Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Курсовая работа

по программированию по теме:

«Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса»

Сумы 2005

ПЛАН

Постановка задачи

Теоретическая часть

Методы решения примененные в программе

Метод Гаусса.

Метод Жордана-Гаусса.

Краткое описание среды визуальной разработки Delphi

Таблица основных обозначений программы.

Описание процедур и алгоритм роботы программы

Текст программы.

Файл-модуль unit1.pas

Файл-модуль unit2.pas

Файл проекта - Project1.dpr:

Результат работы программы.

Инструкция по работе с программой

Использованная Литература

Постановка задачи

Составить программу для решения систем линейных уравнений размером n на n методом Гауса и Жордана-Гаусса.

Теоретическая часть

Методы решения примененные в программе

Метод Гаусса

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит в последовательном исключении неизвестных и описывается следующей процедурой.

С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов расширенная матрица системы может быть приведена к виду

Эта матрица является расширенной матрицей системы

которая эквивалентна исходной системе

Заметим, что перестановка столбцов означает перенумерацию переменных. На практике обычно избегают этой процедуры, приводя расширенную матрицу к ступенчатому виду путем элементарных преобразований над строками.

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система несовместна. Если же , то система совместна и можно получить явное выражение для базисных неизвестных через свободных неизвестных

Метод Жордана-Гаусса.

Элементарные преобразования этого метода аналогичны методу Гаусса, только матрица при использовании этого метода приводится к виду, тоесть столбец свободных коэффициентов превращается в столбец корней.

Краткое описание среды визуальной разработки Delphi

Среда Delphi - это сложный механизм, обеспечивающий высокоэффективную работу программиста. Визуально она реализуется несколькими одновременно раскрытыми на экране окнами. Окна могут перемещаться по экрану, частично или полностью перекрывая друг друга, что обычно вызывает у пользователя, привыкшего к относительной “строгости” среды текстового процессора Word или табличного процессора Excel, ощущение некоторого дискомфорта. После приобретения опыта работы с Delphi это ощущение пройдет, и вы научитесь быстро отыскивать нужное окно, чтобы изменить те или иные функциональные свойства создаваемой вами программы, ибо каждое окно несет в себе некоторую функциональность, т. е. предназначено для решения определенных задач.

Запустите Delphi - и вы увидите нечто, похожее на

На рисунке изображены шесть наиболее важных окон Delphi: главное окно, окно Дерева объектов (Object Tree View), окно Инспектора объектов, окно браузера, окно формы и окно кода программы.

Чтобы упорядочить окна так, как они показаны на рисунке, вам придется вручную изменять их положение и размеры, т. к. обычно окно кода программы почти полностью перекрыто окном формы. Впрочем, добиваться максимального сходства того, что вы видите на экране вашего ПК, с изображением, показанным на рисунке, вовсе не обязательно: расположение и размеры окон никак не влияют на их функциональностью.

Замечу, что при первом запуске Delphi поверх всех окон появится окно

С помощью этого окна вы сможете получить доступ к Web-страницам корпорации Inprise для просмотра самой свежей информации о корпорации и ее программных продуктах, копирования дополни тельных файлов, чтения ответов на наиболее часто задаваемые вопросы и т. д. При повторных запусках Delphi это окно появляется автоматически с некоторой периодичностью, определяемой настройками на странице окна Tolls | Environment Options, связанной с закладкой Delphi Direct. Вы также сможете его вызвать в любой момент с помощью опции Help | Delphi Direct главного меню.

Таблица основных обозначений программы.

Описание процедур и алгоритм роботы программы

В программу включены следующие процедуры : «gauss1», «gaussj», «New1Click», «Button1Click», «Button2Click», «Save1Click», «Exit1Click». С каждой из них мы ознакомимся ниже.

Процедура «gauss1» выполняет проверку системы на сходимость и решение методом Гаусса.

Процедура «gaussj» выполняет проверку системы на сходимость и решение методом Жордана-Гаусса.

Процедура «New1Click» выполняется после выбора пункта меню «New» или сразу после запуска программы и выполняет чтение размера системы и устанавливает размер таблиц для ввода коэффициентов системы.

Процедура «Button1Click» считывает коэффициенты системы, проверяет корректность ввода коэффициентов и заменяет при необходимости «.» на «,». Потом запускает процедуру «gauss1» для решения системы и выводит результаты.

