Исследование некоторых задач в алгебрах и пространствах программ

КазиевВ.М.

Рассмотрим пару алгебр (A,B): алгебру X=<X,&,_a(+),_a{},{}_a> событий - алгоритмических процедур (программ) заданную над алфавитом X={x₁,x₂,...,x_n} и В-трехзначную алгебру логики (0,1,2 - неопределенность). В алгебре А определим двухместные операции конъюнкции и условной дизъюнкции и одноместную операцию итерации следующим образом: конъюнкция s₁&s₂ событий s₁, s₂ состоит из всех слов вида pq, pÎ s₁, qÎ s₂; a - дизъюнкция _a(s₁+s₂) совпадает с s₁(s₂), если условие a истинно (ложно); итерация с постусловием {s}_a состоит из пустого события s₀=e и всевозможных слов вида p₁p₂...p_k т.е. , {s}_a=s^m, где s^m - последний из степеней s, для которого условие a выполнено; итерация с предусловием _a{s} определяется аналогично. В алгебре А задается событие называемое неопределенным и обозначаемое символом Æ. Элементарные события в А - события е, x₁, x₂,..., x_n. Аксиомы алгебры А ниже рассмотрены. Все аксиомы алгебры B и правила вывода в ней сохраняются. Правила вывода, используемые в алгебре А включают правила вывода, принятые в программировании - см., например, [1]. Событие, получаемое применением конечного числа операций алгебры А над элементарными, называется регулярным.

Имеет место важная теорема Клини [2]: регулярные события и только они представимы в конечных автоматах.

Рассмотрим задачу построения алгоритма регуляризации во введенной паре алгебр (А,B). Алгоритм в укрупненных шагах состоит в следующем.

Шаг 1. Задается произвольное событие s=s₀ s₁ s₂...s_n+1, где s_i - событие номер i, начальное событие - s₀, конечное - s_n+1, остальные события - преобразователи и/или события - распознаватели.

Шаг 2. Составляется система уравнений алгебры событий А: записывается функция F события, его дерево D и дерево состояний определяющее все к путей выполнения : , где F_i - функция ветви дерева состояний. Функция ветви дерева - композиция всех функций (событий) данной ветви; программная функция F - объединение всех функций ветвей дерева.

Шаг 3. Система уравнений с помощью подстановок и операций дизъюнкции и конъюнкции представляется в виде : X=XA+B, где X - событие, представленное заключительным состоянием s_n+1, .

Шаг 4. Находим решение системы. Используется теорема [3]: если характеристический граф матрицы А (орграф соединяющий ребрами вершины i и j только тогда, когда eÎa_ij) не содержит ни одного цикла, то система X=XA+B имеет единственное решение X=B{A}, которое регулярно при регулярных A, B. При решении системы эффективно преобразовывать уравнения, - как и при решении линейных алгебраических уравнений, например, брать дизъюнкцию событий, изменять порядок исключения событий и др.

Шаг 5. По условиям выполнимости событий находим регулярную форму этого решения. Используются аксиомы алгебры логики В и соотношения алгебры событий А, например, следующие (AB=A&B, ab=a&b,a(A) - условие выполнимости события А, Aa - проверка условия a после события А и для этого условия верны все аксиомы алгебры В, - отрицание условия a):

Ae=eA=A,

ea=a(e)=a,

AÆ=ÆA=Æ,

₂(A+B)=Æ,

a(b(A))=b,

A(BC)=(AB)C,

_b(A+B)=(a(A)+ (B)),

a(_b(A+B))=(ba(A))+( (B)),

_a(A+B)C=_a(AC+BC),

A_a(B+C)=_a(AB+AC),

a(AB)=a(A)Ba(B),

(AB)a=A(Ba),

A{B}_a={B_Aa}A,

a({A}_b)={A_b}b,

{A}_a=_a(e+A{A}_a),

{a(A)}(B)={A}B,

_a{A}_a{A}=_a{A},

{_aa{A}}=_a{A},

{A}_a{A}_a={A}_a,

{{A}_aa}={A}_a,

{a(A)}={A} ,

{A}_a+e=_a{A},

A_a{A}=_a{A}A={A}_a.

