Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Вы нашли то, что искали?

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

0%

Нет, пока не нашел

0%

Узнайте стоимость индивидуальной работы

это быстро и бесплатно

Получите скидку

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!


Таблица производных Дифференцирование сложных функций

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
565
Размер файла
456 б
Поделиться

Ознакомительный фрагмент работы:

Таблица производных Дифференцирование сложных функций

Контрольная работа

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций

1. Таблица производных

Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.

1. .

Найдем производную, когда .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как

, а , то

Отсюда и ,

то есть . Если , результат тот же.

2. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то

.

Отсюда и , то есть .

3. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то

.

Отсюда и , то есть .

4. .

По определению . Будем дифференцировать как частное:

, то есть .

5. .

По определению . Будем дифференцировать как частное:

, то есть .

6. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то

.

Отсюда и

,

то есть . Здесь была использована формула для второго замечательного предела.

7. .

Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим : . Значит, .

8. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то . Отсюда

и , то есть .

Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.

9. .

Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим : . Значит, .

Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если , то .

Теорема. Если для некоторой функции существует обратная ей , которая в точке имеет производную не равную нулю, то в точке функция имеет производную равную , то есть .

Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента: . Так как функция имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть , откуда . Значит, .

Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.

10. .

В данном случае обратной функцией будет . Для нее . Отсюда

,

то есть .

11. .

Так как

, то . .

В данном случае обратной функцией будет . Для нее

.

Отсюда , то есть .

13. .

Так как

, то .

2. Производная сложной функции

Пусть дана функция и при этом . Тогда исходную функцию можно представить в виде . Функции такого типа называются сложными. Например, .

В выражении аргумент называется промежуточным аргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как они охватывают практически все виды существующих функций.

Теорема. Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке . Тогда сложная функция в точке также будет иметь производную равную производной функции по промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по , то есть .

Для доказательства дадим приращение аргументу , то есть от перейдем к . Это вызовет приращение промежуточного аргумента , который от перейдет к . Но это, в свою очередь, приведет к изменению , который от перейдет к . Так как согласно условию теоремы функции и имеют производные, то в соответствии с теоремой о связи дифференцируемости и непрерывности функции (теорема 11.2.2) они непрерывны. Значит, если , то и , что, в свою очередь, вызовет стремление к нулю.

Составим . Отсюда,

и, следовательно, .

Если функция имеет не один, а два промежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде , где , а , или , то, соответственно, и так далее.

3. Дифференцирование параметрически заданной функции

Выше были рассмотрены производные элементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций, составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций, которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов является параметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изучении уравнения прямой линии.

При обычном задании функции уравнение связывало между собой две переменных: аргумент и функцию. Задавая , получаем значение , то есть пару чисел, являющихся координатами точки . При изменении меняется , точка начинает перемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бывает удобно переменные и связывать не между собой, а выражать их через третью переменную величину.

Пусть даны две функции: где . Для каждого значения из данного промежутка будет своя пара чисел и , которой будет соответствовать точка . Пробегая все значения, заставляет меняться и , то есть точка движется и описывает некоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданием функции, а переменная – параметром.

Если функция взаимно однозначная и имеет обратную себе, то можно найти . Подставляя в , получим , то есть обычную функцию. Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическом задании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно.

Так, в механике принят способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям и в зависимости от времени , то есть в виде параметрически заданной функции Такой способ значительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюда добавляется еще и уравнение .

В качестве примера рассмотрим несколько параметрически заданных кривых.

1. Окружность.

Возьмем точку на окружности с радиусом . Выражая и через гипотенузу прямоугольного треугольника, получаем:

Это и есть уравнение окружности в параметрической форме (рис. 3.1). Возводя каждое уравнение в квадрат, отсюда легко получить обычное уравнение окружности .


Рис. 3.1

2. Эллипс.

Известно, что уравнение эллипса – . Отсюда . Возьмем две точки и на окружности и эллипсе, имеющие одинаковую абсциссу (рис. 3.2). Тогда из уравнения окружности следует, что . Подставим это выражение в : . Значит, уравнение эллипса в параметрической форме имеет вид

Рис. 3.2


3. Циклоида.