Процедура «Button2Click» считывает коэффициенты системы, проверяет корректность ввода коэффициентов и заменяет при необходимости «.» на «,». Потом запускает процедуру «gaussj» для решения системы и выводит результаты.

Процедура «Save1Click» запускает диалог сохранения файлов и выполняет сохранение результатов.

Процедура «Exit1Click» - Выход из программы.

Текст программы.

Файл-модуль unit1.pas

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, Menus, XPMan, StdCtrls, Grids, unit2;

type

TForm1 = class(TForm)

Coef: TStringGrid;

Gauss: TStringGrid;

Jgauss: TStringGrid;

Button1: TButton;

Button2: TButton;

XPManifest1: TXPManifest;

SaveDialog1: TSaveDialog;

MainMenu1: TMainMenu;

File1: TMenuItem;

New1: TMenuItem;

Save1: TMenuItem;

Exit1: TMenuItem;

Matrix: TStringGrid;

procedure New1Click(Sender: TObject);

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure Button2Click(Sender: TObject);

procedure Save1Click(Sender: TObject);

procedure Exit1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

s:integer;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Exit1Click(Sender: TObject);

begin

close;

end;

procedure TForm1.New1Click(Sender: TObject);

var i,dl:integer;

prover:string;

begin

form1.Enabled:=false;

repeat

prover:=inputbox('Введитеразмерсистемы','Значениемежду 2 и 20','2');

dl:=length(prover);

if dl=0 then showmessage('Введитеразмерсистемы') else

begin

if (dl=1) and (prover<'9') and (prover>'0') then s:=trunc(strtofloat(prover))

else

begin

for i:=1 to dl do

begin

if prover[i]>'9' then

begin

showmessage('Введитечисло');

break;

end

else if i=dl then s:=trunc(strtofloat(inputbox('Введитеразмерсистемы','Значениемежду 2 и 20','2')));

end;

end;

end;

until (s>=2) and (s<=maxr);

form1.Enabled:=true;

matrix.RowCount:=s+1;

matrix.ColCount:=s+1;

gauss.colCount:=s+1;

coef.rowCount:=s+1;

jgauss.colCount:=s+1;

coef.Cells[1,0]:='B';

gauss.Cells[0,1]:='Gauss';

jgauss.Cells[0,1]:='J-Gauss';

for i:=1 to s do

begin

matrix.Cells[0,i]:=floattostr(i);

matrix.Cells[i,0]:='A'+floattostr(i);

coef.Cells[0,i]:=floattostr(i);

gauss.Cells[i,0]:='X'+floattostr(i);

jgauss.Cells[i,0]:='X'+floattostr(i);

end;

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var a:ary2s;

x,y:arys;

error:boolean;

i,j,l,K:integer;

prover:string;

begin

{Считывание массивов с исходными данными и проверка '.' или ','}

{***********************************************}

for i:=1 to s do

for j:=1 to s do

begin

prover:=matrix.Cells[j,i];

k:=length(prover);

if k=0 then

begin

showmessage('Вы не ввели один или несколько элементов системы.');

exit;

end;

for l:=1 to length(prover) do

if prover[l]='.' then prover[l]:=','

else if prover[l]>'9' then

begin

showmessage('В качестве одного или нескольких элементов системы введена буква. Заменитеихначисла!');

exit;

end;

matrix.Cells[j,i]:=prover;

a[i,j]:=strtofloat(matrix.cells[j,i]);

end;

for i:=1 to s do

begin

prover:=coef.cells[1,i];

for l:=1 to length(prover) do

if prover[l]='.' then prover[l]:=','

else if prover[l]>'9' then

begin

showmessage('В качестве одного или нескольких элементов системы введена буква. Заменитеихначисла!');

exit;

end;

coef.cells[1,i]:=prover;

y[i]:=strtofloat(coef.cells[1,i]);

end;

{***********************************************}

{Решение и вывод результатов}

{***********************************************}

gauss1(a,y,x,s,error);

if not error then

for i:=1 to s do

gauss.cells[i,1]:=floattostr(x[i])

else

begin

showmessage('Система решения не имеет');

new1.Click;

end;