Пример 1. Регуляризуем микропрограмму А деления с фиксированной запятой. Для простоты считаем, что числа неотрицательны, а операция не приводит к переполнению разрядной сетки компьютера фон - Неймановского типа, операционный автомат которого состоит из регистров R₁, R₂ сумматора R₃ и счетчика сдвигов R₄. Делимое храниться на R₁, делитель - на R₂, частное накапливается на R₃. Введем обозначения: l_i - микрооперация сдвига регистра R_i влево (i=1,2,3); s^-1_ij - микрокоманда вычитания из содержимого регистра R_j содержимого регистра R_i; a_i - условие заполненности регистра R_i; g_i - условие отрицательности содержимого регистра R_i; p_i - микрооперация занесения единицы в младший разряд R_i; s_i,j- микрокоманда добавления содержимого регистра R_i к содержимому R_j.

Выпишем систему уравнений, обозначив через x_i - событие соответствующее каждому из 11 пунктов алгоритма деления (см., например, [3]):

Решим эту систему. После очевидных подстановок, вводя обозначения:

x=x₃+x₇+x₁₀ ,

B=el₃s^-1₁₃,

A=g₃p₂l₂p₄l₃s^-1₁₃+g₃l₂p₄l₃s^-1₁₃

получим уравнение X=XA+B, решение которого будет X=B{A} и после упрощений с помощью приведенных аксиом, заключительное событие S равно

s=x₁₁l₃s^-1₁₃{_g3(l₂p₄l₃s₁₃+p₂ l₂p₄l₃s₁₃^-1)}_a4

2. Рассмотрим задачу нахождения оптимальных (например, в смысле операции, длины и т.д.) структурированных программ из заданного набора базовых процедур (некоторые из них - см. в [5]), а также построения грамматик для анализа структур из программных единиц. При решении этой задачи используются аксиомы алгебры А.

Пример 2. Дана программа Р, где А,В,С - процедуры, a,b - предикаты:

P=_a(BA+CA)_b(A_b{A}+e)=_a(B+С)A_b(A_b{A}+e)=_a(B+С)A_b({A}_b+e)=_a(B+С)A_b{A}=_a(B+C){A}_b=T.

Программа Т - более оптимальна и ее правильность доказываема формально.

Доказана теорема (доказательство не приводим из-за объема).

Теорема 1. Если R,A,S Î A, a,b,gÎB, A и S - коммутативны, то:

а)AX=A_a(R+SX)ÛAX=A{S}_aR, б)Ag=A_a(b+Sg)ÛAg=A{S}_ab,

в)Ag=A_a(b+S )ÞAg=A{S²}_ta(b+S ),t=a+Sa,

г)Ag=A{S²}_tgÞAg=A_t(e+S²)g, g=_a(b+S), t=a+Sa.

Рассмотрим задачу исследования разрешимости в пространствах программ.

Пусть x=<X, Y, M, S> - программа, определенная на входном алфавите Х, выходном алфавите Y и состоящая из подпрограмм (процедур) М с логической схемой (структурой) S. Структуре S поставим в соответствие орграф: Вершины - подпрограммы, ребра - в соответствии со структурой их взаимодействий. Метрика r(x,y) в этом пространстве - сумма всех весов ребер орграфов программ не совпадающих при заданной структуре S или отклоняющихся от оптимальной структуры, т.е. Аксиомы метрики проверяемы.

Отметим метризуемость пространства и по некоторым характеристикам качества программ Холстеда [6], а также с помощью понятия интеллектуальной работы программы, оцениваемой как разность энтропии до работы (статической формы программы) и после работы (динамической формы). У идеальной программы энтропия равна нулю. Отметим, что если ds/dt - общее изменение энтропии программного комплекса при отладке, ds₁/dt - изменение энтропии за счет необратимых изменений структуры, потоков внутри комплекса (рассматриваемую как открытую систему), ds₂/dt - изменение энтропии за счет усилий по отладке и тестированию, то справедливо уравнение Пригожина: ds/dt = ds₁/dt + ds₂/dt. Последовательность программ {x_i}, сходится по схеме (структуре) к программе х (обозначим ), если r(x_n,x)® 0, при n®¥, т.е. дерево программы x_n при n®¥ стремится к дереву программы х. Последовательность {x_i} сходится функционально к программе х (обозначим ), если F(x_n)® F(x) при n®¥ (программная функция x_n стремится к программной функции х). Нетрудно видеть, что из сходимости по схеме следует сходимость функциональная, но обратное неверно.

