Расчёт распространения тепла вдоль многослойного цилиндра

ГОУ ВПО «Сургутский государственный университет

Ханты-Мансийского автономного округа — Югры»

Кафедра прикладной математики

Курсовая работа по предмету «Численные методы» на тему

Расчёт распространения тепла вдоль многослойного цилиндра

Выполнил студент группы 11 – 71 факультета Информационных технологий

Илинбаев Николай Геннадьевич

Проверил к.ф.-м.н., доцент кафедры ПМ

Моргун Дмитрий Алексеевич

« »

Сургут — 2010

Содержание

1 Введение

К уравнениям в частных производных приводят задачи газодинамики, теплопроводности, переноса излучения, распротранения нейтронов, теории упругости, электромагнитных полей, процессов переноса в газах, квантовой механики и многие другие.

Уравнения математической физики используются для расчётов распространения тепла, концентрации, волн. Для просмотра изменений температуры в различных точках заданной области применимы формулы теплопроводности. В данной работе рассматривается однородное уравнение теплопроводности и его решение интегро-интерполяционным методом.

Интегро-интерполяционный метод особенно полезен для уравнений с негладкими или разрывными коэффициентами, поскольку именно интегральная запись законов сохранения выделяет из всех математически допустимых решений таких уравнений физически правильное обобщённое решение.

2 Решение задачи

2.1 Интегро-интерполяционный метод

Интегро-интерполяционный метод, один из вариантов которого называется методом баланса, наиболее надёжен и применим во всех случаях. В этом методе после выбора шаблона область G(r,t) разбивают на ячейки, определённым образом связанные с шаблоном. Дифференциальное уравнение интегрируют по ячейке и по формулам векторного анализа приводят к интегральной форме, соответствующей физическому закону сохранения. Приближенно вычисляя полученные интегралы по каким-либо квадратурным формулам, составляют разностную схему.

Например, для установления теплопроводности с переменным коэфициентом u _t = ( ku _x) _x выберем шаблон и сопосавим ему ячейку. Обозначая средние точки интервалов сетки полуцелыми индексами, выполним интегрирование по ячееке:

Это соотношение является точным. В правой части приближенно вычислим первый интеграл по формуле правых прямоугольников. Получим следущиее выражение:

( yˆ n − yn)( xn+1 /2 − xn−1 /2 ) = τ[( kˆ yˆ x) n+1 /2 − ( kˆ yˆ x) n−1 /2 ] (2)

Заменяя в правой части производные разностями и учитывая, что на равномерной сетке x _{n+1 /2} − x _{n−1 /2} = h, получим разностную схему

(3)

Если k = const, то схема совпадает с неявной схемой.

Интегро-интерполяционный метод особенно полезен для уравнений с негладкими или разрывными коэффициентами, поскольку именно интегральная запись законов сохранения выделяет из всех математически допустимых решений таких уравнений физически правильное обобщённое решение.

3 Тестовые расчеты

Решим тестовую задачу. Зададим начальные значения: начальная температура по всему цилиндру = 1; температура на левом конце стержня = 10; температура на правом конце стержня = 15; коэфициенты теплопроводности K1=7, K2=35, K3=7.

Тогда расчеты изменений температуры дадут следущие результаты. Полученные графики:

Рис.1. График распределения температуры при t₁.

Рис.2. График распределения температуры при t₂.

Рис.3. График распределения температуры при t₃.

Рис.4. График распределения температуры при t₄.

Рис.5. График распределения температуры при t₅.

Из графиков видно, что температура плавно возрастает от краёв цилиндра к его середине.

4 Заключение

Поставленная задача на расчёт распространения тепла вдоль многослойного цилиндра успешно завершена. Начальные данные для решаемой задачи: температура на левом конце цилиндра, температура на правом конце цилиндра, коэфициенты теплопроводности на разных участках цилиндра. При вводе начальных данных в задачу просматриваются изменения температуры, продвигающиеся от концов цилиндра к его середине.

5 Литература

Список литературы

1. Калиткин Н. Н. Численные методы. М: Наука, 1978.

