Дискретизация и квантование сигналов погрешности дискретизации и квантования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ (МГУПИ)

Реферат по информатике на тему:

«Дискретизация и квантование сигналов погрешности дискретизации и квантования»

Выполнил студент 1-го курса:

спец.230101.65(ИТ4)

гр. ИТ4-1006

_____________.

Преподаватель:

_______________

Москва, 2010.

Содержание

Введение…………………….........................................................................3

1. Дискретизация…………………………………………………………..4

1.2 Недостатки квантования с использованием метода Котельникова…9

2. Квантование...……………...…………………………………………..10

2.1 Квантование по времени……………………………………………...10

2.2 Дискретизация двумерных сигналов………………………………...11

2.3 Комбинированное квантование……………………………………...14

3. Список литературы……………………………………………………16

Введение

Исключительно важным положением теории связи, на котором основана вся современная радиотехника, является так называемая теорема отсчетов, или теорема Котельникова. Эта теорема позволяет установить соотношение между непрерывными сигналами, какими являются большинство реальных информационных сигналов – речь, музыка, электрические сигналы, соответствующие телевизионным изображениям, сигналы в цепях различных радиотехнических систем и т.п., и значениями этих сигналов лишь в отдельные моменты времени – так называемыми отсчетами. На использовании этой связи строится вся современная цифровая радиотехника – цифровые методы передачи и хранения звуковых и телевизионных сигналов, цифровые системы телефонной и сотовой связи, системы цифрового спутникового телевидения и т.д. Можно сказать больше: будущее всей техники обработки сигналов - в ее цифровой реализации. Пройдет еще 10 – 20 лет - и мы будем вспоминать о традиционных аналоговых методах формирования и приема сигналов, их обработки и хранения лишь в теоретическом плане. Вся практическая радиотехника, связанная с обработкой информационных сигналов, перейдет на цифровую реализацию.

1. Дискретизация

Теорема дискретизации, или, как ее еще называют, теорема Котельникова, теорема Уитекера, формулируется следующим образом: непрерывная функция Х(t) с ограниченным спектром, то есть не имеющая в своем спектре

(1)

составляющих с частотами, лежащими за пределами полосы f Î (-Fm, Fm), полностью определяется последовательностью своих отсчетов в дискретные моменты времени X(ti), следующих с шагом Dt < 1/Fm.

Доказательство сформулированной теоремы основывается на однозначном соответствии между сигналами и соответствующими им спектрами. Иными словами, если сигналы одинаковы, то и соответствующие им спектры также одинаковы. И, наоборот, если спектры двух сигналов одинаковы, то и соответствующие сигналы также одинаковы.

Приведем простейшее доказательство теоремы Котельникова, для чего сначала покажем, каким образом спектр дискретной последовательности отсчетов { Х(ti) } связан со спектром непрерывной функции Х(t).

Последовательность отсчетов непрерывной функции Х(t) можно представить в виде произведения Х(t) на периодическую последовательность d-импульсов (решетчатую функцию) с периодом t:

(2)

Тогда спектр (преобразование Фурье) дискретизованной функции Х(ti) можно записать в следующем виде:

(3)

или, с учетом "фильтрующего" свойства d-функции, выражение (3) приобретет свою окончательную форму:

(4)

Нетрудно заметить, что спектр периодически дискрeтизованной функции Х(it) также становится периодическим, с периодом 1/t.

Действительно,

(5)

Такой же результат, но несколько иным способом можно получить, если вспомнить, что произведению функций во временной области соответствует свертка их спектров, и тогда

(6)

Спектр "решетчатой функции" также имеет вид периодической последовательности d-импульсов, но уже по частоте и с периодом f = 1/t, то есть

(7)

Произведя свертку и с учетом "фильтрующего свойства" d-функции получим

(8)

Таким образом, спектр дискрeтизованной функции Х(i Dt) получается путем периодического, с периодом 1/t, повторения спектра исходной функции Х(t).

Из последнего выражения видно также, что для k = 0

(9)

иными словами, составляющая спектра дискрeтизованной функции для k = = 0 с точностью до постоянного множителя 1/t совпадает со спектром исходной непрерывной функции Х(t). Следовательно, если каким-либо образом можно выделить из полного (периодического) спектра последовательности Х(ti) лишь составляющую с k = 0, то тем самым по дискретной последовательности Х(ti) восстановится непрерывная функция Х(t).