Пусть M = {x₁, x₂, ..., x_n,...} - последовательность программ с общей функцией (эквивалентных функционально). На этом множестве рассмотрим множество операторов А преобразования (композиции, суперпозиции) программ. Последовательность {A_n} сходится к А функционально (по схеме, структуре), если верно: "xÎМ:

С точки зрения исследования существования, единственности оптимальной (в каком-то смысле) программы можно рассмотреть: операторы минимизации числа операндов; операторы минимизации числа типов операторов; операторы минимизации числа вызовов процедур; минимизации числа ошибок в программе; минимизации сложности (разных способов определения) и др. При исследовании программных систем важно рассматривать пространства векторов х=(х₁,x₂,...,x_n), где x_i - характеристика ошибок в программе или структурной связностипроцедур, u_i - количество ошибок в i-ом модуле программного комплекса P(u)=P(u₁,u₂,...,u_n).

Пусть u(x,t) - количество ошибок, обнаруженных в программе (системе) в момент времени t, а х - характеристика уровня ошибок. Рассмотрим модель обнаружения ошибок при отладке, представимая уравнением (см. также [7]): Lu+Tu=f, где T - оператор, определяющий первоначальный уровень ошибок в программе или их некоторую характеристику, L - некоторый линейный ограниченный оператор отладки, L:U®V, U,V - линейные нормированные пространства D(L) ÍU, R(L)ÍV.

Теорема 2. Если R(L)=V и для каждого uÎD(L) существует постоянная c такая, что , то Lu+Tu=f имеет единственное решение uÎU.

Доказательство. Условия теоремы гарантируют существование непрерывного обратного оператора L^-1, причем . Тогда u=L^-1(f-Tu). Для однородного уравнения: . Отсюда следует, что , т.е. u=0. Следовательно, неоднородное уравнение имеет единственное решение.

Пример 3. Пусть u_max - максимальный уровень синтаксических ошибок в программе Р, u(t) - их оставшееся количество к моменту времени t. Исходя из модели du/dt+lu_max=0, u(t₀)=u₀ можно заключить, что уровень ошибок убывает при l(c-t₀) ¹ -1 (t₀<c<T) по закону: u(t) = u₀(1+ l(c-t))/(1+l(c-t₀)).

Если задать дополнительно u(t_*)=u_*, (u_max - неизвестная величина), то закон изменения уровня ошибок находится однозначно, так как: с=(u_*t₀-u₀t_*)/(lu_*-lu₀)-1/l.

Вопросы разрешимости некоторых уравнений Lx=y, где х - неизвестная программа, y - заданная программа, L - оператор, например, оптимизации, будут изложены в другой работе.

Список литературы

1. Алагич С., Арбиб М. Проектирование корректных структурированных программ. - М., Радио и связь, 1984.

2. Клини С.К. Представление событий в нервных сетях и конечных автоматах. - Автоматы, ИЛ, М., 1956.

3. Бондарчук В.Г. Системы уравнений в алгебре событий. - Журнал вычислительной математики и математической физики, N6, т.3, 1963.

4. Глушков В.М. О применении абстрактной теории автоматов для минимизации микропрограмм. - Изв. АН СССР, Технич. кибернетика, N1, 1964.

5. Казиев В.М. Дидактические алгоритмические единицы. - Информатика и образование, N5, 1991.

6. Холстед М. Начала науки о программах. - М., Финансы и статистика, 1981.

7. Казиев В.М. Один класс математических моделей переработки информации и некоторые его приложения. - Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах, Киев, 1991.