Тригонометрические функции 2

Тригонометрия – математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника, является разделом геометрии, тригонометрические функции являются объектом изучения математического анализа, а тригонометрические уравнения изучаются методами алгебры.

Тригонометрические функции возникли в Древней Греции в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике, которые по существу и являются тригонометрическими функциями, встречаются уже в Ш в. до н. э. в работах Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и др. Тригонометрия от греческих: trigonom – “треугольник”, metreo – “измеряю”, изучает зависимость между сторонами и углами треугольника.

Тригонометрия возникла из пратических нужд человека. С ее помощью можно определить расстояния до недоступных предметов. Она существенно упрощает процесс геодезической съемки местности, нужный для составления карт.

Зачатки тригонометрических познаний родились в древности. Жрецы постоянно наблюдали за небом, за перемещением звезд. На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась ее вспомогательным разделом.

Исторически теоремы синусов сферической геометрии предшествовали теоремам плоской геометрии. Потребность людей в знаниях по астрономии, необходимых для исчисления времени, возникла прежде других потребностей человека, связанных с измерением углов. Исходя из геоцентрической гипетезы Вселенной, древнегреческие астрономы рассматривали Землю как шар, находящийся в центре небесной сферы, которая рвномерно вращается вокруг своей оси. При изучении закономерностей движения светил возникли многочисленные математические задачи, связанные со свойствами сферы и фигур, которые образуют на ней большие окружности.

Автором первого капитального сочинения о “сферике” – так называли сферическую геометрию древние греки – был, по-видимому, математик и астроном Евдокс Книдский (ок. 408-355 г.г. до н.э.). Но самым значительным произведением была “Сферика” Менелая Александрийского, греческого ученого, жившего в 1 в., который обощил результаты своих предшественников и получил большое количество новых результатов. Долгое время “Сферика” служила учебником для астрономов. Сферическая геометрия и сейчас нужна штурманам кораблей, которые по звездам определяют свои координаты, при геодезических съемках больших поверхностей Земли, при которых необходимо учитывать ее шарообразность.

Древнегреческие ученые разработали “тригонометрию хорд”, изложенную, выдающимся астрономом Птолемеем (П в.) в его работе “Альмагест”. Птолемей словесно, т.к. не было математической символики, вывел соотношения между хордами в круге, которые равносильны современным формулам для синуса половинного и двойного угла, суммы и разности двух углов.

Важный шаг сделан индийскими учеными, которые заменили хорды синусами. Это нововведение перешло в УШ в. в арабоязычную математику стран Ближнего и Среднего Востока. В 1Х – ХШ в.в. и “Сферика” Менелая, переведенная на арабский язык, внимательно изучалась математиками Ближнего и Среднего Востока. В ХП в. в переводе с арабского “Сферика” стала известна в Европе.

Математики Ближнего и Среднего Востока превратили тригонометрия из раздела астрономии в самостоятельную математическую дисциплину. В Х-Х1 в.в. они впервые доказали теорему синусов, открытие которой сыграло важнейшую роль в тригонометрии. Помимо синуса, были выведены другие функции и составлены таблицы для них.

Общепринятые понятия тригонометрии, а также обозначения и определения тригонометрических функций сформировались в процессе долгого исторического развития. Если , например, при введении основных тригонометрических понятий представляется естественным принимать радиус тригонометрического круга ( рис.1), равным единице, то эта, казалось бы, простая идея была усвоена только в Х-Х1 веке.

Рис. 1.

Если мы понимаем под синусом угла в прямоугольном треугольнике ОВС отношение катета ВС (линия синуса) к гипотенузе ОС (т.е. радиусу единичной окружности ), то в средние века термином «синус» обозначали саму линию синуса ВС. То же относится к косинусу, под которым понимали линию косинуса ОВ, и другим тригонометрическим функциям.

Лишь благодаря введению новых понятий, а также в результате разработки и усовершенствования математической символики, тригонометрия приобрела современный вид, наиболее удобный для решения вычислительных задач.

Современную форму теории тригонометрических функций и вообще тригонометрии придал в ХУШ в. в своих трудах Леонард Эйлер (1707 – 1783г.г.). Ему принадлежат определения тригонометрических функций и принятая в наши дни символика. Эйлер – крупнейший математик, в 1727 г. приехал в Россию по приглашению Петербургской академии наук, где получил большие возможности для работы и издания своих трудов, в списке которых более 800 названий по разным проблемам математики.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Энциклопедический словарь юного математика.

2. Большая детская энциклопедия. Математика.