6 Приложение

Код программы: ^[1]unit part1; {$mode objfpc}{$H+} interface

uses

Classes, SysUtils, FileUtil, LResources, Forms, Controls, Graphics, Dialogs,

Buttons, ExtCtrls, Menus, StdCtrls, ComCtrls, Arrow, CheckLst, ActnList,

TAGraph, TASeries; type

{ TForm1 }

TForm1 = class(TForm)

K1Edit: TLabeledEdit;

K2Edit: TLabeledEdit;

K3Edit: TLabeledEdit; Uslovie: TBitBtn;

BtStart1: TBitBtn;

BtClose: TBitBtn;

Chart1: TChart;

Chart1LineSeries1: TLineSeries;

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

Label3: TLabel;

Label4: TLabel;

Label5: TLabel;

Label6: TLabel;

Label7: TLabel;

Label8: TLabel;

RightTemp: TLabeledEdit;

LeftTemp: TLabeledEdit;

Menu1: TMainMenu;

MenuItem1: TMenuItem;

MenuItem2: TMenuItem;

MenuItem3: TMenuItem; MenuItem4: TMenuItem; redaktor: TNotebook;

Page1: TPage;

Page2: TPage;

GoY: TUpDown;

GoX: TUpDown;

MashtabY: TUpDown; MashtabX: TUpDown; procedure stopClick(Sender: TObject); procedure UslovieClick(Sender: TObject); procedure BtStart1Click(Sender: TObject); procedure FormActivate(Sender: TObject); procedure MenuItem3Click(Sender: TObject); procedure MenuItem4Click(Sender: TObject); procedure GoYClick(Sender: TObject; Button: TUDBtnType); procedure GoXClick(Sender: TObject; Button: TUDBtnType); procedure MashtabYClick(Sender: TObject; Button: TUDBtnType); procedure MashtabXClick(Sender: TObject; Button: TUDBtnType); procedure VremenaTimer(Sender: TObject);

private

{ private declarations } public

{ public declarations } end;

const n=31; n1=10;//n1-номер узла до которого сохраняется K1.

Aconst=0; Bconst=10; type mass=array[1..n] of double; var

Form1: TForm1;

stepY,Ymin,Ymax,stepX,Xmin,Xmax,w1,w2:double;

Khigh,Lupa:double;

T1,T2,T4,T3:boolean;

{-----------------------------------------------------------------} K,X,XU,B,Aew,Ap,U:mass; shag,dt:double; j:integer;

K1const,K2const,K3const:double; implementation procedure Delay(millisecond: integer); begin sleep(millisecond);

Form1.chart1.repaint; end;

function fun1(Afun1:double):double; begin fun1:=1; end;

procedure ProcedureInit; var i:integer; begin shag:=(Bconst-Aconst)/(n-1); for i:=1 to n do

begin

X[i]:=Aconst+shag*(i-1); B[i]:=fun1(X[i]); end;

for i:=1 to n-1 do

begin

XU[i]:=(X[i]+X[i+1])/2;

if i>2*n1 then K[i]:=K3const else if i>n1 then K[i]:=K2const else K[i]:=K1const;

Aew[i]:=K[i]/shag/shag; end;

end;

procedure TForm1.BtStart1Click(Sender: TObject); var i,ii:integer; begin dt:=0.1;//(j*dt)-дельта-тэ для времени for ii:=1 to 50 do begin

delay(50);

Chart1LineSeries1.Clear; for i:=2 to n-1 do

begin

Ap[i]:=1/(j*dt)+Aew[i-1]+Aew[i]; end;

Chart1LineSeries1.AddXY(X[1],B[1]); for i:=2 to n-1 do begin

U[i]:=(B[i+1]*Aew[i]+B[i-1]*Aew[i-1]+B[i]/(j*dt))/Ap[i]; Chart1LineSeries1.AddXY(X[i],U[i]); end;

Chart1LineSeries1.AddXY(X[n],B[n]); for i:=2 to n-1 do

begin B[i]:=U[i]; end; inc(j); end; end;

procedure TForm1.UslovieClick(Sender: TObject); begin

Chart1LineSeries1.Clear;

K1const:=StrToInt(K1Edit.text);

