Контрольная по математике «Методы оптимальных решений»

Решить элементарную экономико-математическую задачу графическим методом.
Найти максимальное и минимальное значение целевой функции при заданных ограничениях.
Ограничение Переменная Тип ограничения Объем ограничения
1 2 А 4 5 не более 66
В -8 12 не более 88
С 3 5 не менее 16
D 6 -8 не более 24
E -2 10 не менее 16
Целевая функция 5 12 MAX, MIN
Решение:
Математическая модель задачи имеет вид:
При ограничениях:
Построим область допустимых решений задачи, ограниченную неравенствами:
Построение граничных прямых, соответствующих системе ограничений:
Прямая l1. Первое неравенство заменяем уравнением .
Найдем точки пресечения l1 с осями координат, для этого одну из переменных приравниваем к нулю и определяем значение второй переменной:
при x1 = 0, х2 = 665, тогда прямая l1 пресекает ось Ох2 в точке (0; 665);
при х2 = 0, x1 = 332, следовательно, точка пересечения прямой l1 с осью Ох1 имеет координаты (332; 0).
Граничную прямую l1 построим по точкам (0; 665), (332; 0) (рис. 1).
Аналогично построим граничные прямые для остальных неравенств:
Прямая l2. Второе неравенство заменяем уравнением .
При x1 = 0, х2 = 223, а при х2 = 0, x1 = -11. Тогда граничная прямая l2 пересекает оси координат в точках (0; 223) и (-11; 0).
Прямая l3. Третье неравенство заменяем уравнением .
При x1 = 0, х2 = 165, а при х2 = 0, x1 = 163. Тогда граничная прямая l2 пересекает оси координат в точках (0; 165) и (163; 0).
Прямая l4. Четвертое неравенство заменяем уравнением .
При x1 = 0, х2 = -3, а при х2 = 0, x1 = 4. Тогда граничная прямая l4 пересекает оси координат в точках (0;-3) и (0; 4).
Прямая l5. Пятое неравенство заменяем уравнением .
При x1 = 0, х2 = 85, а при х2 = 0, x1 = -8. Тогда граничная прямая l2 пересекает оси координат в точках (0; 85) и (-8; 0).
left26081200right24003000center57035x200x2
312229522854790033245221547847004198183203484300221938121124740021543861515464003639021846755003617987840226nn-12463816413320031394938073700left19226330042267562325125D
D
30975792208058Е
Е
3369555806255В
В
21455671688172А
А
45391261697838С
С
30899102458476421713222391074591392195257634467801061329216295619010922765035740789007773692825115l5
00l5
5299903839655l4
00l4
17125021068199l3
00l3
4028904107215l2
00l2
242160199544900-987011876810054960983014806l1
00l1
left62657200224155171311500857770311757675912499231х1
0х1
51896962108041l1
l1
Рис. 1 – Область допустимых решений.
Анализ допустимых полуплоскостей позволяет определить, что ОДР – это неограниченная выпуклая многоугольная область ABCDE, ограниченная прямыми (1), (2), (3), (4) и (5). (см. рис. 1).
Строим линию уровня целевой функции и вектор градиента n = (5;12). При поиске точки максимума ЦФ будем двигать целевую прямую по направлению вектора n (рис. 1), пока не достигнем последней точки области. Точка В – это последняя точка через которую проходит целевая прямая, т.е. В – точка максимума ЦФ. Видно, что выход из области (максимум целевой фун...