Пусть по ровной горизонтальной поверхности катится без скольжения окружность с радиусом . Зафиксируем точку Oее соприкосновения с поверхностью в начальный момент. Когда окружность повернется на угол t, точка O перейдет в точку C (рис. 3.3). Найдем ее координаты:

Значит, параметрическое уравнение циклоиды имеет вид:

Рис. 3.3

4. Астроида.

Пусть внутри окружности радиуса без скольжения катится другая окружность радиуса . Тогда точка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкой соприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4), параметрическое уравнение которой имеет вид:

Рис. 3.4

Рассмотрев ряд примеров, перейдем теперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций.

Пусть функция от задана параметрически: где . Пусть на этом отрезке обе функции имеют производные и при этом . Найдем .

Составим отношение . Тогда

.

Следовательно, . Это и есть правило дифференцирования параметрически заданных функций.


Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2006. – 284с.

2. Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с.

3. Никольский С.М., Бугров Я.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Дифференциальное и интегральное исчисление 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2007. – 509с.

4. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Математика
История
Экономика
icon
138293
рейтинг
icon
3048
работ сдано
icon
1327
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
137726
рейтинг
icon
5836
работ сдано
icon
2641
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
92268
рейтинг
icon
2003
работ сдано
icon
1260
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
51 762 оценки star star star star star
среднее 4.9 из 5
Университет Синергия
Огромное благодарность Вам! Приятно было с Вами работать.. Надеюсь и на дальнейшее сотрудн...
star star star star star
МГСУ
Оценка "ОТЛИЧНО"! Спасибо!!! Быстро, качественно. без замечаний!!! РЕКОМЕНДУЮ!!!
star star star star star
ЮУрГУ
Качественная работа не к чему придраться, в короткие сроки, спасибо большое
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Решить

Контрольная, безопасность жизнедеятельности

Срок сдачи к 25 апр.

только что

Решение интегралов

Контрольная, Математика

Срок сдачи к 25 апр.

только что

Решить 20 задач по органической химии

Контрольная, Органическая химия

Срок сдачи к 2 мая

2 минуты назад

Решить таблицу

Контрольная, Управление земельного имущества

Срок сдачи к 25 апр.

2 минуты назад

решений заданий

Решение задач, международное право

Срок сдачи к 27 апр.

3 минуты назад

Тест по русскому языку

Контрольная, Русский язык

Срок сдачи к 25 апр.

3 минуты назад

индивидуальный проект, на любую тему

Другое, индивидуальный проект

Срок сдачи к 25 апр.

5 минут назад

Расчет показателей надежности системы электроснабжения

Решение задач, Надежность электроснабжения

Срок сдачи к 26 апр.

5 минут назад

Отчет по преддипломной практике

Отчет по практике, Экономика

Срок сдачи к 1 мая

6 минут назад

Ответить на 10 вопросов по физике за одиннадцатый класс, фоксфорд

Тест дистанционно, Физика

Срок сдачи к 25 апр.

7 минут назад

Решить РГР

Контрольная, Математическое моделирование систем и процессов

Срок сдачи к 13 мая

7 минут назад

Получение водорода из синтез газа из твёрдых горючих ископаемых

Презентация, Технология синтетических жидких топлив

Срок сдачи к 26 апр.

7 минут назад

Контрольная работа

Контрольная, трудовое право

Срок сдачи к 30 июня

7 минут назад

решение заданий

Решение задач, налоговое право

Срок сдачи к 27 апр.

8 минут назад

Комбинаторика и теории вероятностей

Решение задач, Математика

Срок сдачи к 26 апр.

8 минут назад

Тестирование по предмету "Тяговые электрические машины"

Тест дистанционно, ТЭМ

Срок сдачи к 26 апр.

9 минут назад

Выполнить кр по химии. М-01464

Контрольная, Химия

Срок сдачи к 30 апр.

11 минут назад

интервью

Другое, подредактировать интервью

Срок сдачи к 25 апр.

11 минут назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно