Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Вы нашли то, что искали?

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

0%

Нет, пока не нашел

0%

Узнайте стоимость индивидуальной работы

это быстро и бесплатно

Получите скидку

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!


Построение прямоугольной системы координат

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
778
Размер файла
52 б
Поделиться

Ознакомительный фрагмент работы:

Построение прямоугольной системы координат

КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ

Кафедра «Автоматизации управления войсками»

"Утверждаю"

Начальник кафедры № 9

полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.

«____»______________ 2004 г.

доцент СМИРНОВА А.И.

"ВВЕДЕНИЕ"

ЛЕКЦИЯ № 1 / 1

Обсуждено на заседании кафедры № 9

«____»___________ 2004г.

Протокол № ___________

Кострома, 2004

Содержание

Введение

1. Предмет математики. Исторические сведения.

2. Построение курса математики в училище.

3. Прямоугольная система координат. Полярные координаты и их связь с прямоугольными.

Заключение

Литература

1. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики, т.1,гл.1, §1, 2, 3.

2. В.Е. Ефимов, Краткий курс аналитической геометрии, гл.1, § 1, 2, 3, 4.


ВВЕДЕНИЕ

На лекции рассматривается предмет математики, краткие исторические сведения, построение курса математики в училище. Курсантам напоминаются и систематизируются сведения о прямоугольной системе координат на плоскости, знакомые им из школьного курса. Вводится полярная система координат и устанавливается ее связь с прямоугольной. Данная лекция является вводной для всего курса высшей математики и является подготовкой для рассмотрения в дальнейшем вопросов аналитической геометрии.

1-ый учебный вопрос

ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИКИ. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Математика представляет собой одну из самых важных функциональных наук. В широком смысле математика – это наука в которой изучаются количественные отношения и пространственные формы действительного мира. Возникновение математики относится к глубокой древности. Первый ее период получил название "элементарной математики". Ее особенности:

1. Неподвижность рассматриваемых объектов;

2. Не использование идеи бесконечности;

3. Отсутствие общих методов.

Бурное развитие производства, техники, естествознания в XYII-XYIII веках потребовало создания математического аппарата, пригодного к изучению переменных величин, находящихся между собой в функциональной зависимости.

Возникла новая, так называемая, высшая математика с ее разделами: аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление, теория дифференциальных уравнений и другие. В общих чертах математику делят на геометрию и анализ. В аналитической геометрии был дан общий метод решения геометрических задач – метод координат.

Математический анализ занимается переменными величинами и их взаимосвязью.

Основы аналитической геометрии были даны французским математиком Декартом/1596-1650/. Открытие дифференциального и интегрального исчисления принадлежит английскому математику Ньютону /1642 –1727/ и немецкому математику Лейбницу /1642-1716/. Выдающаяся роль в создании классического математического анализа сыграли Эйлер/1707 – 1783/, Лагранж /1736 – 1813/, Гаусс /1777 – 1855/, Коши /1789 – 1857/, Вейерштрасс /1815-1897/ и др.

Расцвет математики наступил тогда, когда без нее не могут обойтись другие науки. К концу XIX века математика приобретает огромное практическое значение. Теперь область знания превращается в зримую науку, если в ней используются математические методы.

Математические методы плодотворно используются во многих областях. На основании теории исчисления бесконечно малых величин Ньютон вывел законы движения небесных тел. На основе дифференциального и интегрального исчисления были сформулированы все физические законы, открытые в XVIII – XIX веках. В 1848 году французский ученый Леверье теоретически предсказал существование планеты Нептун, а затем открыл ее.

Жуковский, профессор московского университета, теоретически предсказал возможность фигур высшего пилотажа и в скором времени первая фигура "мертвая петля" была использована Нестеровым.

Большой вклад в развитие математики внесли русские ученые. Остановимся на некоторых важных результатах, полученных учеными России.

РОЛЬ РУССКИХ УЧЕНЫХ

Великому математику, петербургскому академику Эйлеру, принадлежат фундаментальные результаты почти во всех областях математического знания.

Н.И. Лобачевский / 1792-1856 / совершил настоящую революцию в геометрии, создав новую науку "Геометрию Лобачевского".

М.В. Остроградский / 1801-1861 / вывел важное соотношение в теории кратных интегралов.

Русский ученый П.Л. Чебышев / 1821-1894 / в связи со своими замечательными работами по теории механизмов создал новый раздел математики "Теория наилучшего приближения функции". Он является основателем одной из наиболее сильнейших математических школ в мире – Петербургской математической школы, блестящими представителями которой были А.А. Марков, В.А. Стеклов, А.Н. Крылов и другие.