Из выражения (9) следует, что устройством, позволяющим выделить из спектра дискретизованного сигнала Х(ti) составляющую, полностью совпадающую со спектром исходного сигнала Х(t), является идеальный фильтр нижних частот (ФНЧ) с частотной характеристикой вида

(10)

При этом спектры, соответствующие различным значениям k, могут быть разделены только при условии их неперекрываемости. Неперекрываемость же спектров обеспечивается при выполнении условия

Fm ≥ 1/ Δt - Fm или Δt ≤ 1/ 2Fm, (11)

откуда и вытекает значение интервала дискретизации Δt, обеспечивающего восстановление исходного сигнала Х(t) по последовательности его отсчетов.

Импульсная переходная характеристика фильтра, восстанавливающего непрерывный сигнал по дискретной последовательности его отсчетов, может быть получена как преобразование Фурье от частотной характеристики (11) и имеет вид

h(t) = F-1 {H(f) } = sinc (2pFmt). (12)

Пропуская дискретную последовательность Х(ti) через фильтр с импульсной характеристикой h(t), получим исходный непрерывный сигнал:

(13)

Процесс дискретизации непрерывной функции X(t) и ее восстановления по дискретной последовательности отсчетов X(ti) иллюстрируется рис.1:

Рис. 1.

Таким образом, по дискретной последовательности отсчетов функции Х(i Dt) всегда можно восстановить исходную непрерывную функцию Х(t), если отсчеты брались с интервалом Dt £ 1/2Fm. Это говорит о том, что не существует принципиальных различий между непрерывными и дискретными сигналами. Любой непрерывный сигнал с ограниченным спектром (а все реальные сигналы имеют ограниченный спектр) может быть преобразован в дискретную последовательность, а затем с абсолютной точностью восстановлен по последовательности своих дискретных значений. Последнее позволяет также рассматривать источники непрерывных сообщений как источники дискретных последовательностей, переходить, где это необходимо и удобно, к анализу дискретных сообщений, осуществлять передачу непрерывных сообщений в дискретной форме и так далее.

1.2 Недостатки квантования с использованием метода Котельникова:

1. Теорема сформулирована для сигналов с ограниченным спектром и неограниченным временем - на практике наоборот спектр неограничен, а время ограничено. Спектр можно ограничить, пропустив сигнал через фильтр НЧ или полосовой фильтр.

2. При передаче импульсных сигналов шаг квантования выбирается для самых крутых участков, т. к. квантование равномерное, то канал будет перегружен, и обладать большой избыточностью. Трудно реализовать схему восстановления сигнала, т. к. необходимо много сумматоров.

Существуют другие принципы дискретизации: критерий Железнова, который использует неравномерное квантование, при этом шаг квантования выбирается, в зависимости от корреляция между значениями сигнала; критерий Темникова, который также использует неравномерное квантование, при этом, пока производная постоянна сигнал не квантуется.

2. Квантование (дискретизация) - процесс преобразования непрерывного сигнала в дискретный. При этом используются следующие виды квантования: по времени; по амплитуде (уровню); комбинированное; специальные виды квантования.

2.1 Квантование по времени

При квантовании по времени функция x(t) непрерывного аргумента преобразуется в функцию дискретного аргумента - решетчатую функцию, представляющую совокупность значений непрерывной функции в дискретные моменты времени.

Рис. 1. Квантование по времени

Шаг квантования -временной интервал между двумя фиксированными моментами времени

.

Частота квантования f_k = 1/Dt должна быть такой, чтобы по значениям решетчатой функции- x(t_i) можно было восстановить исходную непрерывную функцию с заданной точностью. Восстановленную функцию x(t) называют воспроизводящей. При временном квантовании возникает задача выбора частоты квантования, при этом, могут быть использованы различные критерии. Чаще всего, дискретизацию осуществляют на основании теоремы Котельникова.

