Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Вы нашли то, что искали?

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

0%

Нет, пока не нашел

0%

Узнайте стоимость индивидуальной работы

это быстро и бесплатно

Получите скидку

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!


Программа оптимизации рискового портфеля

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
1468
Размер файла
23 б
Поделиться

Ознакомительный фрагмент работы:

Программа оптимизации рискового портфеля

Введение.

На финансовом рынке обращается множество ценных бумаг: государственные ценные бумаги, муниципальные облигации, корпоративные акции и т.д. Если у участника рынка есть свободные деньги, то их можно отнести в банк и получать проценты или купить на них ценные бумаги и получать дополнительный доход. Но в какой банк отнести? Какие ценные бумаги купить? Малорисковые ценные бумаги, как правило, и малодоходны, высокодоходные, как правило, более рисковые. Экономическая наука может дать некоторые рекомендации для решения этого вопроса.

Постановка задачи.

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по различным видам ценных бумаг. Предваряя точные математические постановки, констатируем очевидную общую цель инвестора – вложить деньги так, чтобы сохранить свой капитал, а при возможности и нарастить его.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, называется его портфелем. Стоимость портфеля – это суммарная стоимость всех составляющих его бумаг. Если сегодня его стоимость есть Р , а через год она окажется равной Р¢, то (Р¢-Р)/Р естественно назвать доходностью портфеля в процентах годовых. Т.е. доходность портфеля – это доходность на единицу его стоимости.

Пусть хi – доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг i-го вида. Рассуждения о долях эквивалентны тому, что весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть di – доходность в процентах годовых ценных бумаг i-го вида в расчете на одну денежную единицу.

Найдем доходность всего портфеля dp. С одной стороны, через год капитал портфеля будет равен 1+ dp, с другой - стоимость бумаг i-го вида увеличиться с х до xi+ di*xi, так что суммарная стоимость портфеля будет равна Sxi+ Sxi*di = 1 + Sxi*di. Приравнивая оба выражения для стоимости портфеля, получаем dp= Sxi*di.

Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна аналогичной задаче о доходности портфеля, выраженной через доходности бумаг и их доли.

Как правило, доходность бумаг колеблется во времени, так что будем считать ее случайной величиной. Пусть mi,si – средняя ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение (СКО) этой случайной доходности, т.е. mi=M[di] - математическое ожидание доходности и ri=ÖVii, где Vii – вариация или дисперсия i-ой доходности. Будем называть mi, ri соответственно эффективностью и риском i-ой ценной бумаги. Через Vijобозначим ковариацию доходностей ценных бумаг i-го и j-го вида (или корреляционный момент Kij).

Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг случайна, то и доходность портфеля есть также случайная величина. Математическте ожидание доходности портфеля есть M[dp]=x1*M[d1]+…+xn*M[dn]=Sxi*mi обозначим его через mp. Дисперсия доходности портфеля есть D[dp]=SSxi*xj*Vij. Так же, как и для ценных бумаг, назовем mp эффективностью портфеля, а величину sp=ÖD[dp] – риском портфеля rp. Обычно дисперсия доходности портфеля называется его вариацией Vp.

Итак, эффективность и риск портфеля выражены через эффективности составляющих его ценных бумаг и их совместные ковариации.

Портфель Марковица минимального риска.

Существует несколько вариантов задач оптимизации рискового портфеля. Мы рассмотрим только одну. Это так называемый «портфель Марковица». Эта задача была сформулирована и решена американским экономистом Г. Марковицем (H. Markovitz) в 1952 году , за что позднее он получил нобелевскую премию.

Пусть имеются n видов ценных бумаг, из которых инвестор хочет сформировать портфель. Необходимо найти xi, минимизирующие вариацию портфеля

Vp=SSxi*xj*Vij

при условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля mp, т.е. Sxi*mi=mp.

Поскольку xi – доли, то в сумме они должны составлять единицу: Sxi=1.

Оставив за инвестором выбор средней эффективности портфеля и помогая ему минимизировать в этом случае неопределенность, получаем следующую задачу по оптимизации портфеля ценных бумаг:

min SS xi*xj*Vij

Sxi=1

Smi*xi=mp

xi≥0,…,xn≥0

Это задача квадратичного программирования. Опустив условия неотрицательности переменных, получаем собственно задачу Марковица.

