Математичне забезпечення САПР

Тема : Математичне забезпечення САПР.

1. Загальні поняття та вимоги до МЗ.

2. Способи отримання математичних моделей.

3. Постановка задач оптимізації.

4. Класифікація і характеристика методів оптимізації.

1.

МЗ включає в себе мат. методи, мат. моделі та алгоритми.

Мат. моделі описують взаємозв’язки параметрів об’єкту, а також дозволяють оцінити наслідки проектних рішень. Важливою перевагою мат. моделей є можливість одержати інформацію про об’єкт проектування без проведення натуральних експериментів.

Основні вимоги до мат. моделей:

1) універсальність;

2) точність;

3) адекватність;

4) економічність.

1) Універсальність – мат. моделі – означає можливість її застосування для аналізу певної групи об’єктів.

2) Точність м.м. – оцінюється мірою співпадання даних, отриманих по м.м. із реальними даними.

3) Адекватність м.м. – здатність відображати властивості об’єкту із похибкою не вище заданої.

4) Економічність м.м. – характеризується затратами обчислюваних ресурсів на її реалізацію.

До обч. ресурсів відносять:

1) час, який необхідний для реалізації мат. моделей.

2) об’єм машинної пам’яті.

2. Способи отримання мат.моделей.

Існує три отримання м.м.:

1) Аналітичний;

2) Експериментально-аналітичний;

3) Експериментальний.

Суть аналітичного способу отримання м.м. полягає в застосуванні класичних законів фізики, хімії та ін.наук.

Суть експериментально-аналітичного методу полягає в обчисленні значень коефіцієнтів для насамперед відомої моделі.

Для отримання мат. моделей експериментальний метод – 9.3. док. необхідно реалізувати сукупність експериментальних досліджень, серію дослідів тощо.

Експериментальні дослідження можуть проводитись за класичним способом та за допомогою математичного планування експериментів.

Недолік класичного методу – це велика кількість дослідів.

Перевага – вища точність опису.

Мат. програмування експерименту дозволяє побудувати мат. залежності (м.м.) при значно меншій кількості дослідів.

Найширше для опису процесів та об’єктів д/о застосовуються: повнофакторні плани (ПФП); плани Бокса (В); а також центральні композиційні уніфориронтотабельні плани (УКУРП).

Класичн. 5² = 25

ПФП N = 2^R = 4

Y = b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₁₂ * x₁x₂

Перевага – менша кількість дослідів.

Недолік – точність опису гірша.

Якщо модель 1-го порядку неадекватна, то переход. до планів Бокса, та до УКУРП.

Реалізація цих планів дозволяє отримати мат. моделей у вигляді рівняння регресії 2-го порядку.

де:

y – значення вихідного параметра (критерія оптимізації);

b₀ – значення вільного члена;

b_i – значення лінійних коефіцієнтів;

b_ii – значення квадратних коефіцієнтів;

b_ij – значення коефіцієнтів парної взаємодії;

x_i – значення вхідних факторів.

3. Загальна постановка задач оптимізації.

2 види м.м.

1) описового характеру;

2) оптимізаційні.

Після побудови м.м. проектувальник здійснює її оптимізації:

1) вибір оптичного типу об’єкта;

2) вибір оптимальної конструктивної схеми;

3) оптимізацію параметрів об’єкту;

4) пошук оптимального управління об’єктом;

5) оптимізацію допусків та параметрів.

Після побудови м.м. формуємо функцію мети (критерії оптимізації).

Функція мети – кількісний показник, який дозволяє оцінити ефективність прийнятих рішень.

Критерії (показники) оптимізації поділяються на 3 групи:

1) технічні;

2) техніко-економічні;

3) екологічні.

1 – надійність, енерго- та металомісткість, тривалість служби.

2 – продуктивність, собівартість, рентабельність і ін.

3 – оцінюють вплив проектованого об’єкту на довкілля.

Після побудови функції мети формують обмеження на параметри (продуктивний облад.; габаритні розміри меблевих виробів, к.к.д., швидкодію та ін.).

Після цього приступаємо до вибору методу оптимізації.

Для оптимізації використовуються:

1) Класичні або аналітичні методи (диференційне числення, варіаційне числення, метод многочленів Лагранжа).

2) Методи мат. програмування:

а) лінійне;

б) нелінійне;

в) динамічне;

г) стохастичне програмування.

(стохастична – випадковість в часі).

Лінійне програмування – використовується в тих випадках, коли функція мети та обмеження мають лінійний характер (Simplex - метод).

Нелінійне програмування – застосовується в тих випадках, коли функція мети або обмеження є нелінійним (методи сканування, градієнтні).

Стохастичне програмування - …, коли маємо справу із випадковими факторами.

Динамічне програмування – використовується для оптимізації дискретних об’єктів, які можна природно або умовно поділити на окремі стадії в часі або просторі.