Задачі нелінійного програмування

У задачах лінійного програмування, які розглядалися раніше, всі невідомі входили як до системи обмежень, так і до цільової функції, у першому степені. Тому ці задачі були досить простими у постановці і за методами розв'язування.

Зрозуміло, що ряд економічних задач допускають такі ма­тематичні моделі, до яких невідомі або деяка їх частина вхо­дять нелінійно. Наприклад, нехай критерієм оптимальності є собівартість одиниці виробленої продукції. Очевидно, що вона залежить від розміру підприємства. Так, із збільшен­ням обсягу продукції собівартість її зменшується. Проте таке зменшення не безмежне. Настає такий момент, коли внутріш­ні витрати підприємства починають зростати (збільшуються витрати на перевезення, збереження продукції тощо), що у свою чергу призводить до збільшення собівартості. Функція, яка і спадає, і зростає, вже не може бути лінійною. Крім того, якщо врахувати в моделях лінійного програмування інші можливі випадки, то ці моделі трансформуються також в нелінійні. Наприклад, припустивши, що в задачі про вико­ристання ресурсів обсяг реалізації впливає на прибуток, маємо цільову функцію з нелінійністю.

Отже, лінійні моделі ми можемо вважати першим набли­женням реальної задачі. У тих випадках, коли існує широкий вибір допустимих планів і наше уявлення про характер опти­мального зв'язку не зовсім повне, лінійні моделі можуть бути неадекватними.

У більшості випадків нелінійність моделі обумовлюється, як правило, структурними співвідношеннями економічного процесу або непропорційністю зміни витрат, випуску продук­ції, показників якості.

У загальній постановці задачу нелінійного програмуван­ня (НЛП) записують так:

(1)

(max)z(x1, x2, …, xn), (2)

де F1(x), …, Fn(x),z(x), x=(x1, x2, …,xn) – довільні фун­кції. У конкретних задачах частина обмежень (або всі) можуть бути нерівностями. Крім того, на невідомі можуть на­кладатися умови невід'ємності і т.п.

Однією з основних особливостей задач НЛТ є можливість різними способами задавати цільову функцію. Якщо в лінійному випадку вона була строго монотонною і досягала свого оптимального значення лише у вершині многокутника розв'язку; то тут картина зовсім інша. Наприклад! навіть графік функції, однієї змінної, свідчить про те, що вона вже має багато локальних максимумів.

Друга особливість задач НЛП випливає із порушення властивості опуклості многокутника розв'язків задач ЛП. Легко навести приклади задач, де область розв'язків задачі НЛП буде багатозв'язною.

Геометрична інтерпретація задач, нелінійного програмування

Для більшої наочності проілюструємо ці випадки гра­фічно. Розглянемо випадок двох змінних з обмеженнями-нерівностями.

Приклад 1. Знайти найбільше і найменше значення функції

за таких обмежень:

Система обмежень лінійна, тому область розв'язків скла­дається з многокутника розв'язків.

Неважко помітити, що цільову функцію можна записати таким чином:

. Отже z є квадратом радіуса кола. При фіксованому z маємо коло з центром у точці, а найбільше концентричне коло буде проходити через точку многокутника розв'язків. Тому

zmin= (6-l)2 + (0-2)2 = 29.

Аналогічно zmax — (1 — І)2 + (2 — 2)2 = 0. В даному випадку найменше значення функції міститься в області роз­в'язків, а найбільше — на її границі. Якщо в цьому ж прикладі розглянути функцію z = (x1 — 4)2 + (х2 — 4)2.

zmax=(4-0)2+(4-0)2=32,

zmin=

Приклад 2. Знайти найбільше і найменше значення функції

за таких обмежень:

Oбласть розв'язків є незв'язною — складається з двох окремих частин. Маємо два однакових локальних мінімуми. Координати цих точок можна знайти як розв'язок системи рівнянь:

Легко перевірити, що маємо і два локальні максимуму.