Решение.

С помощью функции Лагранжа сведем задачу на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум:

L(x1,…,xn,m,l)= SS Vij*xi*xj - l*(Smi –1) - m*(Smi*xi – mp),

¶L/¶xs=2*SVis*xi - l - m*ms=0, s=1,…,n. (*)

производные по l, m воспроизводят указанные выше два соотношения, тем самым для (n+2) переменных x1,…,xn, l, mполучаем (n+2) уравнения.

Запишем полученные уравнения в матричной форме, используя следующие обозначения:


1 x1 m1

e= . x= . m= . x¢=(x1,…,xn), m¢=(m1,…,mn)

. . .

1 xnmn

Штрих применяется для обозначения операции транспонирования матрицы.

B- матрица ковариаций, B-1 – обратная ей матрица. Следовательно уравнения (*) примут вид:

B*x = (l/2)*e + (m/2)*m,

e¢*x = 1,

m¢*x = mp.

Основное допущение этой модели состоит в том, что между эффективностями m1,…,mn нет линейной связи, поэтому ковариационная матрица B невырождена (|B|<>0), следовательно, существует обратная матрица В-1. Используя этот факт разрешим в матричной форме относительно х:

х = (l/2)*В-1*е + (m/2)* В-1*m, (**)

подставив это решение в первое и второе условия, получим два уравнения для определения l/2 и m/2:


(е¢*В-1*е)*l/2 + (е¢*В-1*m)*m/2 =1

(m¢*B-1*e)*l/2 + (m¢*В-1*m)*m/2 =mp.

Решая два последних уравнения по правилу Крамера, находим

l/2 = ((m¢*В-1*m)-mp*(е¢*В-1*m))/((е¢*В-1*е)*(m¢*В-1*m)-(m¢*B-1*e)2)

m/2 = (mp*(е¢*В-1*е)-(m¢*B-1*e))/((е¢*В-1*е)*(m¢*В-1*m)-(m¢*B-1*e)2)

Подставляя это решение в (**) получаем следующую структуру оптимального портфеля:

[(m¢*В-1*m)-mp*(е¢*В-1*m)]*В-1*е + [mp*(е¢*В-1*е) - (m¢*B-1*e)]*В-1*m

x* =

(е¢*В-1*е)*(m¢*В-1*m) - (m¢*B-1*e)2

Простой подстановкой убеждаемся, что е¢*х*=1 и m¢*х*=mp.

Кроме того, находим минимальную дисперсию, соответствующую оптимальной структуре:

[m2p*(е¢*В-1*е) – 2*mp*(m¢*B-1*e) + (m¢*В-1*m)]

D*p=

[(е¢*В-1*е)*(m¢*В-1*m) - (m¢*B-1*e)2]

Тогда s*p=ÖD*p, что и является минимальным риском портфеля.

Если x*i≥0, то это означает рекомендацию вложить долю x*i наличного капитала в ценные бумаги i-го вида. Если же x*i<0, то содержательно это означает провести операцию “short sale” (“короткая продажа”).

Что это за операция? Инвестор, формирующий портфель, обязуется через какое-то время поставить ценные бумаги i-го вида (вместе с доходом, какой они принесли бы их владельцу за это время). За это сейчас он получает их денежный эквивалент. Эти деньги он присоединяет к своему капиталу и покупает рекомендуемые оптимальным решением ценные бумаги. Так как ценные бумаги других видов (т.е. не i-го вида) более эффективны, то инвестор оказывается в выигрыше.

Математически эта операция значит, что нужно исключить этот вид ценных бумаг из рассмотрения и решить задачу заново.

Пример.

Дано: m1=11, s1=4, m2=10, s2=3, m3=9, s3=1, ценные бумаги не коррелированы. Определить оптимальный портфель при mp=10.

Ответ: Доли ценных бумаг x1=0,3396; x2=0,3208; x3=0,3396. Минимальный риск sp=1,699. Эффект диверсификации портфеля наглядно виден на данном примере. Портфель имеет такую же эффективность, как если бы он был составлен только из бумаг 2-го вида, но его риск значительно меньше, чем у бумаг 2-го вида (1,699 < 3).

Программа.

