Получение уравнения переходного процесса по передаточной функции

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 5.

ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА

ПО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ.

ЦЕЛЬ. Научиться определять уравнение переходного процесса по изображению регулируемого параметра по Лапласу.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.

Построение переходного процесса является завершающим этапом исследования автоматической системы. По полученному графику переходного процесса при единичном воздействии можно наглядно определить основные показатели качества регулирования - время регулирования, перерегулирование, установившуюся ошибку.

Пусть нам известны:

W_y(p) - передаточная функция системы по управлению;

W_f(p) - передаточная функция системы по возмущению;

U(p) - управляющий сигнал;

f(p) - возмущающий сигнал.

Тогда изображение по Лапласу регулируемого параметра будет:

x(p)=W_y(p)*U(p) + W_f(p)*f(p).

Вначале рассмотрим случай, когда на систему действует управляющий сигнал U(p), а возмущающее воздействие f(p)=0:

x(p)=W_y(p)*U(p)=.

Таким образом для получения изображения по Лапласу регулируемой координаты необходимо передаточную функцию (ПФ) умножить на изображение по Лапласу входного воздействия.

Согласно таблице 1 задания 4 для входного воздействия в виде одиночного импульса U(t)=1’(t) изображение U(p)=1, для входного воздействия в виде единичного скачка U(t)=1(t) изображение U(p)=.

Рассмотрим несколько примеров получения уравнения переходного процесса по известной передаточной функции.

ПРИМЕР 1. Входное воздействие - единичный импульс U(t)=1’(t).

Передаточная функция:

W(p)=.

Определить уравнение весовой функции.

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра x(p), учитывая, что U(p)=1.

x(p)=W(p)*U(p)=.

2. Определяем корни характеристического уравнения.

p=

3. Преобразуем выражение x(p) согласно формуле №8 табл.1 (задания 4).

x(p)=.

4. Определяем уравнение весовой функции по формуле №8.

x(t)=4*e^-2t*sin(6t).

ПРИМЕР 2. Дана следующая ПФ:

x(p)=

Определить уравнение весовой функции.

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра.

x(p)=

2. Корни характеристического уравнения.

p_1,2= -2±j3.

3. Преобразуем выражение x(p) согласно формулам №8 и №9.

x(p)=

4. Определяем уравнение весовой функции по формулам №8 и №9.

x(p)=3*e^-2t*sin(3t) + e^-2t*cos(3t).

ПРИМЕР 3. Определить уравнение переходной функции по сле-

дующей ПФ:

W(p)=.

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра, учитывая, что U(p)=.

x(p)=*.

2. Корни характеристического уравнения.

p₁=0, p₂= -0.2.

3. Преобразуем изображение x(p) согласно формуле №20.

x(p)=.

4. Определяем уравнение весовой функции по формуле №20.

x(p)=30*(1- e^-0.2t).

Таким образом для построения любого переходного процесса (весовой или переходной функций) необходимо прежде всего определить корни изображенного по Лапласу регулируемого параметра. Это сделать сложно, если знаменатель является полиномом выше третьего порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ МЕТОДОМ ПРИБЛИЖЕНИЯ.

Рассмотрим этот метод на конкретном примере.

ПРИМЕР 4. Определить корни в следующем характеристическом уравнении:

L(p)=p⁴+7.04p³+6.842p²+3.7104p+0.5904=0

РЕШЕНИЕ.

В первом приближении один из корней можно определить по двум последним членам этого уравнения.

3.7104p+0.5904=0 p₁= -= -0.1591.

Если бы этот корень был бы вычислен точно, то данное уравнение разделилось бы на (p+0.1591) без остатка. В действительности получаем:

­_p⁴+7.04p³+6.842p²+3.7104p+0.5904 | p+0.1591_________.

p⁴+0.1591p³ p³+6.8809p²+5.748p

_6.8809p³+6.842p²

6.8809p³+1.094p²

_5.748p²+3.7104p

5.748p²+0.9145p

2.7959p+0.5904

По полученному остатку 2.7959p+0.5904 определяем корень во втором приближении.

p₂=

Снова делим уравнение на p+0.211 и получаем остаток 2.570p+0.5904. Тогда корень в третьем приближении p₃= -0.2297. Уравнение снова делим на p+0.2297 и т.д. Наконец, корень в девятом приближении p₉= -0.24, а частное от деления

p³+6.8p²+5.21p+2.46=0.