K2const:=StrToInt(K2Edit.text);

K3const:=StrToInt(K3Edit.text);

ProcedureInit;

B[1]:=StrToInt(LeftTemp.text); B[n]:=StrToInt(RightTemp.text); j:=1;

Form1.BtStart1.enabled:=true; end;

procedure TForm1.stopClick(Sender: TObject); begin end;

procedure TForm1.FormActivate(Sender: TObject); begin

Khigh:=20;stepX:=2;stepY:=2;Lupa:=1;//все коэффициенты chart1.Extent.Xmax:=chart1.Extent.Xmax+Khigh; Chart1.Extent.useXmax:=true;

chart1.Extent.Ymax:=chart1.Extent.Ymax+Khigh; Chart1.Extent.useYmax:=true;

chart1.Extent.Xmin:=chart1.Extent.Xmin-1; Chart1.Extent.useXmin:=true; chart1.Extent.Ymin:=chart1.Extent.Ymin-1;

Chart1.Extent.useYmin:=true; end;

procedure TForm1.MenuItem3Click(Sender: TObject); begin close;

end;

procedure TForm1.MenuItem4Click(Sender: TObject); begin showmessage (’Сделал Илинбаев Н. Г., группа 1171, подгруппа А ’)

end;

procedure TForm1.GoYClick(Sender: TObject; Button: TUDBtnType); begin

stepY:=2; case button of

btNext: begin chart1.Extent.Ymax:=chart1.Extent.Ymax+stepX; Chart1.Extent.useYmax:=true;

chart1.Extent.Ymin:=chart1.Extent.Ymin+stepX;

Chart1.Extent.useYmin:=true;

end; btPrev: begin chart1.Extent.Ymax:=chart1.Extent.Ymax-stepX; Chart1.Extent.useYmax:=true;

chart1.Extent.Ymin:=chart1.Extent.Ymin-stepX;

Chart1.Extent.useYmin:=true; end; end;

end;

procedure TForm1.GoXClick(Sender: TObject; Button: TUDBtnType); begin

case button of

btNext: begin chart1.Extent.Xmax:=chart1.Extent.Xmax+stepX; Chart1.Extent.useXmax:=true;

chart1.Extent.Xmin:=chart1.Extent.Xmin+stepX;

Chart1.Extent.useXmin:=true;

end; btPrev: begin chart1.Extent.Xmax:=chart1.Extent.Xmax-stepX; Chart1.Extent.useXmax:=true;

chart1.Extent.Xmin:=chart1.Extent.Xmin-stepX;

Chart1.Extent.useXmin:=true; end; end;

end;

procedure TForm1.MashtabYClick(Sender: TObject; Button: TUDBtnType); begin

case button of

btPrev: begin chart1.Extent.Ymax:=chart1.Extent.Ymax+Lupa; Chart1.Extent.useYmax:=true;

chart1.Extent.Ymin:=chart1.Extent.Ymin-Lupa;

Chart1.Extent.useYmin:=true;

end;

btNext: begin

chart1.Extent.Ymax:=chart1.Extent.Ymax-Lupa; Chart1.Extent.useYmax:=true;

chart1.Extent.Ymin:=chart1.Extent.Ymin+Lupa;

Chart1.Extent.useYmin:=true; end; end;

end;

procedure TForm1.MashtabXClick(Sender: TObject; Button: TUDBtnType); begin

case button of

btPrev: begin chart1.Extent.Xmax:=chart1.Extent.Xmax+Lupa; Chart1.Extent.useXmax:=true;

chart1.Extent.Xmin:=chart1.Extent.Xmin-Lupa;

Chart1.Extent.useXmin:=true;

end; btNext: begin chart1.Extent.Xmax:=chart1.Extent.Xmax-Lupa; Chart1.Extent.useXmax:=true;

chart1.Extent.Xmin:=chart1.Extent.Xmin+Lupa;

Chart1.Extent.useXmin:=true; end; end;

end;

procedure TForm1.VremenaTimer(Sender: TObject); begin end;

initialization

{$I part1.lrs} end.

[1] Код программы, реализующей решение расчёт распределения тепла вдоль многослойного цилиндра