С.В. Ковалевская / 1850 – 1891 / работала в области дифференциальных уравнений и теоретической механики и получила там первоклассные результаты

В XX веке продолжается бурный процесс математизации других наук. Математические методы с успехом используются не только в механике, физике, астрономии, но и в биологии, экономике, военном деле, медицине, лингвистике и других областях.

Последние десятилетия ознаменовались бурным развитием средств и методов вычислительной математики. Математическое моделирование и прогнозирование позволяет рассчитать такие процессы, которые даже недоступны к постановке опыта (проблема термоядерного управляемого синтеза, физики плазмы, лазеров и другие задачи).

Отметим, что в настоящее время достижения русских математиков находятся на уровне передовой математической мысли.

Остановимся на роли математики в военном деле. В настоящее время математические методы широко применяются во всех общенаучных и инженерных дисциплинах, необходимых при подготовке военного специалиста. Методы математического анализа и теории вероятностей используются в тактике, теории стрельбы и боеприпасов, теории эффективности боевых действий и др.

В военной науке широкое распространение получило математическое моделирование, позволяющее с помощью ЭВМ моделировать и изучать многие технические, экологические процессы, а также разрабатывать и прогнозировать военные операции.


2-oй учебный вопрос

ПОСТРОЕНИЕ КУРСА МАТЕМАТИКИ В УЧИЛИЩЕ

Курс высшей математики имеет объем 300 учебных часов. И изучается в течение четырех семестров. Содержание курса увязано с потребностями общенаучных, общеинженерных, военных дисциплин, изучаемых курсантами в училище, ориентировано на использование вычислительных средств.

В первом семестре изучаются элементы аналитической геометрии, а так же разделы математического анализа: теория пределов, дифференциальное исчисление функции одной переменой.

Во втором семестре основными являются следующие разделы математического анализа: исследование функции с помощью производной, интегральное исчисление, функции нескольких переменных.

В третьем семестре изучаются дифференциальные уравнения и теория вероятностей.

В четвертом семестре изучаются элементы математической статистики, ряды, а также некоторые прикладные вопросы.

По высшей математике проводятся следующие виды занятий: лекции, практические занятия, лабораторные работы.

На лекциях преподаватель излагает теоретические вопросы и общие методы решения задач. Конспекты лекций рекомендуется вести в отдельных тетрадях, которые преподаватель может брать для просмотра.

На практических занятиях (для взвода) производится опрос теории и производится решение практических задач под руководством преподавателя. Для практических занятий необходимо иметь отдельную тетрадь. На практических занятиях по каждой теме проводятся небольшие письменные самостоятельные работы – "летучки" с выставлением оценок. По важным темам в качестве контроля проводятся двухчасовые контрольные работы. В I, II и III семестрах предусмотрено по две контрольные работы, в IV семестре одна

В каждом семестре проводится несколько лабораторных работ с использованием микрокалькуляторов. Всего за период обучения 14 лабораторных работ. Для лабораторных работ необходима отдельная тетрадь. На лабораторных работах отрабатываются практические вычислительные методы по различным темам. В конце каждой работы курсанты оформляют отчет, защищают его и получают оценку. В четвертом семестре предусмотрена курсовая работа, включающая в себя решение системы практических задач.

Важную роль при изучении курса математики играет самостоятельная работа курсантов. К каждому практическому и лабораторному занятию курсанты должны выполнить данное им задание на самоподготовку, включающее теоретические вопросы и практические задания. Дополнительно рекомендуется после каждой лекции изучать ее конспект, а также рекомендуемую литературу.

В качестве итоговых форм контроля по высшей математике проводятся зачеты и экзамены. В I и III семестрах предусмотрен экзамен, во II и IV семестрах – зачет.


3-ий учебный вопрос

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ И ИХ СВЯЗЬ СПРЯМОУГОЛЬНЫМИ

Прямоугольная система координат на плоскости вводится следующим образом. Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси 0х и 0у, имеющие общее начало точку 0 и общую единицу масштаба.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.Плоскость, в которой расположены оси 0хи 0у, называется координатной плоскостью и обозначается 0ху.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Горизонтальную ось 0хназывают осью абсцисс, вертикальную ось0у – осью ординат, общее начало осей, точку 0 называют началом координат.

Оси 0х и 0у образуют прямоугольную (декартовую) систему координат на плоскости.

Возьмем на координатной плоскости 0ху произвольную точку М. Опустим из нее перпендикуляры на оси координат. На осях получим точки М1 и М2 – проекции точки М соответственно на ось 0х и 0у (см. рис. 1).