По двум последним членам этого уравнения снова определяем корни в первом приближении

5.21p+2.46=0 p₁= -0.472.

После деления уравнения на p+0.472 остаток 2.223p+2.46 и корень во втором приближении равен p₂= -1.1066. Корень в третьем приближении p₃=+2.256. Процесс расходится. Корень не может быть положителен в устойчивой САУ.

Тогда по трем (а не по двум) последним членам этого уравнения определяем сразу два комплексных корня характеристического уравнения.

Остаток в первом приближении 6.033p²+4.848p+8.46.

Остаток во втором приближении 5.996p²+4.802p+2.46.

Остаток в третьем приближении 6.00p²+4.80p+3.46, который незначительно отличается от остатка во втором приближении и по нему определяем значение комплексных корней.

p_2,3= -0.4±j0.5.

Частное от деления на остаток в третьем приближении

0.210p+2.46=0, тогда p₄= -6.0.

Примечание. Корни кубического уравнения p³+6.8p²+5.21p+2.46 можно определить методом Карно. Для этого представим его в виде

p³+ap²+bp+c=0

и путем подстановки p= приводим к ²неполному² виду.

y³+n*y+m=0,

где n=

m=

Корни y₁,y₂,y₃ ²неполного² кубического уравнения равны:

y₁=A+B y_2,3=

A= B= Q=.

Определим численные значения корней ²неполного² кубического уравнения.

Q=

A=

B=

y₁=A+B=-1.579+(-2.155)=-3.734

=1.867±j0.49968.

Определяем корни данного характеристического уравнения третьего порядка.

p₁=y₁-= -3.734-= -6.0 p_3,4=1.867±j0.4996-= -0.4±j0.5.

Результаты вычисления корней уравнения третьей степени методом приближения и методом Карно - совпали.

Проведем проверку правильности определения корней уравнения по теореме Виета.

-b= -6.8=p₁+p₂+p₃= -6.0-0.4+j0.5-0.4-j0.5= -6.8

-c= -2.46= -6.0*(0.4²+0.5²)= -2.46

РАЗЛОЖЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ РЕГУЛИРУЕМОГО

ПАРАМЕТРАНА СУММУ ПРОСТЫХ ДРОБЕЙ.

Определение уравнения переходного процесса x(t) по изображению регулируемого параметра в случае, когда знаменатель имеет ²n² корней можно выполнить путем разложения изображения на простые дроби, по которым затем получить прямое преобразование Лапласа, согласно табл.1 задания 4.

x(p)=

где c_i - коэффициент разложения;

p_i - корень уравнения.

Коэффициент разложения c_i в зависимости от вида корней уравнения определяется следующим образом.

1 СЛУЧАЙ. Все корни действительные и разные.

c_i=

где A¢(p)= p=p_i.

Тогда уравнение переходного процесса

x(t)=å.

2 СЛУЧАЙ. Среди ²n² действительных корней есть корень p=0.

c_i=

Тогда уравнение переходного процесса

x(t)=+ å.

3 СЛУЧАЙ. Среди ²n² действительных корней есть ²m² пар комплексно-сопряженных.

Для каждой пары комплексно-сопряженных корней p_1,2= -a±jb определяется два значения коэффициентов c:

с₁= с₂=,

которые являются тоже комплексно-сопряженными выражениями c_1,2=a±jb.

В этом случае определяется модуль |c| и угол j.

|c|= j=arctg

По табл.1 (задание 4) каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует переходный процесс

x(p)=2*|c|*e^-at*cos(bt+j).

В общем случае при наличии в характеристическом уравнении одного нулевого корня, ²k² - действительных корней и ²m² - комплексно-сопряженных переходный процесс описывается уравнением:

x(t)=

Примечание. 4-й случай, когда в уравнении есть кратные вещественные корни в данном задании не рассматриваются.

Рассмотрим несколько примеров такого способа получения уравнений переходного процесса.

ПРИМЕР 5. Единичный импульс подан на систему с передаточной функцией

W(p)=

Определить уравнение весовой функции.

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра, учитывая, что U(t)=1’(t), тогда U(p)=1.

x(p)=

2. Определяем корни характеристического уравнения.

p₁= -1 p₂= -2 p₃= -4.

