Методы обработки результаты измерений. Оценка равноточных и неравноточных измерений

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………..........................3
1 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1.1 Оценка точности равноточных измерений………………………………...4
1.2 Оценка точности неравноточных измерений………………………………6
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….10
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ…………………………...11

ВВЕДЕНИЕ

Результаты измерений всегда содержат некоторые погрешности.
Погрешностью Δ называют отклонение результата измерения l от
истинного значения измеряемой величины Х:

Δ = l – Х (1.1)
Погрешности проявляются, например, при многократном измерении
одной и той же величины – получаемые результаты всегда несколько
различаются между собой, и значит, неизбежно отличаются от истинного
значения, т.е. содержат погрешности.
Причинами, порождающими погрешности результатов измерений,
являются несовершенство измерительных приборов, несовершенство органов
чувств наблюдателя, внешние условия, влияющие на измерения.
Измерения, выполненные однотипными приборами, одинаковыми
методами и в одинаковых условиях, принято считать равноточными, а
выполненные разными приборами и методами, в разных условиях считают
неравноточными.
При уравнивании различных геодезических построений выполняют
обработку и оценку равноточных и неравноточных измерений, поэтому
тема реферата является актуальной.
Цель работы – рассмотреть оценку точности равноточных и
неравноточных измерений
В соответствии с поставленной целью, задачами работы являются:
1) анализ методов обработки равноточных и неравноточных
измерений;
2) исследование оценки точности равноточных и неравноточных
измерений
Методы исследования: анализ, синтез, дедукция, сравнение,
описание.

1 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1.1 Оценка точности равноточных измерений

Равноточными измерениями называют измерения, выполненные
одним геодезическим прибором, с одной и той же точностью
геодезических измерений.
Пусть даны результаты многократных равноточных измерений одной
величины: l 1 , l 2 , …, l n . Рассмотрим их среднее арифметическое:

n
lll
Ln
21

. (1.2)
Согласно (1.1) измеренную величину можно представить как:
l i = Х + Δ i (i = 1, 2, … n).
Поэтому напишем:


n

XXX
Ln
21

= X  nn21
.

С увеличением числа измерений сумма случайных погрешностей,
деленная на их число, стремится к нулю, и, следовательно, среднее
арифметическое L стремится к истинному значению Х, поэтому значение
определяемой величины принимают равным среднему арифметическому.
Пусть точность результатов измерений l 1 , l 2 , …, l n характеризуется
средними квадратическими погрешностями:
m 1 = m 2 =  = m n = m

и требуется найти среднюю квадратическую погрешность M
арифметической средины.
Представим формулу (1.2) в следующем виде:
L = nl
nl
nl
n
111
21
.

Среднюю квадратическую погрешность арифметической средины
найдем как погрешность функции измеренных величин:
2
2
2
22
2
12
21
...11
nm
nm
nm
nM

n
m2


или

n
m
M
(1.3)
Формула (1.3) показывает, что погрешность арифметической средины с
ростом числа измерений убывает пропорционально квадратному корню из
этого числа. Так, чтобы погрешность среднего арифметического уменьшить в
2 раза, число измерений надо увеличить в 4 раза.
Обработка результатов равноточных измерений
Математическая обработка ряда результатов l 1 , l 2 , …, l n прямых
равноточных измерений одной величины выполняется в следующей
последовательности:
1. Вычисляют среднее арифметическое L

n
l
L
.

2. Вычисляют поправки к v i результатам измерений

iilLv

(i = 1, 2, …, n)

Контролем правильности вычислений служит сумма поправок, которая
должна быть близка к нулю.
3. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность одного
измерения по формуле Бесселя:


1
n
vv
m

.

Значение m вычисляют с двумя-тремя значащими цифрами.
4. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность среднего
арифметического

n
m
M
.

1.2 Оценка точности неравноточных измерений

Неравноточными называют измерения, выполненные приборами
различной точности, разным числом приемов, в различных условиях.
При неравноточных измерениях точность каждого результата
измерений характеризуется своей среднеквадратической погрешностью.
Наряду со средней квадратической погрешностью при обработке
неравноточных измерений пользуются относительной характеристикой
точности – весом измерения.
Вес i-го измерения вычисляют по формуле

2
i
i
m
c
p

(1.4)
где с – произвольная постоянная, назначаемая вычислителем, m i –
средняя квадратическая погрешность i-го измерения.
Так, имея ряд результатов измерений l 1 , l 2 , ..., l n , со средними
квадратическими погрешностями m 1 , m 2 , ..., m n , определяют их веса:

p 1 = c / m 1 2 , p 2 = c / m 2 2 , ..., p n = c / m n 2 .