{***********************************************}

end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

var a:ary2s;

x,y:arys;

error:boolean;

i,j,l,k:integer;

prover:string;

begin

{Считывание массивов с исходными данными}

{***********************************************}

{Считывание массивов с исходными данными и проверка '.' или ','}

{***********************************************}

for i:=1 to s do

for j:=1 to s do

begin

prover:=matrix.Cells[j,i];

k:=length(prover);

if k=0 then

begin

showmessage('Вы не ввели один или несколько элементов системы.');

exit;

end;

for l:=1 to length(prover) do

if prover[l]='.' then prover[l]:=','

else if prover[l]>'9' then

begin

showmessage('В качестве одного или нескольких элементов системы введена буква. Заменитеихначисла!');

exit;

end;

matrix.Cells[j,i]:=prover;

a[i,j]:=strtofloat(matrix.cells[j,i]);

end;

for i:=1 to s do

begin

prover:=coef.cells[1,i];

for l:=1 to length(prover) do

if prover[l]='.' then prover[l]:=','

else if prover[l]>'9' then

begin

showmessage('В качестве одного или нескольких элементов системы введена буква. Заменитеихначисла!');

exit;

end;

coef.cells[1,i]:=prover;

y[i]:=strtofloat(coef.cells[1,i]);

end;

{***********************************************}

{***********************************************}

{Решение и вывод результатов}

{***********************************************}

gaussj(a,y,x,s,error);

if not error then

for i:=1 to s do

jgauss.cells[i,1]:=floattostr(x[i])

else

begin

showmessage('Система решения не имеет');

new1.Click;

end;

{***********************************************}

end;

procedure TForm1.Save1Click(Sender: TObject);

var f:textfile;

i,j:integer;

begin

savedialog1.Filter:='Text files (*.txt)|*.txt|';

if savedialog1.Execute then

begin

assignfile(f,savedialog1.filename+'.txt');

rewrite(f);

for i:=1 to s do

begin

writeln(f);

for j:=1 to s do

write(f,matrix.cells[i,j]:4,' ');

write(f,'|',coef.cells[1,i]);

end;

writeln(f);

writeln(f);

writeln(f,'Gauss');

for i:=1 to s do

writeln(f,'X'+floattostr(i)+'='+gauss.cells[i,1],' ');

writeln(f);

writeln(f,'J-Gauss');

for i:=1 to s do

writeln(f,'X'+floattostr(i)+'='+jgauss.cells[i,1],' ');

closefile(f);

end;

end;

end.

Файл-модуль unit2.pas

unit unit2;

interface

const maxr=20;

type arys=array[1..maxr] of real;

ary2s=array[1..maxr,1..maxr] of real;

procedure gauss1(a:ary2s; y:arys; var coef:arys; ncol:integer; var error:boolean);

procedure gaussj(var b:ary2s; y: arys; var coef:arys; ncol:integer; var error: boolean);

implementation

{Решение системы линейных уравнений методом Гаусса}

{**********************************************************}

procedure gauss1(a:ary2s; y:arys; var coef:arys; ncol:integer; var error:boolean);

var b:ary2s;

w:arys;

i,j,i1,k,l,n:integer;

hold,sum,t,ab,big: real;

begin

error:=false;

n:=ncol;

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n do

b[i,j]:=a[i,j];

w[i]:=y[i]

end;

for i:=1 to n-1 do

begin

big:=abs(b[i,i]);

l:=i;

i1:=i+1;

for j:=i1 to n do

begin

ab:=abs(b[j,i]);

if ab>big then

begin

big:=ab;

l:=j

end

end;

if big=0.0 then error:= true

else

begin

if l<>i then

begin

for j:=1 to n do

begin

hold:=b[l,j];

b[l,j]:=b[i,j];

b[i,j]:=hold

end;

hold:=w[l];

w[l]:=w[i];

w[i]:=hold

end;

for j:=i1 to n do

begin

t:=b[j,i]/b[i,i];

for k:=i1 to n do

b[j,k]:=b[j,k]-t*b[i,k];

w[j]:=w[j]-t*w[i]

end

end

end;

if b[n,n]=0.0 then error:=true

else

begin

coef[n]:=w[n]/b[n,n];

i:=n-1;

repeat

sum:=0.0;

for j:=i+1 to n do

sum:=sum+b[i,j]*coef[j];

coef[i]:=(w[i]-sum)/b[i,i];

i:=i-1

until i=0

end

end;

{**********************************************************}

{Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса}

{**********************************************************}

procedure gaussj(var b:ary2s; y: arys; var coef:arys; ncol:integer; var error: boolean);

var w:array[1..maxr,1..maxr] of real;

index:array[1..maxr,1..3] of integer;

i,j,k,l,nv,irow,icol,n,l1:integer;

determ,pivot,hold,sum,t,ab,big:real;

