Золотое сечение – одно из наиболее ярких проявлений гармоний природы

Содержание
Введение…………..……………….…………....…………………….… 3
1. Основополагающий принцип природы – «Золотое сечение»...…... 5
2. Числа Фибоначчи…………....……………………………….......… 11
3. Золотое сечение в астрономии……………….…………...….……. 13
4. Золотое сечение в искусстве и музыке..………………...……....... 15
Заключение...……………….………..................................................... 18
Список литературы………....……………………………...……...….. 19

Введение
Одним из наиболее ярких проявлений гармонии в природе является закон пропорциональной связи целого и составляющих его частей, получивший название “золотое сечение”. Золотое сечение — это деление целого на две неравные части так, чтобы большая часть относилась к меньшей, как целое к большей части.Пифагор был первым, кто обратил внимание на это особое, “гармоническое” деление любого отрезка, названное впоследствии золотым сечением. В 1509 г., т.е. примерно через две тысячи лет после Пифагора, итальянец Лука Пачоли (1445—1509) опубликовал книгу “О божественной пропорции”, рисунки к которой выполнил знаменитый друг Пачоли Леонардо да Винчи, кому и принадлежит сам термин “золотое сечение”.
Классический пример золотого сечения, дающий представление о нем, — это деление отрезка в среднепропорциональном отношении: .
Приближенные корни этого уравнения — числа Ф = 1,61803398875 и -Ф-1 = -0,61803398875, которые не менее замечательны, чем числа л и е. О них после Пифагора писали Платон, Поликлет, Евклид, Витрувий и многие другие. Золотым сечением кроме Леонардо да Винчи интересовались многие художники, скульпторы, архитекторы, многие деятели науки и искусства. Вызвано это тем, что везде, где появляется число Ф, живые формы и произведения искусства приятны для глаз, отличаются явной гармонией и красотой.
Для построения правильных симметричных многогранников: куба, октаэдра, тетраэдра, икосаэдра, додекаэдра нужно использовать золотую пропорцию, так как диагонали их образуют пентаграмму. Золотое сечение связано с пространственным отношением природных объектов, человека, архитектурных сооружений, музыкальной гармонии, в геометрических фигурах, имеющих ось пятого порядка, — их имеют многие цветы, морские звезды, ежи, вирусы.
У человека золотое сечение — это отношение его роста к расстоянию от пупка до подошв ног: при рождении оно равно 2, а к 21 годам — 1,625, у женщин — 1,6. Многие женщины интуитивно пытаются приблизить это отношение к золотой пропорции, надевая туфли на каблуках.
Золотое сечение владело умами многих ученых и выдающихся мыслителей прошлого, продолжает волновать и сейчас — не ради математических свойств, а потому, что оно неотделимо от целостности объектов искусства и в то же время обнаруживает себя как признак структурного единства объектов природы.
1. Основополагающий принцип природы – «Золотое сечение»
В быту часто советуют найти «золотую середину», но такой середины в природе не существует, однако, есть «золотое сечение» или «золотое число».
Рисунок 1 – Картинка золотого сечения
Золотое сечение это универсальное проявление структурной гармонии. Оно встречается в природе, науке, искусстве – во всем, с чем может соприкоснуться человек. Наиболее емкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему целому. Приблизительная его величина – 1,6180339887. В округленном процентном значении пропорции частей целого будут соотноситься как 62% на 38%. Это соотношение действует в формах пространства и времени.
Рисунок 2 – Леонардо да Винчи
Что может быть общего между древнеегипетскими пирамидами, картиной Леонардо да Винчи «Мона Лиза», подсолнухом, улиткой, сосновой шишкой и пальцами человека? Связывает их удивительные числа, которые были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным по именем Фибоначчи (родился около 1170 — умер после 1228). После его открытия числа эти так и стали называться его именем. Удивительная закономерность последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждое число в этой последовательности получается из суммы двух предыдущих чисел, которые представляют бесконечную последовательность чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, … Эту схему расположения чисел можно увидеть повсюду в природе. Когда большее число из этой последовательности разделить на меньшее, расположенное рядом число, то соотношение приблизительно получается 1.618; и если меньшее число разделить на большее число, стоящее рядом, то получается примерно 0.618. Древние видели в золотом сечении отражение космического порядка, а Иоганн Кеплер называл его одним из сокровищ геометрии. Существует большое количество способов математически выразить золотое соотношение, и во всех этих методах имеется своя определенная простота, точность и обаяние. Но история этого понятия уходит еще в древние времена, когда только зарождались такие науки, как математика и философия.
