Контрольная работа по Математике на тему: "Математический анализ"

Контрольная работа 2
Вариант 7.

1) Методом сдвигов и деформаций построить график функции

y = (0,1) ^x+2

2) Вычислить пределы:

a) lim x→ 8   x³ - 64x /x² -8x

б) lim x→ ∞   7x² + 21x +9/ 14x² + 9x

3) Найти производную функции (y^/_x) и вычислить ее значение при x = 1:

а) y = (1–2х)⁵ ;       
 б) y = 2/ x² + 1 ;            
в) y+(1+y²)lnx=1 .
 

4) Исследовать функцию у =х³ – 3х и построить ее график.
 

5) Изобразить на плоскости xOy область определения функции двух переменных 

z = √x- 7 + ln( 7-x-y)/ ⁴√y+7 + 7x²

6) Найти q²z/ qxqy, если z =e ^2x-3y.
 

7) Найти стационарные точки и исследовать на экстремум функцию 

z = x – x² + y²  + 2y .

 

8) Вычислить интегралы:

а) ∫x (√x - 1/x²)dx
б) ∫²₁ x²-1/ 2x * dx
в) ∫x²/ x³+ 4 * dx
 

9) Найти общее решение дифференциального уравнения  

e^y (1+x²) dy – 2x (1+ e^y) dx = 0.
 

10) Решить систему уравнений тремя методами. Сделать проверку.

{ 4x +  y + 5z = 25 ,

{  x + 5y + 4z = 1 ,

{ 5x – 4y –  z = 16 .
 

Контрольная работа 1
Вариант 7.

РГР 1.

 

РГР 1 Матрицы. Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Варианты заданий для расчетной работы определяются по порядковому номеру студента в списке группы.

Задания:

1.Найти решение системы линейных уравнений  A X= B  (где A – матрица коэффициентов при неизвестных системы линейных уравнений, X – неизвестный вектор,  B – столбец свободных членов):

а) A X = B₁  методом Крамера;

б) A X = B₂  методом Гаусса;

в) A X = B₃  методом обратной матрицы.

2. Вычислить определитель размера 4х4 дважды: разложением по второй строке и третьему столбцу

Вид определителя задается схемой: Первые три строки – числа расширенной матрицы системы  A X = B₁  . Четвертая строка – год рождения студента

A = (-4  4  2)
      (-5  -4  -1)
      (5  0   7)

B1 = (18  30  -4)^T
B2 = (2  38  -60)^T
B3 = (-24 -7  -13)^T
 

 РГР2.  Пределы и непрерывность функций.

Варианты заданий для расчетной работы определяются по порядковому номеру  в списке. РГР содержит два задания: на вычисление пределов и на построение графика

Найти пределы функций алгебраическими приемами, не пользуясь правилом Лопиталя.

a) lim x → ∞ 4x³ - 3x² + 22/ 8x³ + x²- 9x

б) lim x → 0  x³ -x² +2x/ x²+x

в) lim x→ 4  2x²- 9x + 4/ √5 -x  - √x-3

г) lim x→ ∞ (1+ 2/ 3x)^x


2. Исследовать данные функции на непрерывность. Функция состоит из нескольких ветвей. Описать ее с точки зрения непрерывности и указать тип разрыва, если он есть.  Построить график.

f(x) = {  x²+1 ; x ⩽ 1
         { 2x ; 1 < x ⩽ 3
         { x+2 ; x > 3


 

РГР3. Методы интегрирования

а) вычислить  заданный интеграл аналитически, применяя  методы интегрирования и таблицу интегралов;

б) вычислить интеграл приближенным методом по формуле трапеций, разбивая отрезок интегрирования на 10 равных частей, а затем на 20 частей (обязательное задание). Сделать графическую иллюстрацию.

∫1₀ xdx/ √x²+1

 

РГР4.  Элементы теории вероятностей

Варианты заданий для расчетной работы определяются по порядковому номеру студента в списке группы. Буквой V обозначен номер варианта.

Задание к задачам № 1.1 -1.4

1. Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для решаемого варианта.

2. Определить испытания и элементарные события.

3. Определить исследуемое событие А и другие события.

4. Установить, какие формулы следует использовать для вычислений и выполнить последние. Вычисления произвести, по возможности, точно.

Задача 1.1. В урне содержится К черных и Н белых шаров. Случайным образом вынимают М шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) Р белых шаров; б) меньше, чем Р, белых шаров;в) хотя бы один белый шар.

Значения параметров К, Н, М и Р по вариантам приведены в табл. 1.

 

Задача 1.2. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями p₁, p₂ и p₃. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя: а) только один элемент; б) хотя бы один элемент.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

k = |14,9 - V|/ 100 ;

p₁ = 1-k; p₂ = 0,9 - k; p₃ =0,85  -k
 

Задача 1.3. В пирамиде стоят R винтовок, из них L, с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью p₁, а, стреляя из винтовки без оптического прицела, — с вероятностью p₂. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

k = |14,9 - V|/100

p₁ = 0,95-k/100; p₂ = 0,6 - k/100; 

R = 5+k; 
L= { 3; V ⩽14 
     {4; V > 14

 

Задача 1.4. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве M₁; M₂;M₃ штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно p₁, p₂ и p₃. Рабочий берет случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом-изготовителем.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

k = |14,9 - V|

p₁ = 0,99-k/100; p₂ = 0,9 - k/100; p₃ = 0,85 - k/100;

M₁ = 5+k; M₂ = 20-k; M₃ = 25 - k
 

Задание к задачам 1.5 – 1.6.

1) Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для решаемого варианта. Определить исходные данные и результаты.

2) Определить подходящие формулы вычисления и выполнить вычисления при помощи микрокалькулятора и таблиц. Построить графики.

Задача 1.5. В каждом из п независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Вычислить все вероятности p_k, k = 0;1;2..... n, где k — частота события А.

Построить график вероятностей p_k. Найти наивероятнейшую частоту.

Значения параметров п и р вычислить по следующим формулам:

n = { 11; V⩽10
     { 10;  10 < V  ⩽20 
     { 9; V>20

p = 0,3 +V/100
 

Задача 1.6. В каждом из п независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Найти вероятность того, что событие А происходит: а)  точно G раз; б)  точно L раз; в)  меньше чем М и больше чем F раз; г)  меньше чем R раз.

Значения параметров п, р,  G ,  L , М, F и R  вычислить по следующим формулам:

n = 500 + V * 10; p = 0,4+V/100; G = 220 + V * 10

L = G -30; M = G + 20+V; F = G - 40 + V; R = G+ 15