Реальная база готовых
студенческих работ

Авторам Вопрос-ответ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Тип задания

Предмет

Ваше имя

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

Нет, пока не нашел

Узнайте стоимость индивидуальной работы

Тип задания

Предмет

Ваше имя

это быстро и бесплатно

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!

Тип задания

Предмет

Ваше имя

Теорема Эйлера для простых многогранников

Тип Реферат

Предмет Математика

Просмотров

2082

Размер файла

45 б

Ознакомительный фрагмент работы:

Теорема Эйлера для простых многогранников

Теорема Эйлера для простых многогранников

Думаю, что такое многогранник, представляют все. Но все же давайте определим его точнее.

Определение. Многогранником называется тело в пространстве, ограниченное поверхностью, которую образуют многоугольники, при этом выполняются условия:

1. каждая сторона любого многоугольника является стороной другого многоугольника, причем только одного;

2. многоугольники с общей вершиной образуют цепочку, в которой два соседних многоугольника имеют общую сторону.

Многоугольники называются гранями многогранника, их стороны называются ребрами, а вершины — вершинами многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если для любых двух точек, которые он содержит, отрезок, соединяющий эти две точки, также целиком принадлежит многограннику.

Многогранник называется простым, если он не имеет дыр. Другими словами, любая замкнутая кривая на поверхности многогранника стягивается в точку, принадлежащую поверхности. При этом в процессе стягивания кривая всегда лежит на поверхности многогранника.

Из выпуклости следует простота, но не наоборот.

Примером простого многогранника является куб. А вот если рассмотреть куб, у которого вырезан еще один куб, размером поменьше, так что оба куба имеют общий центр симметрии, то такой многогранник не будет простым.

Теорема Эйлера устанавливает связь между числом вершин , числом ребер и числом граней простого многогранника. Формула Эйлера весьма красива. Она справедлива также для планарных графов.

Интересно, что Эйлер, опубликовавший свою теорему в 1751 году, переоткрыл то, что в 1639 году практически доказал Декарт. Он доказал, что сумма величин всех углов всех граней многогранника равна и что в то же время она равна , откуда сразу же следует формула Эйлера (надо сказать, что Декарт ее в таком виде не получил).

Теорема Эйлера. Для простого многогранника

Доказательство. Удалим одну из граней многогранника. Теперь деформируем оставшуюся поверхность в плоскую сеть (собственно, это и есть планарный граф), состоящую из точек и кривых. Не умаляя общности, можно считать, что деформированные ребра являются отрезками. При этом число вершин, ребер и граней не изменится, если считать, что внешняя для сети часть плоскости соответствует удаленной грани.

Теперь последовательно применим преобразования, которые будут упрощать полученную сеть, не изменяя эйлеровой характеристики, т.е. числа .

1. Если есть многоугольная грань с более, чем тремя, сторонами, проведем диагональ. Это добавит одно ребро и одну грань. Будем добавлять ребра, пока все грани не станут треугольниками.

2. Будем удалять по одному треугольники, у которых две стороны являются границами с внешней областью. Тем самым, удаляется вершина, два ребра и одна грань.

3. Удалим треугольники, одна сторона которых общая с внешней гранью. Это уменьшает количество ребер и граней на один, при этом число вершин не изменяется.

Будем последовательно применять преобразования 2 и 3 до тех пор, пока не останется один треугольник. Для него (считая внешнюю грань), . Следовательно, , что и доказывает теорему.

Замечание. Приведенное доказательство принадлежит Коши.

Смотреть

Модельное мышление
Реферат, Математика

Смотреть

Конспект лекций по дискретной математике
Реферат, Математика

Смотреть

Комета 103P/Хартли
Реферат, Математика

Смотреть

Первичная статистическая обработка информации
Реферат, Математика

Смотреть

Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +

Новых работ ежедневно

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

Математика

История

Экономика

159599
рейтинг

3275
работ сдано

1404
отзывов

Математика

Физика

История

157172
рейтинг

6077
работ сдано

2740
отзывов

Химия

Экономика

Биология

105734
рейтинг

2110
работ сдано

1318
отзывов

Высшая математика

Информатика

Геодезия

62710
рейтинг

1046
работ сдано

598
отзывов

Тип работы

Спбгуптд

спасибо огромное!!! работа выполнена идеально, все замечания были исправлены в этот же ден...

МГУ им. Ломоносова

Спасибо большое! Реферат по истории Древнего Рима выполнен быстро. Работа зачтена.

МАДИ

Работа выполнена отлично, все требования соблюдены. Быстро и качественно!

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Переделать файл под мой вариант

Лабораторная, Цифровая обработка сигнала

Срок сдачи к 24 июня

только что

Решить лабораторные

Решение задач, Метрология

Срок сдачи к 23 июня

только что

презентация по шаблону

Презентация, Общий

Срок сдачи к 23 июня

1 минуту назад

отчет по производственной практике втб

Другое, отчет по практике

Срок сдачи к 30 июня

2 минуты назад

Егэ

Онлайн-помощь, Обществознание

Срок сдачи к 24 июня

3 минуты назад

Курсовая

Курсовая, Прочность корабля

Срок сдачи к 24 июня

4 минуты назад

Расчетно-аналитическая работа «Инвестиционный проект»

Другое, Инвестиционная деятельность туристского предприятия

Срок сдачи к 24 июня

6 минут назад

Нужно только сохранить форматирование в стилях

Другое, Информатика

Срок сдачи к 23 июня

10 минут назад

Исправить две курсовые

Курсовая, Экономическая безопасность

Срок сдачи к 24 июня

10 минут назад

Решить 3 задачи по статистике

Решение задач, Статистика

Срок сдачи к 24 июня

10 минут назад

Написать отчёт по Учебной практика: технологическая (проектно-технологическая). Дошкольное образование. М-09583

Отчет по практике, Педагогика

Срок сдачи к 24 июня

10 минут назад

Проспектус (план для будующей вкр). тема

Отчет по практике, Психология

Срок сдачи к 30 июня

10 минут назад

Нужно только сохранить форматирование в стилях

Другое, Информатика

Срок сдачи к 24 июня

10 минут назад

Выполнить практику

Отчет по практике, Право и организация социального обеспечения

Срок сдачи к 15 июля

10 минут назад

Помочь с демонстрационным экзаменом Банковское дело

Другое, Банковское дело

Срок сдачи к 20 июля

10 минут назад

Написать введение и заключение к ВКР

Другое, Методика преподавания русского языка

Срок сдачи к 24 июня

11 минут назад

Написать отчёт по производственной практике. Юриспруденция. М-09584

Отчет по практике, Юриспруденция

Срок сдачи к 28 июня

11 минут назад

написать курсовую работу

Курсовая, Металлообработка

Срок сдачи к 26 июня

11 минут назад

Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.