Как научное понятие золотое сечение вошло в обиход во времена Пифагора, а именно в VI веке до нашей эры. Но еще до того знания о подобном соотношении на практике использовали в Древнем Египте и Вавилоне. Ярким свидетельством этого являются пирамиды, для построения которых использовали именно такую золотую пропорцию. Эпоха Возрождения стала новым дыханием для гармонического деления, особенно благодаря Леонардо да Винчи. Это соотношение все больше начали использовать как в точных науках, таких как геометрия, так и в искусстве. Ученные и художники стали более глубоко изучать золотое сечение и создавать книги, рассматривающие этот вопрос. Одна из самых важных исторических работ, связанных с золотой пропорцией, – это книга Луки Панчоли под названием «Божественная пропорция».
Правило золотого сечения активно применялось в построении пирамид. Например, всемирно известные гробницы Тутанхамона и Хеопса возводили с использованием такого соотношения. И золотое сечение пирамиды до сих пор остается загадкой, ведь по сей день не известно, случайно или же специально выбирались такие размеры для их оснований и высот.
Рисунок 3 – Фасад Парфенона
Правило золотого сечения четко видно в фасаде Парфенона – одного из самых красивых сооружений в архитектуре Древней Греции. То же касается здания собора Парижской Богоматери (Нотр-Дам де Пари), то здесь не только фасады, но и другие части конструкции возводили, опираясь на эту невероятную пропорцию. Золотое сечение - это универсальное проявление структурной гармонии. Оно встречается в природе, науке, искусстве – во всем, с чем может соприкоснуться человек.
Рисунок 4 – Использование золотого сечения при проектировании
Почему Фидий (греческий скульптор) и другие мастера древней Греции и Египта, часто использовали этот коэффициент при создании многих своих произведений искусства? Все потому, что было обнаружено, что при таком коэффициенте человеку наиболее приятно смотреть на предмет дизайна, который образует так называемый Золотой прямоугольник. Если короткая сторона прямоугольника равна 1, то его длинная сторона будет равна 1.618.
Здание ООН – это Золотой прямоугольник. Многие вещи, которыми мы пользуемся, в своей основе имеют приблизительный Золотой прямоугольник: кредитные карточки, игральные карты, открытки, блокноты, карточки каталога 3 х 5 и 5 х 8 и т.д.
Рисунок 5 – Здания ООН
Когда мы понимаем, что информация, необходимая для образования спиралей и чисел в живых организмах, хранится в ДНК, то должно ли нас удивлять, что ширина молекулы ДНК составляет 21 ангстрем (1А =10-10 м), а длина одного полного поворота её спирали равна 34 ангстремам (причем оба числа относятся к последовательности чисел Фибоначчи)? Молекула ДНК представляет собой одну длинную цепь золотых сечений. Их можно обнаружить как в живой, так и в неживой природе. Их симметрия, красота и математическая точность присутствуют в каждой сфере природы, но любое творение лишено полного совершенства (возможно, из-за греха Адама).
Вы задумывались, можно ли определить меру красоте? Оказывается, с математической точки зрения возможно. Простая арифметика даёт понятие об абсолютной гармонии, которая и отображается в безупречной красоте, благодаря принципу Золотого сечения. Архитектурные сооружения древнего Египта и Вавилона первыми начали соответствовать данному принципу. Но сформулировал принцип первым Пифагор. По ряду Фибоначчи устроена шишка, ракушка, ананас, подсолнух, ураган, паутина, молекула ДНК, яйцо, стрекоза, Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил — тяготения и инерции. «Золотая пропорция» символ этого взаимодействия, поскольку диктуемое ею отношение большей части целого к самому целому выражает основные моменты живого роста: стремительный взлет легкого юного побега до зрелости и замедленный рост «по инерции» до момента цветения, когда достигшее полной силы растение готовится дать жизнь новому побегу. «Золотое сечение» - один из этих основополагающих принципов природы.
Рисунок 6 - ДНК
Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Пример золотого сечения в строении тела человека: если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618. Кто любит чудеса - сотворите волшебное действо: умножьте свой рост на магическое число 0,618 и вы выйдете на пуп! Если получится - то вы идеальный человек по Леонардо да Винчи. Таким образом, человеческие представления о красивом формируются явно под влиянием того, какие воплощения порядка и гармонии человек видит в живой природе.