3. Разложим полученное изображение x(p) на простые дроби.

x(p)=

4. Коэффициенты заложения c_i будем определять согласно 1-му случаю (все корни вещественные и разные).

c₁(-1)=

c₂(-2)=

c₃(-4)=

Примечание. При нулевых начальных условиях алгебраическая сумма полученных коэффициентов разложения должна быть равна нулю.

c₁+c₂+c₃= -0.1666 + 1- 0.8334=0

5. Изображение регулируемого параметра.

x(p)=

6. Уравнение весовой функции согласно формуле 5 табл.1 (задание 4).

x(t)= -0.1666*e^-t+1*e^-2t -0.8334*e^-4t.

ПРИМЕР 6. На систему с передаточной функцией примера 5 подано единичное ступенчатое воздействие. Определить уравнение переходной функции.

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра.

x(p)=

2. Определяем корни характеристического уравнения.

p₁=0 p₂= -1 p₃= -2 p₄= -4

3. Разложим полученное выражение x(p) на простые дроби.

x(p)=

4. Коэффициенты разложения c_i будем определять согласно 2-му случаю (среди вещественных корней есть один нулевой корень).

c₁(-1)=

c₂(-2)=

c₃(-4)=

c₀(0)=

Проверка: c₁+c₂+c₃+c₀=0.1666 -0.5 -0.2084 +0.125=0.

5. Изображение регулируемого параметра.

x(p)=

6. Уравнение весовой функции согласно формулам №3 и №5 табл.1 (задание 4).

x(t)=0.125+0.1666*e^-t-0.5*e^-2t-0.2084*e^-4t.

Примечание. Учитывая, что производная по уравнению переходной функции дает уравнение весовой функции, сравним полученные решения в примере №6 с решение в примере №5.

x’(t)=0+(-1)*0.1666*e^-t-(-2)*0.5*e^-2t+(-4)*0.2084*e^-4t=

= -0.1666*e^-t+e^-2t-0.8336*e^-4t.

ПРИМЕР 7. Определить уравнение переходной функции, если ПФ имеет вид:

W(p)=

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра, учитывая, что u(p)=.

x(p)=

2. Определяем корни характеристического уравнения.

p₁=0 p_2,3=-3±j4 p₄=-2

3. Разложим полученное изображение x(p) на простые дроби.

x(p)=

4. Коэффициенты разложения c_i будем определять согласно 3-му случаю (среди ²n² действительных корней есть комплексно-сопряженные).

c₀(p₁=0)=

c₁(p₂=-3±j4)=

Для возведения в квадрат комплексного числа (-3+j4) представим его в показательной форме.

Полученное комплексное число в показательной форме представим в алгебраической форме.

25*e^j*253°36’=

=25*cos253°36’+j*25*sin 253°36’=25*(-0.28401)+j*25*(-0.95882)=

=-7.100-j*23.970.

ПРИМЕЧАНИЕ. Возведение в квадрат можно произвести и без представления его в показательной форме:

(a+jb)³=(a³-3ab²)+j(3a²b-b³).

(-3+j4)²=((-3)²-4²)+2*(-3)*j4=-7-j24.

Продолжаем определять c₁(p₂).

c₁(p₂=-3+j4)=

=

Так как третий корень p₃= -3-j4 комплексно-сопряженный со вторым p₂= -3+j4, то значение c₂(p₃) будет отличаться от c₁(p₂) только знаком степени e.

c₂(p₃=-3+j4)=1.877*e^{-j*111°06’}.

Определяем значение c₃(p₄=-2).

5. Изображение по Лапласу регулируемого параметра в виде простых дробей с учетом полученных значений c₀,c₁,c₂,c₃.

x(p)=

6. Уравнение переходной функции получаем путем проведения обратного преобразования по Лапласу (см. табл.1 задание 4).

x(t)=10-11.33*e^-2t+1.877*e^+j111°*e^(-3+4j)*t+1.877*e^-j111°*e^(-3-4j)*t=

=10-11.33*e^-2t+1.877*(e^{+j*(111°+4t)}+e^{-j*(111°+4t)})*e^-3t.

Выражение в скобках преобразуем согласно формуле Эйлера.

(e^+ja+e^-ja)=2*cosa

x(t)=10-11.33*e^-2t+1.877*e^-3t*2*cos(4t+111°)=

=10-11.33*e^-2t+3.75*e^-3t*cos(4t-1.204).