{++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++}

procedure swap(var a,b: real);

var hold:real;

begin

hold:=a;

a:=b;

b:=hold

end;

{++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++}

{@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@}

procedure gausj2;

var i,j,k,l,l1:integer;

{===============================================}

procedure gausj3;

var l:integer;

begin

if irow<>icol then

begin

determ:=-determ;

for l:=1 to n do

swap(b[irow,l],b[icol,l]);

if nv>0 then

for l:=1 to nv do

swap(w[irow,l],w[icol,l])

end

end;

{===============================================}

begin

error:=false;

nv:=1;

n:=ncol;

for i:=1 to n do

begin

w[i,1]:=y[i];

index[i,3]:=0

end;

determ:=1.0;

for i:=1 to n do

begin

big:=0.0;

for j:=1 to n do

begin

if index[j,3]<>1 then

begin

for k:=1 to n do

begin

if index[k,3]>1 then

begin

error:=true;

exit;

end;

if index[k,3]<1 then

if abs(b[j,k])>big then

begin

irow:=j;

icol:=k;

big:=abs(b[j,k])

end

end

end

end;

index[icol,3]:=index[icol,3]+1;

index[i,1]:=irow;

index[i,2]:=icol;

gausj3;

pivot:=b[icol,icol];

determ:=determ*pivot;

b[icol,icol]:=1.0;

for l:=1 to n do

b[icol,l]:=b[icol,l]/pivot;

if nv>0 then

for l:=1 to nv do

w[icol,l]:=w[icol,l]/pivot;

for l1:=1 to n do

begin

if l1<>icol then

begin

t:=b[l1,icol];

b[l1,icol]:=0.0;

for l:=1 to n do

b[l1,l]:=b[l1,l]-b[icol,l]*t;

if nv>0 then

for l:=1 to nv do

w[l1,l]:=w[l1,l]-w[icol,l]*t;

end

end

end;

end;

{@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@}

begin

gausj2;

if error then exit;

for i:=1 to n do

begin

l:=n-i+1;

if index[l,1]<>index[l,2] then

begin

irow:=index[l,1];

icol:=index[l,2];

for k:=1 to n do

swap(b[k,irow],b[k,icol])

end

end;

for k:=1 to n do

if index[k,3]<>1 then

begin

error:=true;

exit;

end;

for i:=1 to n do

coef[i]:=w[i,1];

end;

{**********************************************************}

end.

Файлпроекта - Project1.dpr:

program Project1;

uses

Forms,

Unit1 in 'Unit1.pas' {Form1},

Unit2 in 'Unit2.pas';

{$R *.res}

begin

Application.Initialize;

Application.Title := 'Gauss&J-Gauss';

Application.CreateForm(TForm1, Form1);

Application.Run;

end.

Результат работы программы

Результаты сохраненные в файле:

2 1 1 |2

3 2 3 |6

6 5 4 |5

Gauss

X1=-7,4

X2=1,2

X3=2,2

J-Gauss

X1=-7,4

X2=1,2

X3=2,2

Инструкция по работе с программой

1. Сразу после запуска файла программы (pragramma.exe) перед вами появиться окно с запросом размера системы. Введите нужный размер и нажмите «ОК»(поскольку система размера n на n нужно ввести только одно число).

2. После ввода размера перед вами появится рабочее окно программы. Введите в него данные по следующей схеме:

3. Для решения нужным методом нажмите соответствующую кнопку, и в таблице возле нее будут выведены корни системы.

4. Для сохранения результатов в меню «File» выберите «Save», перейдите в нужную папку и введите имя файла. Нажмите «ОК».

5. Для начала новых рассчетов «File» выберите «New», введите новый размер системы, нажмите «ОК».

6. Для выхода в меню «File» выберите пункт «Exit».

Использованная Литература.

· Волков Е.А. численные методы: Учебное пособие для вузов. – 2-е изд., испр. – М.:Наука, 1987. – 248 с.

· Роганин А.М. Основные формулы высшей математики. – Х.:Торсинг, 2002

· Справочная система Borland Delphi 7.

· http://delphi.vitpc.com/

· http://www.fortunecity.com/campus/beverly/963/

· http://www.delphi.agava.ru/

· http://www.interface.ru/delphi/delphi_page.htm

· http://pog.da.ru/