Рисунок 7 – Правила золотого сечения
В Москве в 2017 году мэром города Сергеем Собяниным был запущен проект реновации жилого комплекса столицы. Казалось бы, что подобная мера должна быть встречена с воодушевлением среди жителей города. Ведь взамен квартир в старых пятиэтажках, которые подлежат сносу, горожанам предлагают переселиться в новые, комфортные дома. Однако подобная инициатива со стороны руководства столицей вызвала негативную реакцию и люди начали выходить на митинги против сноса старых сооружений. Инженер-физик Алексей Золотарев, предполагает, что разгадка заключается в том, что хрущёвки Москвы строились именно по золотым пропорциям. Скорее всего, предполагает ученый, люди это чувствуют, жить в пятиэтажках очень комфортно, люди меньше болеют и поэтому не хотят переезжать куда-либо. Физик утверждает, что существует особые «космические» пропорции построения всех жилых систем, который имеет цифровое выражение — 1,618. Эта цифра имеет сакральный, мистический смысл. Во время правления Хрущева по всей стране развернулось строительство малогабаритных пятиэтажек.
2. Числа Фибоначчи
В 1202 г. вышла в свет “Книга абака” (о счетной доске) — труд итальянского математика Леонардо Пизанского, известного больше как Фибоначчи. В ней он решал задачу о кроликах: сколько пар кроликов родится от одной пары кроликов, если каждая пара в месяц дает новую пару, которая со второго месяца тоже становится производителем, и кролики не дохнут? Он получил последовательность, названную в дальнейшем числами Фибоначчи. Ряд чисел Фибоначчи строится таким образом, что каждое последующее число равно сумме двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и т.д. Примеры ритмических вариантов золотого сечения: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123 и т.д.; 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, 157, 254...
И. Кеплер (1571—1630) обнаружил этот ряд при построении модели Солнечной системы. Каждый член ряда чисел Фибоначчи является одновременно аддитивным и мультипликативным, т.е. одновременно причастен к природе арифметического ряда и геометрической прогрессии. Связь аддитивного (сложение) и мультипликативного (умножение) принципов постоянно находится в центре внимания исследователей золотого сечения. Из него видно, что тождество противоположностей есть сущность золотого сечения и в этом его гармонический смысл, его природа.
Ботаниками было обнаружено, что применяемая в ботанике для описания расположения листьев на побеге последовательность дробей 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34, 21/55, 34/89 составлена из чисел ряда Фибоначчи (1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89, 89/144 и т.д.) и так же содержит золотое сечение и означает последовательность видов винтовых осей симметрии. Числитель и знаменатель каждой дроби, начиная с третьей, равны соответственно сумме числителей и знаменателей двух предыдущих дробей. Если присмотреться к деревьям, то можно заметить, что между двумя парами листьев третий находится в точке золотого сечения. В системах типа головок подсолнечника можно заметить два семейства спиралей, раскручивающихся в противоположные стороны и пересекающихся под углами, близкими к прямым. Эти спирали получили название “контактные парастихи”. Спирали одного семейства короче и малочисленнее, чем спирали другого семейства. Контактные парастихи также характеризуют, задавая дроби, в числителе которых стоит число данных парастих, а в знаменателе — общее число парастих. У большинства подсолнечников имеется 34 коротких и 55 длинных парастих, идущих в противоположных направлениях. Этой системе парастих соответствует дробь 55/89. Контактным парастихам, встречающимся у растений других видов, можно сопоставить дроби, образующие последовательность типа чисел Фибоначчи: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89 и т.д.
Если же разделить последующее число на предыдущее, то мы снова получим корни золотой пропорции, например, 144:89 = 1,6179775, и тем точнее будет этот результат совпадать с корнями золотой пропорции, чем дальше отстоят члены ряда от начала.
Ученые-экспериментаторы прошлого века, изучавшие расположение цветов, обнаружили в упакованных по логарифмическим спиралям семенах подсолнечника и ромашки, в чешуйках и плодах ананаса и хвойных шишках золотое сечение.
3. Золотое сечение в астрономии
Главным пунктом своего учения Пифагор считал понятие “всемирной симпатии”, т.е. гармонии всего существующего. Он одним из первых использовал термин “космос” (от греч. cosmeo — украшаю), т.е. упорядоченный, гармоничный мир, противопоставляя его хаосу, беспорядочному началу бытия, с которого, по мнению греков, и началось созидание богами Мироздания.Именно поэтому Пифагор и пифагорейцы всюду и во всем искали лад, порядок, начиная с музыки и кончая движением небесных светил. Все явления природы они оценивали с позиций, что “принципы математики являются принципами всего сущего”. Учение Пифагора до сих пор служит источником плодотворных идей в естествознании.
Пифагорейцы считали, что небесные светила расположены на концентрических сферах, имеющих своим общим центром Землю. Расстояния между сферами соответствует определенным музыкальным интервалам. При вращении сфер каждая из них издает свой тон, и в результате сложения тонов получается гармоническая мелодия — “музыка небесных сфер”, услышать которую могут только избранные.