Далее приведена программа, которая рассчитывает структуру портфеля при заданной эффективности и его минимальный риск.

program riski;

uses crt;

type mas=array[1..10] of real;

mas2=array[1..10,1..10] of real;

var a:real;

m,be,bm:mas;

B,E,b1,e1:mas2;

i,k,c,v,l,j,n:integer;

mp,ebe,mbm,ebm,x,mbe:real;

procedure base;

begin

for i:=1 to n do {обращение матрицы B}

begin

for c:=1 to n do {дублирование матриц}

begin

for v:=1 to n do

begin

B1[c,v]:=B[c,v];

e1[c,v]:=e[c,v];

end;

end;

for k:=1 to n do

begin

B[i,k]:=B1[i,k]/b1[i,i]; {делим строки на разрешающий элемент}

E[i,k]:=E1[i,k]/b1[i,i];for l:=1 to n do

begin {находим остальные элементы}

if l<>i then

begin

B[l,k]:=(B1[l,k]-(B1[l,i]*B1[i,k]/B1[i,i]));

E[l,k]:=(E1[l,k]-(B1[l,i]*E1[i,k]/B1[i,i]));

end;

end;

end;

end;

for i:=1 to n do {суммирование по строкам, формирование вектора-столбца Be}

begin

for j:=1 to n do

begin

be[i]:=be[i]+e[i,j];

end;

end;

for i:=1 to n do {формирование вектора-столбца Bm}

begin

for j:=1 to n do

begin

Bm[i]:=Bm[i]+m[j]*e[i,j];

end;

end;

for i:=1 to n do

begin {нахождение констант}

ebe:=ebe+be[i]; {суммирование по стоблцу}

ebm:=ebm+bm[i];

mbm:=mbm+m[i]*bm[i];

mbe:=mbe+m[i]*be[i];

end;

end;

procedure vvod ;

label out1, out2, out3, out4, out5;

var z:real; mi,ma:real;

begin

writeln;

writeln(' КУРСОВОЙ ПРОЕКТ');

writeln;

writeln;

writeln(' ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА');

writeln;

writeln(' АВТОР: БОЛДИН СЕРГЕЙ, ФИНМЕН II-3.');

writeln;

writeln(' ТЕМА: ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ РИСКОВОГО ПОРТФЕЛЯ.');

writeln;

writeln;

writeln;

out1:

writeln;

writeln(' Введите количество видов ценных бумаг, из которых вы хотите ');

write(' сформировать портфель (не более 10): ');

readln(n);

if (n<=0) or (n<>int(n)) or (n>10) then

begin

writeln(' Ошибка ввода! Число должно быть натуральным и меньше 10 ! ');

goto out1;

end;

writeln;

writeln(' Введите эффективности (доходности) ценных бумаг:');

for i:=1 to n do

begin

E[i,i]:=1;

out2:

write(' ',i,'-ого вида : ');

readln(m[i]);

if (m[i]<0) then

begin

writeln(' Ошибка ввода! Число должно быть положительным! ');

goto out2;

end;

end;

writeln;

writeln('!!! При вводе рисков и совместных вариаций ценных бумаг следует');

writeln(' быть внимательным, так как программа не расчитана на линейную');

writeln(' связь доходностей ценных бумаг. Поэтому рекомендуется не вводить');

writeln(' пропорциональные риски и совместные вариации ценных бумаг!!!');

writeln;

writeln(' Введите риск (среднее квадратическое отклонение(СКО)) ценных бумаг: ');

for i:=1 to n do

begin

out3:

write(' ',i,'-ого вида : ');

readln(z);

if (z<0) then

begin

writeln(' Ошибка ввода! Число должно быть положительным! ');

goto out3;

end;

b[i,i]:=z*z;

end;

writeln;

writeln(' Введите совместную вариацию (корреляционный момент) ценных бумаг.');

writeln(' Она не должна быть больше произведения СКО этих бумаг.');

for i:=1 to n do

begin

for j:=i+1 to n do {ввод матрицы ковариаций}

begin

out4:

write(' ',i,'-го и ',j,'-го вида: ');

readln(z);

if abs(z)>=sqrt(b[i,i])*sqrt(b[j,j]) then

begin

writeln(' Ошибка ввода! Число должно быть положительным и меньше произведения СКО этих бумаг! ');

goto out4;

end;

b[i,j]:=z;

b[j,i]:=z;

if i<>j then begin E[i,j]:=0; end;

end;

end;

