Оптимизация прямого поиска для определения минимума функции n переменных методом Нелдера-Мида.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

Самарский государственный технический университет

Факультет автоматики и информационных технологий

Кафедра информационно-измерительной техники

Расчетно-пояснительная записка

к курсовой работе Оптимизация прямого поиска для определения минимума функции n переменных методом Нелдера-Мида.

по курсуСистемы автоматического проектирования

НормоконтрольПетрова Т. А.

Руководитель работы Хавлин О.В.

Студент Бромберг Е.Е.

Группа 5-АИТ-5

Срок выполнения ____________________________

Работа защищена с оценкой___________

г. Самара 2008

Реферат

Пояснительная записка содержит 16страниц, 5 рисунков и 2 источника.

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ, БАЗИСНАЯ ТОЧКА, СИМПЛЕКС, ОТРАЖЕНИЕ, РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ, ДЛИНА ШАГА, МЕТОД НЕЛДЕРА-МИДА.

В пояснительной записке изложены основы прямого поиска для определения минимума функции n переменных. Выбран метод оптимизации поиска Нелдера-Мида. В расчетной части метод Нелдера-Мида реализован программно, в среде TurboPascal, представлены блок схема алгоритма оптимизации, листинг программы.

ВВЕДЕНИЕ

На разработку методов прямого поиска для определения минимума функции n переменных было затрачено много усилий. Методы прямого поиска являются методами, в которых используются только значения функции. Один из наиболее надежных метод Нелдера-Мида, являющийся одним из самых эффективных, если

Рассмотрим функцию двух переменных. Ее линии постоянного уровня представлены на рис. 1. Линией постоянного уровня называется кривая в двухмерном сечении пространственных параметров ( в данном случае – в плоскости ), значение функции на которой константа. Минимум функции лежит в точке , где -где ряд значений от 0,1 до 1 с шагом 0,1.

1 МЕТОД НЕЛДЕРА-МИДА

Метод Нелдера-Мида является развитием симплексного метода Спендли, Хекста и Химсворта. Множество значений й равноудаленной точки в n-мерном пространстве называется регулярным симплексом. Эта конфигурация рассматривается в методе Спендли, Хекста и Химсворта. Следовательно, в двумерном пространстве симплексом является равносторонний треугольник, а в трехмерном пространстве – правильный тетраэдр.

Идея метода состоит в сравнении значений функции в вершинах симплекса и перемещении симплекса в направлении оптимальной точки с помощью итерационной процедуры. В симплексном методе, предложенным первоначально, регулярный симплекс использовался на каждом этапе. Нелдер и Мид предложили несколько модификаций этого метода, допускающих, чтобы симплексы были неправильными. В результате получился очень надежный метод прямого поиска, являющийся одним из самый эффективных, если

В данном методе симплекс перемещается с помощью трех основных операций: отражение, растяжение и сжатия. Рассмотрим основные шаги процедуры:

А. Найдем значения функции

в вершинах симплекса.

Б. Найдем наибольшее значение функции , следующее за набольшим значением функции , наименьшее значение функции и соответствующие им точки .

В. Найдем центр тяжести всех точек, за исключением точки . Пусть центром тяжести будет

И вычислим .

Г. Удобнее всего начать перемещение от точки . Отразим точку относительно точки , получим точку и найдем .

Операция отражения иллюстрируется рис. 1. Если коэффициент отражения, то положение точки определяется следующим образом:

Д. Сравним значения функции и .

1. Если <, то мы получим наименьшее значение функции. Направление из точки в точку наиболее удобно для перемещения. Таким образом, мы производим растяжение в этом направлении и находим точку и значение . Рисунок 2 иллюстрирует операцию растяжения симплекса. Коэффициент растяжения можно найти из следующих соотношений:

2. Если >, но то является лучшей точкой по с сравнению с другими двумя точками симплекса и мы заменяем точку на точку и, если сходимость не достигнута, возвращаемся на шаг Б.

3. Если > и >, то перейдите на шаг Е.

Е. Сравним значения функции и .

1. Если >, то переходим непосредственно к шагу Е, 2.

Если <, то замещаем точку на точку и значение функции на значение . Запоминаем значение > из шага Д,2. приведенного выше. Затем переходим на шаг Е, 2.

2. В этом случае >, поэтому ясно, что мы переместились далеко от точки к точке . Попытаемся исправить это, найдя точку с помощью шага сжатия, показанного на рисунке 3.

Если >, то сразу переходим к шагу сжатия и находим точку из соотношения:

Если <, то сначала заменим точку на точку , а затем произведем сжатие. Тогда точку найдем из соотношения (см. рис.4):

Коэффициенты в вышеприведенной процедуре являются соответственно коэффициентами отражения, сжатия и растяжения. Нелдер и Мид рекомендуют брать

Рекомендация основана на результатах экспериментов с различными комбинациями значений. Эти значения параметров позволяют методу быть эффективным, но работать в различных сложных ситуациях.

В данной программе точка является начальной точкой, затем в программе формируются точки

Где - произвольная длина шага, а - единичный вектор.

Обозначения, используемые в программе, в целом соответствуют обозначениям, приведенным в тексте.

2 БЛОК – СХЕМА АЛГОРИТМА

Шаги этой процедуры представлены в виде блок-схемы алгоритма на рисунке 5.