Пулковский астроном К.Н. Бутусов в серии обстоятельных работ решил проверить, в чем правы и в чем ошибались пифагорейцы. Оказалось, что соотношение периодов соседних планет равно числу Ф или Ф2. Частоты обращения планет и разности частот обращений образуют спектр с интервалом, равным числу Ф, т.е. спектр, построенный на основе золотого сечения. Расположение перигелиев и афелиев планет по логарифмическим спиралям также связано с гармоническим числом Ф.
Не воспринимаемая нашим ухом “музыка небесных сфер” таит в себе глубокий физический смысл. Когда формировалась Солнечная система, в газопылевом облаке, окружающем Солнце, возникали акустические волны, создаваемые Солнцем и зарождающимися планетами. Для устойчивости планетных орбит должны выполняться условия стационарности, которые осуществляются при резонансе акустических - волн с периодом, равном периоду обращения планеты. Почему же число Ф так распространено в Солнечной системе? Эту загадку еще предстоит решить будущему, а прикладные исследования золотого сечения для описания форм планет, их орбит, спиральных галактик очень плодотворны.
4. Золотое сечение в искусстве и музыке
Золотое сечение — это явление, обнаруживаемое в искусстве и уходящее корнями глубоко в природу. Пифагорейцы считали золотое сечение одним из главных центров своего учения о числовой гармонии мира. Греки обнаружили именно эту пропорцию в хорошо сложенном человеческом теле. Она радует глаз, будучи воплощенной в скульптуре и архитектурных ансамблях.
В эпоху Возрождения золотое сечение становится главным эстетическим принципом. Леонардо да Винчи, Рафаэль, Микеланджело, Тициан и другие художники этой эпохи используют его в композициях своих полотен.
В музыке также есть следы вездесущего золотого сечения. Если длину струны уменьшить вдвое, тон повысится на одну октаву. Уменьшению длины струны в отношении 3/2 и 4/3 будут соответствовать интервалы квинта и кварта. Благозвучные интервалы и аккорды имеют соотношение частот, близкое к числу Ф. Кульминация мелодии часто приходится на точку золотого сечения ее общей продолжительности.
Современные музыковеды выявили золотое сечение в произведениях Баха, Бетховена, Шопена. Ими было проанализировано множество музыкальных произведений от Баха до Шостаковича. Приблизительно 85% проведенных исследований соответствует золотому сечению. В выдающихся произведениях отношения метрических масштабов основных разделов музыкальной формы соответствуют золотому сечению с точностью до пятого или шестого знака. Кроме произведений крупной формы анализировались и миниатюры, например, прелюдии Скрябина, миниатюры Прокофьева, русские народные песни. Законы гармонии, законы золотого сечения были обнаружены и в этих произведениях.
На протяжении столетий звон колокола извещал людей об опасности, будил по утрам, указывал, когда наступило время отправляться на работу, садиться за трапезу и т.д. Колокольни — необходимая часть английского пейзажа. В континентальной Европе звонили сразу в несколько колоколов. Тот, кто правил колоколом, правил городом. Колокольному звону придавалось важное значение. Искусству колокольного звона мы обязаны не только мелодичным звучанием колоколов, но и обширной, детально разработанной терминологией, позволяющей звонарям обмениваться краткими и точными репликами во время исполнения переборов с вариациями.
Чтобы перезвонить все возможные вариации из восьми колоколов, потребовалось бы двадцать четыре часа. На семи колоколах все мыслимые ударные комбинации можно перезвонить за три с половиной часа.
Звонарю, управляющемуся со своей веревкой и не отрывающему глаз от веревок, ведущих к колоколам, которые должны пробить раньше или позже, приходится использовать симметрию: если звонарь остановит колокол слишком рано, то свободный конец веревки будет путаться под ногами и при обратном качании колокол не будет подниматься достаточно высоко. Если же звонарь потянет за веревку слишком сильно, то колокол может проскочить верхнюю точку и звонарь взлетит под потолок. Каким образом не искушенный в математике звонарь ощущает разницу между перестановками колоколов, остается загадкой, но именно это имеет решающее значение и в исполнении и в композиции звонов, древней и вечно живой разновидности искусства, радующих слух и восхищающих разум.
Гармония — это закон единства, она не может быть сведена к чистому количеству. Не случайно древние переносили законы музыкальной гармонии на всю Вселенную. Музыка, как и все искусство, выражает гармонию, но не количество, а качество, сущность, красоту, поэтому акценты следует перенести на описание качества.