writeln;

ma:=0;

for i:=1 to n do

begin

if m[i]>ma then ma:=m[i];

end;

mi:=100000000;

for i:=1 to n do

begin

if m[i]<mi then mi:=m[i];

end;

writeln(' Введите желаемую эффективность портфеля. ');

write(' Она должна быть в пределах эффективностей ценных бумаг: ');

out5:

readln(mp);

if (mp<mi) or (mp>ma) then

begin

writeln(' Ошибка ввода!');

write(' Число должно быть в пределах эффективностей ценных бумаг!: ');

goto out5;

end;

end;

procedure vivod ;

begin

writeln;

writeln(' Структура портфеля. Доли ценных бумаг.');

for i:=1 to n do

begin

x:=((mbm-mp*ebm)*be[i]+(mp*ebe-mbe)*bm[i])/(ebe*mbm-mbe*mbe);

writeln(' ',i,'-го вида: ',x:6:5);

if x<0 then

begin

writeln(' Так как доля бумаг ',i,'-го вида отрицательна, то необходимо ');

writeln(' провести сделку "short sale", исключить бумаги этого вида из портфеля');

writeln(' и решить задачу заново.');

end;

end;

writeln;

writeln(' Минимальный риск портфеля: ',sqrt((mp*mp*ebe-2*mp*mbe+mbm)/(ebe*mbm-mbe*mbe)):6:5);

end;

begin

clrscr;

textcolor(yellow);

textbackground(blue);

vvod;

base;

vivod;

readln;

end.

Список литературы:

1. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: «Юнити» 1998.

2. Малыхин В.И. Финансовая математика. М.: «Юнити» 2000.


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Математика
История
Экономика
icon
151063
рейтинг
icon
3165
работ сдано
icon
1373
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
146476
рейтинг
icon
5958
работ сдано
icon
2692
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
103129
рейтинг
icon
2082
работ сдано
icon
1299
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
58 560 оценок star star star star star
среднее 4.9 из 5
МУ имени С.Ю.Витте
Работа выполнена качественно и без единого замечания! Оценили по высшему баллу! Спасибо ог...
star star star star star
ЗабГУ
Огромное спасибо за проделанную работу. Заказывал реферат по правоведению, сначала делал с...
star star star star star
Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова
Спасибо большое Татьяне! Работа выполнена идеально и досрочно (хотя сроки и так были миним...
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Решить номер подробно

Решение задач, Алгебра

Срок сдачи к 13 февр.

только что

Кинематика точки

Решение задач, теоретическая механика

Срок сдачи к 17 февр.

1 минуту назад

Решение 5 задач.

Решение задач, электротехника и электроника

Срок сдачи к 1 мар.

3 минуты назад

В файле

Решение задач, финансовое право

Срок сдачи к 14 февр.

5 минут назад

3 задания

Лабораторная, Психология личности

Срок сдачи к 17 февр.

5 минут назад

ответить на вопросы к тексту

Другое, Философия

Срок сдачи к 28 февр.

5 минут назад

Могу составить реферат по любой теме истории в word...

Реферат, История

Срок сдачи к 20 февр.

5 минут назад
6 минут назад

Нужно сделать чертеж по выданным данным

Чертеж, 184

Срок сдачи к 14 февр.

7 минут назад

Направление - "База данных на реляционных данных".

Курсовая, Базы данных

Срок сдачи к 13 мар.

9 минут назад

Разработка информационной системы по учёту библиотечного фонда школы...

Диплом, Информационные системы

Срок сдачи к 30 апр.

9 минут назад

Доклад+презентация по докладу

Доклад, Региональный рынок ценных бумаг

Срок сдачи к 17 февр.

10 минут назад

Творческое задание

Лабораторная, Психология личности

Срок сдачи к 17 февр.

10 минут назад

Решить задачки

Другое, Юриспруденция

Срок сдачи к 18 февр.

11 минут назад

Cделать Ai презентацию из реферата

Презентация, Маркетинг

Срок сдачи к 13 февр.

11 минут назад
11 минут назад

Решить 2 лабораторные работы и ответить на доп вопросы преподователя

Лабораторная, Информационные технологии

Срок сдачи к 19 февр.

11 минут назад

переделать

Контрольная, Физические основы электроники

Срок сдачи к 14 февр.

11 минут назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно