться к тому, чтобы модель достаточно хорошо отражала изучаемую сторону функционирования системы, при этом модель по сложности будет аналогичной изучаемой системе и никакого упрощения исследования не будет.
Понятие изофункционализма предназначено для оценки подобия в поведении (функционировании) систем.
Две системы произвольной, а подчас неизвестной структуры изофункциональны, когда при одинаковых воздействиях они проявляют одинаковые реакции.
Чтобы оценить экономичность самой ММ применяют величины.
Среднее количество операций, выполняемых при одном обращении к ММ.
Размерность системы уравнений в ММ.
Количество применяемых в модели внутренних параметров и т.п.
Требования высокой точности, высокой степени универсальности, широкой области адекватности ММ, с одной стороны, и высокой ее экономичности, с другой стороны, противоречивы. Поэтому компромиссные решения определяются решаемой задачей.
К ММ предъявляется и целый ряд других требований, например:
Наглядность, то есть удобное визуальное восприятие модели.
Алгоритмизируемость, то есть возможность разработки соответствующего алгоритма и программного обеспечения, реализующей ММ на ЭВМ.
Модульность, то есть соответствие конструкций модели структурным составляющим системы.
Вычислимость, то есть возможность ручного или при помощи ЭВМ изучения количественных и качественных закономерностей функционирования системы.
ММ обязана быть:
Открытой, то есть позволяющей ее совершенствовать.
Простой в использовании и изучении, легко просчитываемой на ЭВМ.
Мощной, то есть позволяющей получить большой набор значимой информации.
Существенной, то есть позволяющей выявить сущность поведения системы, вскрыть нетривиальные, неочевидные детали.
Модель должна быть результативной, то есть полученные результаты моделирования могут найти успешное применение.
Заключение

В настоящее время в разных областях математическое моделирование является одним из основных способов исследования и получения новых знаний. В будущем следует ожидать, что роль математического моделирования будет возрастать.
ММ, представляет собой абстрактный образ моделируемой системы, не может быть ее полным аналогом. Достаточно сходства в элементах, определяющих цель исследования.
Для качественной оценки сходства вводится понятие адекватности модели системе и, в связи с этим, раскрываются понятия изоморфизма и изофункционализма.
Формальных приемов, которые бы позволяли автоматически, «бездумно», создавать адекватные ММ, нет. Однако же, анализ приемов, которые используют создатели моделей, дате возможность усмотреть достаточно прозрачную этапность моделирования.
Окончательное суждение об адекватности модели дает практика, т.е. сопоставление модели с действующей системой.
Математическое моделирование как, впрочем, и любое другое, считается наукой и искусством.
Построение модели – системная задача, которая требует анализа и синтеза начальных данных, теорий, гипотез, знаний специалистов.
Список литературы

Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 496 с.
Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.А. Вычислительные методы для инженеров. – М.: Высш. шк., 1994. – 544 с.
Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. – М.: Наука, 1994. – 192 с.
Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. – М.: Наука, 1997.
Глинский Б.А. Моделирование как метод научного исследования. М., 1965