Понимание гармонии как связи частей в целое исходит от искусства, а сама проблема гармонии возникла при сопоставлении законов восприятия с важнейшими фактами в искусстве, и особенно в музыке. Любое число можно преобразовать в любой далекий диапазон. Но перенос числа на семь октав имеет фундаментальный смысл, так как выражает границы качественной определенности чисел. В музыке семь октав: расстояние от самого нижнего звука до самого верхнего как раз равно семи октавам. Звуки ниже или выше наш слух уже не различает как качественно разные звуки. Но границы качественной определенности чисел связаны не только с семью октавами, а, по-видимому, вообще с числом семь: 7 звуков в гамме, 7 цветов в солнечном спектре, через 7 дней меняются фазы Луны, 7 дней в неделе, “7 дырок в голове” и т.д. Научный подвиг Д. Менделеева заключается в открытии им периодического закона, на основании которого он составил таблицу, названную впоследствии его именем и имеющую 7 периодов.
О роли числа 7 в Библии нет нужды говорить: это и 7 дней сотворения мира, 7 ангелов, 7 печатей, 7 светильников, 7 церквей и т.д. Можно предположить, что под числом 7 древние философы подразумевали некий высший принцип Бытия. В китайской системе счета четыре семерки распределялись между четырьмя Гениями, господствующими над четырьмя сторонами света.   Проанализировав бетховенскую “Апассионату”, совершенство форм которой не вызывает сомнений, по количеству тактов в экспозиции, разбиению, репризе, ученые нашли там золотую пропорцию. Когда этот факт был обнаружен, он произвел впечатление “чуда”, так как чем талантливее художник, тем точнее и разнообразнее работают числа. Потом золотая пропорция была выявлена в фортепьянной сонате № 4 Прокофьева.
Из всех искусств только музыка поддается точному численному анализу, поэтому она стала превосходным чувственным материалом, конкретным кодом, в котором зашифрованы законы гармонии мира. Все познание фактически представляет собой расшифровку труднейшего и сложнейшего кода и перевода его на язык науки. При этом можно с уверенностью сказать, что установленные законы лишь слегка приоткрывают занавес, за которым разворачивается целый океан событий, совершенно не познанных.
Заключение
Можно сделать следующие, такие выводы:
1. Золотая пропорция Пифагора оказалась связанной с фундаментальными проблемами науки. Сквозь годы и века она привела не только к структурной, но и к геометрической и динамической симметриям.
2. На основе биологических законов сохранения, разнообразных вариантов симметрии законов живой природы относительно тех или иных преобразований рано или поздно удастся проникнуть в сущность живого, объяснить ход эволюции, ее вершины и тупики, предсказать неизвестные сейчас ветви — теоретически возможные и действительные числа типов, классов, семейств организмов, т.е. можно поставить вопрос о не единственности той картины мира, которую мы знаем.3. Золотое сечение неотделимо от ценностей искусства, так как обнаруживает себя как признак структурного единства объектов природы.
4. Раскрытие объективных законов гармонии формирует прочный фундамент мировоззренческого и профессионального отношения к творчеству, к жизни. Вспомним слова Л. Фейербаха: “То, что человек называет целесообразностью природы и как таковую постигает, есть в действительности не что иное, как единство мира, гармония причин и следствий, вообще та взаимная связь, в которой все в природе существует и действует”.   Изучение и постижение законов гармонии способны направить творческую деятельность человека не в русло формотворчества, а в русло создания нового, созвучного основным объективным законам восприятия, которым отображены законы гармонии в природе.
Список литературы
1. Бернштейн, С.Н. Аналитическая природа решений дифференциальных уравнений эллиптического типа / С.Н. Бернштейн. - М.: [не указано], 2017. - 980 c.
2. Вече. Живой Кристалл. Матрица Золотого Сечения. - М.: Золотое Сечение, 2009. - 192 c.
3. Выучейский, Владислав "Золотое сечение" в историческом наследии Республики Беларусь / Владислав Выучейский. - М.: LAP Lambert Academic Publishing, 2011. - 438 c.
4. Дороже золота. Природа наше богатство: моногр. . - М.: Географгиз, 1983. - 264 c.
5. Тимердинг, Г. Е. Золотое сечение / Г.Е. Тимердинг. - М.: ЁЁ Медиа, 1985. - 646 c.
6. Тимердинг, Г. Е. Золотое сечение / Г.Е. Тимердинг. - Москва: Высшая школа, 2009. - 112 c.
7. Шевелев, И. Ш. Золотое сечение / И.Ш. Шевелев, М.А. Марутаев, И.П. Шмелев. - М.: Стройиздат, 1990. - 344 c.