2.2 Дискретизация двумерных сигналов (изображений)

Все большую часть передаваемых с использованием РТС ПИ сообщений, особенно в последнее время, составляют сигналы, являющиеся функциями не только времени - λ(t) (речь, музыка и т.п.), но и ряда других переменных, например, λ(x,y), λ(x,y,t) (статические и динамические изображения, карты физических полей и т.п.). В связи с этим естественным является вопрос: можно ли так, как это делается для временных сигналов (или других функций одной переменной), производить дискретизацию многомерных сигналов (функций нескольких переменных) ?

Ответ на этот вопрос дает теорема дискретизации для двумерных (или в общем случае - для многомерных) сигналов, которая утверждает: функция двух переменных λ(x,y), двумерное преобразование Фурье которой

(18)

равно нулю при fx ≥ fxmax и fy ≥ fymax, однозначно определяется своими значениями в равноотстоящих точках плоскости переменных x и y, если интервал дискретизации удовлетворяет условию Δx ≤ 1/2fxmax, Δy ≤ 1/2fy. Процедура дискретизации двумерной функции иллюстрируется примером, приведенным на рис.2 - 4.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Доказательство двумерной теоремы дискретизации основано, так же как и для одномерного случая, на однозначном соответствии между сигналами и их спектрами: одинаковым изображениям (двумерным функциям) соответствуют одинаковые спектры, и наоборот, если спектры двух функций одинаковы, то и сами эти функции равны друг другу.

Преобразование Фурье (спектр) дискретизованной двумерной функции FF{λ(iDx,jDy) } получается периодическим продолжением спектра исходной непрерывной функции λ (x,y) в точки частотной плоскости (kDfx,lDfy) (рис.5), где fx и fy - так называемые "пространственные частоты", являющиеся аналогами обычной "временной" частоты и отражающие скорость изменения двумерной функции λ (x,y) по соответствующим координатам (крупные фрагменты изображения - низкие частоты, мелкие детали - высокие частоты).

Аналитически это можно записать следующим образом:

(18)

Из рис.1.8. видно, что если соблюдается условие неперекрываемости периодических продолжений спектра FF{λ(iDx,jDy) }, а это справедливо при Δx ≤ 1/2fxmax, Δy ≤ 1/2fymax, то с помощью идеального двумерного ФНЧ с частотной характеристикой вида

(19)

из спектра дискретизованной функции FF{λ(iDx,jDy) } можно абсолютно точно выделить спектр исходной непрерывной функции FF{λ(x,y) } и, следовательно, восстановить саму функцию.

Таким образом, видно, что не существует принципиальных отличий в дискретизации между одномерными и двумерными (многомерными) функциями. Результатом дискретизации в обоих случаях является совокупность отсчетов функции, различия могут быть лишь в величине шага дискретизации, числе отсчетов и порядке их следования.

2.3 Комбинированное квантование

При комбинированном квантовании сигнал квантуется по времени и кроме того, в тактовых точках квантуется по уровню.

Рис. 5. Комбинированное квантование

При комбинированном квантовании амплитуда импульса равна ближайшему значению уровня, при этом величина ошибки квантования равна

.

Т. к.

то математическое ожидание ошибки равно

,

а среднеквадратичная ошибка за счет квантования по уровню уменьшается с увеличением частоты квантования

.

Недостаток комбинированного квантования заключается в сложности реализации дешифрующих устройств. При этом вместо комбинированного квантования чаще всего используют кодоимпульсную модуляцию.

3. Список литературы

1 А.В. Власенко, В.И. Ключко - Теория информации и сигналов. Учебное пособие / Краснодар: Изд-во КубГТУ, 2003.- 97 с.

2 Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов по спец. "Радиотехника". - М.: Высш. шк., 2000.

3 Гринченко А.Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. – Харьков: ХПУ, 2000.

4 Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. - Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. - СПб.: Политехника, 1999.

5 Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы: В 2-х ч. / Пер. с англ. - М.: Мир, 1988.

6 Теория передачи сигналов: Учебник для вузов / А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский

7 Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения спектра. Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 2000.

8 Хемминг Р.В. Цифровые фильтры: Пер. с англ. / Под ред. А.М. Трахтмана. - М.: Сов. радио, 1980.

9 Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов / А.Б. Сергиенко – СПб.: Питер, 2003. – 604 с.: ил.