Примечание. cos(111°)= -cos(180°-111°)= -cos(-69°)= -cos(-1.204), где 1.204 угол в радианах от j=69°.

Проверим правильность вычисления коэффициентов c.

При t=0 значение x(t=0)=0, т.к. начальные условия нулевые.

x(t)=10-11.33*1+3.75*1*cos(-1.2)=-1.33+3.75*0.3583=-1.33+1.343=0.

Условия выполняются в пределах точности вычисления.

6.Уравнение переходной функции.

x(t)=10-11.33*e^-2t+3.75*e^-3t*cos(4t-1.204).

ПРИМЕР 8. Определить уравнение весовой функции по ПФ примера №7:

W(p)=

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра, учитывая, что U(p)=1.

x(p)=

2. Определяем корни характеристического уравнения.

p₁= -2 p_2,3= -3±j4.

4. Разложим полученное изображение x(p) на простые дроби.

x(p)=

5. Определяем коэффициенты разложения c.

c₁(p₁=-2)=

c₂(p₂=-3+j4)=

c₃(p₃)=-3-j4=7.45*e^{+j*137°54’}.

5. Представим изображение по Лапласу регулируемого параметра в виде простых дробей с учетом полученных значений c₁,c₂,c₃.

x(p)=

6. Уравнение весовой функции получаем путем проведения обратного преобразования по Лапласу.

x(t)=22.66*e^-2t+7.45*e^{-j*137°54’}*e^(-3-j4)*t+7.45*e^j*137°94’*e^(3+j4)*t=

=22.66*e^-2t+7.45+7.45*e^-3t*(e^{j*(-137°54’+4t)}+e^{-j*(-137°54’+4t)})=

=22.66*e^-2t+14.9*e^-3t*cos(4t-2.4),

где 2.4 угол в радианах от j=-137°54’.

2. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ.

Определить уравнение переходного процесса по заданной П.Ф.

W(p)=

Значения коэффициентов k и Т_i показано в таблице 1.

Таблица 1 - Значение коэффициентов k и Т для задания 5.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

1. Записать передаточную функцию, вид управляющего воздействия согласно варианту задания.

2. Определяется регулируемый параметр в изображении по Лапласу.

3. Определить корни.

4. Разложить изображение по Лапласу регулируемой величины на простейшие дроби.

5. Определить коэффициенты разложения C.

6. Преобразовать простейшие дроби с комплексными корнями к виду, удобному для проведения обратного преобразования по Лапласу по первому и второму варианту.

7. Получить уравнение переходного процесса при нулевых начальных условиях.

4. СОДЕРЖЕНИЕ ОТЧЕТА ПО ВЫПОЛНЕНОЙ РАБОТЕ.

В отчете должно быть показано:

1. Заданная ПФ.

2. Вид воздействия.

3. Начальные условия.

4. Изображение по Лапласу регулируемого параметра.

5. Определение корней.

6. Представление регулируемого параметра через простые дроби.

7. Вычисление коэффициентов разложения.

8. Уравнение переходного процесса.

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как выглядит изображение по Лапласу регулируемого параметра при импульсном воздействии, если u(t)=4.

2. Как выглядит изображение по Лапласу регулируемого параметра при скачкообразном воздействии, если u(t)=4(t).

3. Как определяется изображение по Лапласу регулируемого параметра, если u’(t)=4t.

4. Какой вид имеет переходный процесс при скачкообразном воздействии, если корни вещественные отрицательные.

5. Какой вид имеет переходный процесс, если корни чисто мнимые.

6. Какой вид имеет переходный процесс, если корни комплексные.

7. Какой вид имеет переходный процесс, если корни вещественные положительные.

8. Как в первом приближении можно определить корни характеристического уравнения.

9. Как во втором приближении можно определить корни характеристического уравнения.

10. Что делать, если при определении корней процесс расходится.

11. Как определяются коэффициенты разложения, если корни вещественные и разные.

12. Как определяются коэффициенты разложения, если есть один корень равный нулю.

13. Как определяются коэффициенты разложения, если корни комплексные.

14. Как проверить правильность получения коэффициентов разложения.

15. Как получить уравнение переходного процесса при одновременном воздействии управляющего и возмущающего сигналов.