3 ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ

Program Nidelermid;

Uses Crt;

Var n, i, j, g, h: integer;

S: array[1..10,1..10] of real;

x, xh,xg,xl,xo,xr,xc,xe: array[1..10] of real;

f: array[1..10] of real;

shag, l: integer;

al,be,ga: real;

k, fh, fl,fg,fo,fr,FE,fc,s1,s2,sig: real;

label 620,1520,1700,1920,2060,2200, 1300, 1600, 1440,2220;

function z(x1,x2,x3,x4: REAL): real;

begin

Z:=100*(x2-x1*x1)*(x2-x1*x1)+(1-x1)*(1-x1);

inc(shag);

end;

begin

clrscr;

shag:=0;

g:=1;

h:=1;

l:=1;

Writeln('Simpleksniy method Nidlera mida');

Writeln('Function: F(x)=100(x1-x2^2)^2+(1-x1)^2');

Writeln('Vvedite chislo peremennih');

Readln(n);

Writeln('Vvedite nachalnoe pribligenie');

for j:=1 to n do

readln(s[1,j]);

Writeln('Vvedite dlinny shaga');

Readln(k);

for i:=2 to n+1 do

for j:=1 to n do

if j=i-1 then

s[i,j]:=s[1,j]+k

else s[i,j]:=s[1,j];

Writeln('Vvedite Alfa, beta, gamma');

readln(al, be, ga);

for i:=1 to n+1 do

begin

for j:=1 to n do x[j]:=s[i,j];

f[i]:=z(x[1],x[2],x[3],x[4]);

end;

620:

fh:=-0.00000000000000000001;

fl:=0.00000000000000000001;

for i:=1 to n+1 do

begin

if f[i]>fh then

begin

fh:=f[i];

h:=i;

end;

if f[i]<fl then

begin

fl:=f[i];

l:=i;

end;

end;

fg:=0.00000000000000000001;

for i:=1 to n+1 do

if i<>h then

if f[i]>fg then

begin

fg:=f[i];

g:=i;

end;

for j:=1 to n do

begin

xo[j]:=0;

for i:=1 to n+1 do

if i<>h then xo[j]:=xo[j]+s[i,j];

xo[j]:=xo[j]/n;

xh[j]:=s[h,j];

xg[j]:=s[g,j];

xl[j]:=s[l,j];

end;

for j:=1 to n do x[j]:=xo[j];

fo:=z(x[1],x[2],x[3],x[4]);

writeln('Vichisliaem centr tiagest 1120');

for j:=1 to n do

begin

xr[j]:=xo[j]+al*(xo[j]-xh[j]);

x[j]:=xr[j];

end;

fr:=z(x[1],x[2],x[3],x[4]);

writeln('Vipolniaetsia otragenie 1220', z(x[1],x[2],x[3],x[4]):3:5);

if fr<fl then goto 1300;

if fr>fg then goto 1600;

goto 1520;

1300:

for j:=1 to n do

begin

xe[j]:=ga*xr[j]+(1-ga)*xo[j];

x[j]:=xe[j];

end;

fe:=z(x[1],x[2],x[3],x[4]);

if fe<fl then goto 1440;

goto 1520;

1440:

for j:=1 to n do s[h,j]:=xe[j];

f[h]:=fe;

Writeln('Vipolnite rastiagenie 1480', z(x[1],x[2],x[3],x[4]):3:5);

goto 2060;

1520:

for j:=1 to n do s[h,j]:=xr[j];

f[h]:=fr;

writeln('Vipolnenie otragenia 1560');

goto 2060;

1600:

if fr>fh then goto 1700;

for j:=1 to n do xh[j]:=xr[j];

f[h]:=fr;

1700:

for j:=1 to n do

begin

xc[j]:=be*xh[j]+(1-be)*xo[j];

x[j]:=xc[j];

end;

fc:=z(x[1], x[2],x[3],x[4]);

if fc>fh then goto 1920;

for j:=1 to n do s[h,j]:=xc[j];

f[h]:=fc;

writeln('Vipolnenie sjatia 1880', fc:3:5);

goto 2060;

1920:

for i:=1 to n+1 do

begin

for j:=1 to n do

begin

s[i,j]:=(s[i,j]+xl[j])/2;

x[j]:=s[i,j];

end;

f[i]:=z(x[1], x[2],x[3],x[4]);

end;

Writeln('Vipolnenie redikcii 2040');

2060:

s1:=0;

s2:=0;

for i:=1 to n+1 do

begin

s1:=s1+f[i];

s2:=s2+f[i]*f[i];

end;

sig:=s2-s1*s1/(n+1);

sig:=sig/(n+1);

if sig<0.000000001 then goto 2220;

2200:

goto 620;

2220:

Writeln('Minimum naiden v tochke f=', z(x[1],x[2],x[3],x[4]):3:5);

for j:=1 to n do Writeln('x',j,' =',xl[j]:3:5);

Writeln('Kolichestvo vichisleniy ravno ', shag);

readln;

end.

4 СПИСОКИСПОЛЬЗОВАННОЙЛИТЕРАТУРЫ

1. M.J. Box, D.Davies and W.H.Swann, “Non-linear Optimization Techniques,” ICI Ltd Monograph No 5, Oliver and Boyd, 1969.

2. R.Hooke and T.A. Jeeves, “Direct search solution of numerical and statistical problem”, 212-219, 1961.