Задания контрольной работы № 3

1. Свести двойной интеграл ∫∫_Df(x;y) dxdy к повторному и вычислить. Если  f(x,y) и область  D  имеют вид.

2) f(x;y) = xy; D =  {x = y; y =0; x = 1 }

4) f(x;y) = x; D =  {x = 0; y =x³; x+ y = 2}

6) f(x;y) =  x²y ; D =  {x² + y² = 4; x+ y = 2}


2. Перейти к полярным координатам и вычислить двойной интеграл

12) ∫∫_Df(x² + y² )dxdy; D = (x² + y² ⩽4)

14)∫∫_D √x²+ y² + 1dxdy; D = (x>0; y >0; x²+ y² ⩽1)

16)∫∫_D ln (x²+ y² )dxdy; D = (x²+ y²⩽e⁴; x²+ y² ⩾ e²)

 

3. С помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми.

22) 3x² + 4y = 0; 2x - 4y -1 =0

24) 3x² -4y = 0; 2x + 4y - 1= 0

26) -3y² + 2x = 0; 2x + 2y -1 = 0
 

4. Вычислить массу плоской пластины, имеющей плотность γ(x,y) и ограниченной данными кривыми.

32) y = 2- 2x; y = 2; z= 1; y(x;y) = e ^-y/2

34) y = 3- 3x ;y = 3; x =1; y(x;y) = e ^-y/3

36) y = 4 -4x; y = 4; x = 1; y(x;y) = e ^{-y/ 4}

5. Вычислить криволинейный интеграл первого типа ∫_Lf(x;y)dl

42) Кривая L парабола x² = 2y от точки (1;1/2) до точки (2;2), а f(x;y) = x

44)  Где L отрезок прямой y = 1/2 * x  -2  от точки (0;-2) до точки (4;0), а f(x;y) = 1/ √x² + y²

46) Где L  отрезок прямой от точки (0;0) до точки (4;3), а f(x;y) = x-y


6. Приложения криволинейного интеграла I – типа. Определение массы кривой.

52)  Найти массу отрезка y =x от точки  x =0 до x=1, если в каждой точке кривой плотность y(x;y) обратно пропорциональна ординате этой точки плюс 1 (y(x;y) = 1/ y+1)

54) Найти массу участка кривой y =3lnx от точки  x =√2  до x= √5, если в каждой точке кривой плотность y(x;y) равна ее абсциссе.

56) Найти массу отрезка CB, соединяющего точки C(1;2) и B(2;3), если в каждой точке отрезка плотность y(x;y) равна произведению координат этой точки.

 

7. Вычислить криволинейные интегралы II – типа по данным линиям в указанных направлениях.

62) ∫_L√x² + 3xydy + (x-y)dx; L  – дуга линии y = x² от точки (0;0) до точки (1;1)

64) ∫_Lx²+y²)dx  + xydy; L - – дуга линии y = e^x от точки (0;1) до точки (1;e)

66) ∫_Lxdy  - ydx; L - – отрезок прямой от точки (0;0) до точки (1;2)

 

8. Найти работу силы F вдоль кривой L от точки А к точке В.

72) F = {-y;x }; 

L = { x = 3cost
      {y = 2sint;  A(3;0); B(0;2)

74) F =  {-y;x };

L = { x = 2cost
      {y = 2sint;  A(2;0); B(0;2)

76) F = {-y;x };

L = { x = 4cost
      {y = 3sint;  A(4;0); B(0;3)
 

9. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

а) решить ДУ – 1- го порядка с разделяющимися переменными:

82) (x²+ 4)y' = 9-y²

84) y' = 7 ^3ytg(3-5x)

86) sinycosxdy = cosysinxdx

б) найти общее и частное решение линейного ДУ – 1-го порядка:

82) y' + y/ e ^-x= 1; y(0)= 2

84) y'cosx - ysinx =sinx;  y(0) =1

86) y' + y/x = 3/x; y(1)= 0

10, Дифференциальные уравнения 2-го порядка.

Вариант 92

1. Понизить порядок уравнения и решить:x(y" +1) + y' = 0

2. Методом неопред. коэффициентов найти общее и частное решения: y" - 5y'  + 6y = (12x - 7)e^-x; y(0)= 0; y'(0)= 0

 

Вариант 94

1. Понизить порядок уравнения и решить: y" - 2y' ctgx = sin³x

2. Методом неопред. коэффициентов найти общее и частное решения: y" + 2y' + y= 9e^2x; y(0)= 0; y'(0)= 2
 

Вариант 96

1. Понизить порядок уравнения и решить:2yy"- (y')² = 0

2.  Методом неопред. коэффициентов найти общее и частное решения: y" + 4y' = 2cosx; y(0)= 1; y'(0)= 0
 

11. Числовые и функциональные(степенные) ряды.

Задача 1. Исследовать на сходимость числовой ряд.

2) ∑∞_n=1(n!)²/ 2<sup>n2

4)</sup> ∑∞_n=1 10ⁿ2n!/ (2n)!

6) ∑∞_n=1nⁿ/ 3ⁿn!

Задача 2. Найти область сходимости степенного ряда.

2) ∑∞_n=1 (-1)ⁿ (x-3)ⁿ/ (n+1)5ⁿ

4) ∑∞_n=1 2n +3/ (n+1)⁵x²ⁿ

6) ∑∞_n=1 (x-5)²ⁿ⁺¹/ 3n+8