Часто постоянную с для удобства дальнейших вычислений назначают
так, чтобы веса p i оказались целыми числами.
Рассмотрим смысл произвольной постоянной с.
Предположим, что в результате фиксирования значения с вес j-го
измерения стал равен 1, то есть p j = c / m j 2 = 1. Отсюда находим c = m j 2 .
Следовательно, постоянная с есть квадрат средней квадратической
погрешности  2 такого измерения, вес которого принят за единицу (с =  2 ).
Теперь (1.4) можем записать так

2
2
μ
i
i
mp
. (1.5)
Кратко  называют средней квадратической погрешностью единицы
веса.

Вес арифметической средины. Рассмотрим вес арифметической
средины равноточных измерений. Примем в формуле (1.3) за единицу вес
одного измерения, то есть  = m, и запишем nMμ .
Тогда согласно (1.5) вес Р арифметической средины L будет равен

P = 2
2
μ
M = n. (1.6)
Вывод. Если за единицу веса принят вес одного измерения, то согласно
вес арифметической средины равен числу измерений.
Следствие. Если результат l измерения имеет вес р, то можем считать,
что l является средним арифметическим из р измерений с весом 1.
Общая арифметическая средина результатов неравноточных
измерений.
Пусть имеем результаты многократных неравноточных измерений
одной величины: l 1 , l 2 , …, l n , выполненных с весами p 1 , p 2 , …, p n .
Представим каждый из результатов l i (i = 1, 2, …, n) как среднее из p i
результатов с весом 1. Получим такой ряд результатов равноточных
измерений:

l 1  результат p 1 измерений с весом 1,
l 2  результат p 2 измерений с весом 1,

l n  результат p n измерений с весом 1,
где общее число измерений с весом 1 равно p 1 + p 2 ++ p n .
Нами составлен ряд результатов равноточных измерений,
позволяющий найти окончательное значение измеряемой величины как
среднее арифметическое из всех результатов измерений

p
pl
ppp
lplplp
L

n
nn





...
...
21
2211
0

. (1.7)
Значение, вычисляемое по формуле (1.7), называют общей
арифметической срединой или весовым средним.

Оценки точности результатов неравноточных измерений.
Приведем без вывода формулы характеристик точности, используемых
при обработке прямых неравноточных измерений.
Средняя квадратическая погрешность  измерения, имеющего вес,
равный единице:

 формула Гаусса:


n
p2
μ

.

Формула применяется, когда известно достаточно точное, близкое к
истинному, значение X измеряемой величины.

 формула Бесселя:


1μ
2

n
pv
,

где v i  поправки к результатам измерений:

;
101lLv

;202lLv nnlLv0 .

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины

pMμ
0

Обработка результатов неравноточных измерений.
Математическая обработка ряда результатов прямых неравноточных
измерений одной величины выполняется в следующей последовательности.
1. Вычисление весового среднего (общей арифметической средины)


p
pl
L
0
.

2. Вычисление поправок к результатам измерений:

iilLv
0 (i = 1, 2,…, n).
Контролем правильности вычислений служит равенство

0pv

3. Вычисление средней квадратической погрешности одного измерения
по уклонениям от арифметической средины, используя формулу Бесселя для
неравноточных измерений:


1μ
2

n
pv
.

4. Вычисление средней квадратической погрешности весового среднего

pMμ
0
.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании проведенного исследования, можно сделать
следующие выводы:
1)измерения, выполненные однотипными приборами, одинаковыми
методами и в одинаковых условиях, принято считать равноточными, а
выполненные разными приборами и методами, в разных условиях считают
неравноточными;
2) оценка точности равноточных измерений выполняют по
формуле Бесселя,для чего вычисляют поправки к измерениям, как
отклонения от среднего арифметического;
2) оценка точности неравноточных измерений связана с
нахождением весов и средней квадратической погрешности одного
измерения по уклонениям от арифметической средины

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Дегтярев А. М. Вероятностно-статистические методы в геодезии.
Конспект лекций. – Новополоцк: ПГУ, 2005. - 208 с.
2. Маркузе Ю. И. Практикум по теории математической обработки гео-
дезических измерений. – М.: Недра, 1986. - 358 с.
3. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инжене-
ров и научных работников. – М.: Физматлит, 2006 г. – 816 с.
4. Гайдышев И.В. Анализ и обработка данных: специальный справоч-
ник. –СПб: Питер, 2002. -752 с.
5. Смоляк С.А., Титаренко Б.П. Устойчивые методы оценивания: Ста-
тистическая обработка неоднородных совокупностей. – М.: Статистика, 1980.
– 208 с.