Комплексні числа Поняття про комплексне число

Реферат на тему:

Комплексні числа

Означення уявної одиниці. Розширення множини дійсних чисел. Поняття про комплексне число.

У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо обмежитися розглядом лише дійсних чисел. Вже досить давно під час розв’язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корінь з від’ємних чисел. Але чисел, які при піднесенні до квадрата дають від’ємні числа, тоді не знали і тому вважали, що квадратні корені в від’ємних чисел не існують, тобто задачі, які до них приводять, не мають розв’язків. Зокрема, так було під час розв’язання квадратних рівнянь з від’ємним дискримінантом, наприклад:

.

Тому природно постало питання про розширення множини дійсних чисел, приєднанням до неї нових так, щоб у розширеній множині, крім чотирьох арифметичних дій – додавання, віднімання, множення і ділення (за винятком ділення на нуль), можна було виконувати дію добування кореня. Це питання було успішно розв’язане лише у ХІХ ст.

Оскільки існує вимога, щоб у новій числовій множині рівняння мало розв’язок, необхідно ввести деяке нове число, вважаючи його розв’язком цього рівняння. Число, квадрат якого дорівнює –1, позначають буквою і і називають уявною одиницею (і – перша буква латинського слова imaginarius– уявний). Підкреслимо, що рівність приймається за означенням і не доводиться. До нової множини мають належати числа виду (добуток дійсного числа на уявну одиницю) і числа виду (сума дійсного числа і добутку дійсного числа на уявну одиницю).

Отже, нова множина чисел повинна містити всі числа виду . Числа виду , де і - довільні дійсні числа, а - уявна одиниця називають комплексними. Слово “комплексний” означає складений. Число називають дійсною частиною комплексного числа , а вираз - уявною.

Число називають коефіцієнтом при уявній частині.

Два комплексних числа і = рівні між собою тоді і тільки тоді, коли і , тобто коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах.

Поняття “більше” і “менше” для комплексних чисел не має смислу. Ці числа за величиною не порівнюють.

Важливим є поняття про спряжені комплексні числа. Числа та , дійсні частини яких рівні, а коефіцієнти при уявних частинах рівні за модулем, але протилежні за знаком, називають спряженими. Можна сказати простіше: числа і , які відрізняються лише знаком уявної частини, називаються спряженими.

Геометрична інтерпретація комплексних чисел

Вивчаючи комплексні числа, можна використовувати геометричну термінологію і геометричні міркування, якщо встановити взаємно однозначну відповідність між множиною комплексних чисел і множиною точок координатної площини. Цю відповідність можна встановити так. Кожному комплексному числу поставимо у відповідність точку координатної площини, тобто точку, абсциса якої дорівнює дійсній частині комплексного числа, а ордината – коефіцієнту уявної частини. Кожній точці координатної площини поставимо у відповідність комплексне число (мал. 1). Очевидно, що така відповідність є взаємно однозначною. Вона дає можливість інтерпретувати комплексні числа як точки деякої площини, на якій вибрано систему координат. Координатну площину називають при цьому комплексною, вісь абсцис – дійсною віссю, бо на ній розміщені точки, що відповідають комплексним числам , тобто відповідають дійсним числам. Вісь ординат називається уявною віссю – на ній лежать точки, які відповідають уявним комплексним числам .

Мал. 1

Зручною є також інтерпретація комплексного числа як вектором (див. рис. 1). Поставимо у відповідність кожному комплексному числу вектор з початком у точці і кінцем у точці . Ви знаєте, що такий вектор називають радіусом-вектором, а його проекції на осі координат є координатами вектора. Отже, можна сказати, що геометричним зображенням комплексного числа є радіус-вектор з координатами і . Відповідність між множиною комплексних чисел, з одного боку, і множиною точок або векторів площини, з іншого, дає змогу комплексні числа називати точками або векторами і говорити, наприклад, про вектор або про точку .

На малюнку 2 вектори є відповідно геометричними зображеннями комплексних чисел .

Мал. 2

Обидва способи геометричного зображення комплексних чисел рівноцінні, бо будь-якій точці А координатної площини відповідає певний радіус-вектор . Навпаки, кожному радіус-вектору відповідає певна точка – кінець радіуса-вектора.

Тригонометрична форма запису комплексних чисел

Запис числа у вигляді називається алгебраїчною формою запису комплексного числа. Крім алгебраїчної форми використовуються й інші форми запису комплексних чисел – тригонометрична і показникова. Розглянемо тригонометричну форму запису, а для цього введемо поняття про модуль і аргумент комплексного числа.

Мал. 3

Модуль комплексного числа. Побудуємо радіус-вектор , що є геометричним образом комплексного числа (мал. 3). Модулем комплексного числа називається значення . Число перетворюється на нуль тільки за умов , .

Модуль комплексного числа позначається символом . Отже, .

Якщо комплексні числа мають один і той самий модуль, то кінці векторів, які зображують ці числа, лежать на колі з центром у початку координат і радіусом, що дорівнює їх модулю.

Аргумент комплексного числа. Нехай радіус-вектор зображує комплексне число (див. мал. 3). Позначимо кут, який утворює вектор з додатним напрямом осі . Числове значення кута , виміряного в радіанах, називається аргументом комплексного числа . Якщо комплексне число дорівнює нулю, то вектор перетворюється в точку (нуль-вектор), і говорити про його напрям немає сенсу. Тому вважають, що число нуль не має аргументу. Кожне відмінне від нуля комплексне число має нескінченну множину значень аргументу, які відрізняються одне від одного на ціле число повних обертів, тобто на величину , де - довільне ціле число. Значення аргументу, взяте в межах першого кола, тобто від 0 до , називається головним. Головне значення аргументу комплексного числа можна визначити в рівності . Справді, за знаками і можна встановити, в якій чверті міститься кут , і за величиною , використовуючи таблиці, знайти величину кута .

Тригонометрична форма комплексного числа. Нехай вектор є геометричним зображенням комплексного числа (див. мал. 3), модуль якого дорівнює , а аргумент .

У прямокутному трикутнику , . Підставляючи у запис комплексного числа замість і їхні значення, виражені через модуль і аргумент, дістанемо:

/

Виразназивається тригонометричною формою комплексного числа. Будь-яке число , дане в алгебраїчній формі, можна подати в тригонометричній формі. Модуль знаходимо за формулою , а кут визначаємо із залежності , яка випливає з формул і .