Реальная база готовых
студенческих работ

Авторам Вопрос-ответ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Тип задания

Предмет

Ваше имя

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

Нет, пока не нашел

Узнайте стоимость индивидуальной работы

Тип задания

Предмет

Ваше имя

это быстро и бесплатно

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!

Тип задания

Предмет

Ваше имя

Теорема Эйлера для простых многогранников

Тип Реферат

Предмет Математика

Просмотров

2123

Размер файла

45 б

Ознакомительный фрагмент работы:

Теорема Эйлера для простых многогранников

Теорема Эйлера для простых многогранников

Думаю, что такое многогранник, представляют все. Но все же давайте определим его точнее.

Определение. Многогранником называется тело в пространстве, ограниченное поверхностью, которую образуют многоугольники, при этом выполняются условия:

1. каждая сторона любого многоугольника является стороной другого многоугольника, причем только одного;

2. многоугольники с общей вершиной образуют цепочку, в которой два соседних многоугольника имеют общую сторону.

Многоугольники называются гранями многогранника, их стороны называются ребрами, а вершины — вершинами многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если для любых двух точек, которые он содержит, отрезок, соединяющий эти две точки, также целиком принадлежит многограннику.

Многогранник называется простым, если он не имеет дыр. Другими словами, любая замкнутая кривая на поверхности многогранника стягивается в точку, принадлежащую поверхности. При этом в процессе стягивания кривая всегда лежит на поверхности многогранника.

Из выпуклости следует простота, но не наоборот.

Примером простого многогранника является куб. А вот если рассмотреть куб, у которого вырезан еще один куб, размером поменьше, так что оба куба имеют общий центр симметрии, то такой многогранник не будет простым.

Теорема Эйлера устанавливает связь между числом вершин , числом ребер и числом граней простого многогранника. Формула Эйлера весьма красива. Она справедлива также для планарных графов.

Интересно, что Эйлер, опубликовавший свою теорему в 1751 году, переоткрыл то, что в 1639 году практически доказал Декарт. Он доказал, что сумма величин всех углов всех граней многогранника равна и что в то же время она равна , откуда сразу же следует формула Эйлера (надо сказать, что Декарт ее в таком виде не получил).

Теорема Эйлера. Для простого многогранника

Доказательство. Удалим одну из граней многогранника. Теперь деформируем оставшуюся поверхность в плоскую сеть (собственно, это и есть планарный граф), состоящую из точек и кривых. Не умаляя общности, можно считать, что деформированные ребра являются отрезками. При этом число вершин, ребер и граней не изменится, если считать, что внешняя для сети часть плоскости соответствует удаленной грани.

Теперь последовательно применим преобразования, которые будут упрощать полученную сеть, не изменяя эйлеровой характеристики, т.е. числа .

1. Если есть многоугольная грань с более, чем тремя, сторонами, проведем диагональ. Это добавит одно ребро и одну грань. Будем добавлять ребра, пока все грани не станут треугольниками.

2. Будем удалять по одному треугольники, у которых две стороны являются границами с внешней областью. Тем самым, удаляется вершина, два ребра и одна грань.

3. Удалим треугольники, одна сторона которых общая с внешней гранью. Это уменьшает количество ребер и граней на один, при этом число вершин не изменяется.

Будем последовательно применять преобразования 2 и 3 до тех пор, пока не останется один треугольник. Для него (считая внешнюю грань), . Следовательно, , что и доказывает теорему.

Замечание. Приведенное доказательство принадлежит Коши.

Смотреть

Модельное мышление
Реферат, Математика

Смотреть

Конспект лекций по дискретной математике
Реферат, Математика

Смотреть

Комета 103P/Хартли
Реферат, Математика

Смотреть

Первичная статистическая обработка информации
Реферат, Математика

Смотреть

Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +

Новых работ ежедневно

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

Математика

История

Экономика

159599
рейтинг

3275
работ сдано

1404
отзывов

Математика

Физика

История

157252
рейтинг

6081
работ сдано

2741
отзывов

Химия

Экономика

Биология

105734
рейтинг

2110
работ сдано

1318
отзывов

Высшая математика

Информатика

Геодезия

62710
рейтинг

1046
работ сдано

598
отзывов

Тип работы

УГМУ

Заказ выполнили на день раньше срока, работу преподаватель принял с первого раза.

КрасГМУ

Спасибо, заказала у автора две работы, одна была выполнена за несколько дней до срока, дру...

Московская Международная Академия

Очень быстро Максим выполнил задание, качественно написано все. Спасибо большое , ещё раз...

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

три реферата Опасные природные и техногенные процессы

Реферат, Безопасность жизнедеятельности

Срок сдачи к 4 окт.

только что

Опасные природные и техногенные процессы

Реферат, Опасные природные и техногенные процессы

Срок сдачи к 4 окт.

1 минуту назад

Сделать презентацию и доклад

Презентация, Внешнеэкономическая и внешнеполитическая деятельность государственных органов

Срок сдачи к 5 окт.

2 минуты назад

Выполнить задание

Контрольная, Базы данных

Срок сдачи к 5 окт.

2 минуты назад

Курсовая юристы

Курсовая, Юриспруденция

Срок сдачи к 4 окт.

2 минуты назад

Отчет о прохождении производственной практики

Отчёт по практике, Экономика и бухгалтерский учет

Срок сдачи к 23 окт.

3 минуты назад

сделать

Контрольная, Теоретическая механика

Срок сдачи к 6 окт.

8 минут назад

Написать курсовую работу на тему: « Планирование в спортивном менеджменте»

Курсовая, Менеджмент ФКС

Срок сдачи к 27 окт.

10 минут назад

сделать

РГР, Метрология, стандартизация и сертификация

Срок сдачи к 5 окт.

10 минут назад

Сделать индивидуальный проект для конференции на тему «Город под городом: почему будущее строительства может оказаться под землей?»

Индивидуальный проект, Строительство

Срок сдачи к 10 окт.

11 минут назад

Выполнить задание

Решение задач, Основы землеустройства

Срок сдачи к 6 окт.

11 минут назад

Земляные работы, сделать график производственных работ

Курсовая, Земляные работы

Срок сдачи к 9 окт.

11 минут назад

Написать вкр

ВКР, Уголовное право

Срок сдачи к 1 февр.

11 минут назад

Расчёт

Решение задач, Конструкция и расчёт технологического оборудования химической переработки древесины в цбп

Срок сдачи к 2 окт.

11 минут назад

Выполнить курсовую тгасу. автомобильный транспорт и электротехника. п-00166

Курсовая, Транспорт

Срок сдачи к 16 окт.

11 минут назад

Выполнить курсовую тгасу. автомобильный транспорт и электротехника. п-00166

Курсовая, Электротехника

Срок сдачи к 16 окт.

11 минут назад

написать доклад на тему "Правовое государство и гражданское общество"

Доклад, Правоведение

Срок сдачи к 6 окт.

11 минут назад

Написать вкр на тему "обеспечение безопасности при монтаже металлоконструкций конвейерной галереи производства окатышей пао «северсталь»"

ВКР, Техносферная безопасность

Срок сдачи к 23 окт.

11 минут назад

Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.