Контрольная работа по Математике на тему: "Математический анализ"

1. Даны векторы a=  {2;7;9 }, b=  {6;-5;5 }, c =  {7;7;-7 }, d =  {15;9;7 } в декартовой системе координат. Показать, что векторы a, b, c образуют базис. Найти координаты вектора d в этом базисе (написать разложение вектора d по векторам a, b, c)

2. Даны координаты вершин пирамиды A1(6;-6;1), A2(10;6;7), A3(-1;6;0), A4(6;1;-9). Найти: 1) длину ребра A1A2; 2) угол между ребрами A1A2 и A1A3; 3) угол между ребром A1A2 и гранью A1A2A3; 4) площадь грани A1A2A3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой A1A2; 7) уравнение плоскости A1A2A3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3. Сделать чертеж.
 

3. Пусть даны векторы a =  {6;-1;12 }, b = {-7;-6;12 }. Найти

а) скалярное и векторное произведение векторов k = 7a - 9b и m = 4a- 3b

б) угол между векторами k и m

в) длину и направляющие косинусы вектора m

6. Привести уравнения к каноническому виду, определить тип кривой и построить ее

x² - 4x - y -5 = 0

21. Построить кривую в полярной системе координат.

r = 3sin2q

24. Решить систему линейных уравнений двумя способами: методом Гаусса и методом Крамера.

{ 7x + 24y - 18z = 13
{9x - 9y + 8z = 8
{9x - 11y + 7z = 6

27. Решить однородную систему уравнений.

{ x + 2y  -z = 0
{2x -4y - 15z = 0
{3x + 6y+z = 0

47. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя

a) lim x→ ∞ x³ - 3x³ -2x / 3x³ + 4x² + x+ 4

б) lim x→ 2   x² - 3x+ 2/ 3x² - 4x - 4

в) lim x → 0  3x² / √1 -x² - √x² +1

г) lim x → П/2 (П/2 - x)tgx

д) lim x → 0 (1+5x) ^{8+ x / x}
 

62. Задана функция y = f(x) и два значения аргумента x₁ и x₂.Требуется: 1) установить, является ли эта функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;

2) в случае разрыва функции найти ее пределы справа и слева;

3) сделать схематический чертеж

f(x) = 4  ^{1/ 6-2x} ; x₁ = 3; x₂ = 4

67. Задана функция y = f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.


y = {  x ; x ⩽ -1
        { 1/2 ; -1 < x ⩽ П/6
        { sinx ; x > П/6

82. Найти производные dy/dx для данных функций

a)  y = ⁵√x^{2 +} √x + /1/x

б) y = √x² + 1 cos6x
в) y= 9 ^{arccos2 7x}
г) y = (sin3x)^x

87. Для данных функций найти dy/dx, d²y/ dx²

а) y = lnx / x
б) x = 2cos²t; y = 4sin³t


97. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f(x) = e^x вычислить значение e^a с точностью 0.001.

a = 0,13

112. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы

a) lim x→ 0 (1/xsinx  - 1/x²)

б) lim x→ ∞ (1 + 1/x)^ax

117. Найти наименьшее и наибольшее значение функции y = f(x)  на отрезке [a;b ]

f(x) = x³ - 12x + 7; a = -3; b= 0

132. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

y = x²/ x²+ 1

147. Написать уравнения касательной и нормали к кривой y = f(x) в точке M₀(x₀;y₀)

y = (x² +4)e^x_;M₀ (0;4)

167. Построить поверхности, заданные уравнениями

9x² + 16y² = 144

187. Вычислить частные производные qz/qx и qz/ qy от функций

z = arcsin²√xy

197. Вычислить производные от сложных функций.

z = cos*  x/ x²+ y² , где   = e^y2 ; dz / dy -?

207. Вычислить частные производные qz/ qx, qz/ qy от функций, заданных неявно.

lntg√xyz + e^x3 -1 /z = 0

 

217. Даны функция z =z (x;y), точка M₀(x₀;y₀) и вектор a.

Найти

1) gradz в точке M₀,

2) производную z в точке M₀ по направлению вектора a.

232. Найти неопределенные интегралы

а) ∫ sin³x cosxdx
b) ∫ (x²-4)sin2xdx
c) ∫ (x-36)dx / (x+6)² (x² + 4x +5)
d) ∫ dx / (2x -1)^1/2 -4

237. Вычислить определенные интегралы

∫ ²₀ xdx/ (x² + 5)¹²

262. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными кривыми.

{ r =3sin4q
{r ⩾ 3√2 / 2

373. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными уравнениями в декартовых координатах

x²+ y² + 2y = 0; x²+ y² + 4y = 0;  y= x; y = -x

383. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями

z =y; z = 2y; y = x²; y = 1

393. Вычислить криволинейный интеграл ∫ _L xe^ydx + xydy по дуге параболы y =x²  от точки A(1;1) до B(2;4)

403. По формуле Грина вычислить криволинейный интеграл ∫ _L xe^ydx +2x²ydy, взятый по замкнутому контуру L: y =x², y =3.