Рис. 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Координата х точки М1 на оси 0х называется абсциссой точки М, координата у точки М2 на оси 0у называется ординатой точки М.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Упорядоченная пара чисел (х; у), где хабсциссаточки М, у – ордината точки М, называются п р я м о у г о л ь н ы м и (или декартовыми прямоугольными) координатами точки М. Записывается так:М (х; у).

Отметим, что оси 0х и 0у делят координатную плоскость на четыре части, называемыми четвертями или квадрантами. (См. рис. 2)

Рис. 2

Ясно, что каждой точке на плоскости соответствует единственная упорядоченная пара чисел х и у – ее прямоугольные координаты. Обратно, каждая упорядоченная пара чисел х и у определяет единственную точку на плоскости.

Когда говорят " дана точка " или " найти точку ", то это означает, что заданы или требуется найти координаты этой точки.

Способ определения положения точки с помощью чисел называется методом координат.

Создателем координатного метода был французский математик Декарт, который прилагал этот метод ко многим геометрическим задачам и создал математическую дисциплину – аналитическую геометрию.

Рассмотрим две важные задачи аналитической геометрии на плоскости, которые решаются методом координат.

Задача 1. Расстояние между двумя точками на плоскости.

На плоскости даны две точки М1 (х1; у1) и М2 (х2; у2) . Найдем расстояние между ними d. Выполним чертеж, расположив для простоты точки в первой четверти.

Рис. 3

Через точки М1 и М2 проведем отрезки М1kçç 0х; М2kçç 0y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник D М1 М2 k. Его катеты М1k = х2х1; М2k = у2у1.

По теореме Пифагора: .

Получим формулу (1)

ЗАДАЧА 2. Координаты середины отрезка.

Известны координаты концов отрезка М1 М2 -М1 ( х1; у1) и М2 ( х2; у2) . Найдем координаты точки М , являющейся серединой отрезка.

Выполним чертеж, расположив точки в первой четверти.

Рис. 4

Обозначим искомые координаты точки М ( х ; у). М – середина отрезка М1 М2, т.е.М1М = ММ2 . Спроектируем точки М1, М2 и М на ось 0х, получим там точки р1, р2, р. Из геометрии известно, что р1р = рр2 . Выразим эти отрезки через координаты:

р1р = х – х1; рр2 = х2х

Получим: х – х1 = х2х

Выразим х: 2х = х2 + х1Þ.

Проектируя точки на ось 0у аналогично получим: .

Формулы (2)

позволяют находить координаты середины отрезка.

ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ.

Кроме прямоугольных декартовых координат на плоскости существуют другие системы координат, позволяющие определить положение каждой точки плоскости с помощью двух действительных чисел. Наиболее употребительной после декартовой системы координат является полярная система координат.

Возьмем на плоскости точку 0, которую назовем полюсом. Проведем из полюса луч 0р, называемый полярной осью.

Полюс и полярная ось образуют полярную систему координат на плоскости. (См. рис. 5)

Пусть М – произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом. Соединим эту точку М с полюсом 0 отрезком 0М.

Рис. 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Расстояние r от точки М до полюса называют полярным радиусом точки М. Угол j между полярной осью и отрезком ОМ называют полярным углом точки М.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Полярный радиус и полярный угол называют полярными координатами точки М.

Будем записывать М (r; j).

Полярный радиус принимает значения r³0 (r = 0 для полюса!).

Полярный угол jотсчитывается от полярной оси к отрезку0М против часовой стрелки. Значения полярного угла достаточно рассматривать из промежутка 0 £j< 2p.

ЗАМЕЧАНИЕ. В некоторых вопросах приходится рассматривать углы, большие 2p, а также отрицательные углы, т.е. углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ И ПОЛЯРНЫМИ КООРДИНАТАМИ

Иногда приходится одновременно пользоваться прямоугольными и полярными координатами на плоскости. Рассмотрим переход от полярных координат к прямоугольным и обратно.

Формулы (2) выражают полярные координаты точки через ее прямоугольные.

Заметим, что значению тангенса, найденному по формуле в промежутке 0 £j< 2p соответствуют два значения угла j. Выбирается то значение j, которое соответствует положению точки М на координатной плоскости.

ПРИМЕР 1. Зная декартовы координаты точки М (; у = 1) , найти ее полярные координаты.

Решение. По формулам (2) получим:

.

Этому значению тангенса соответствуют два значения угла . Т.к. точка лежит в I четверти берем .

Значит полярные координаты точки .

ПРИМЕР 2. Записать в полярных координатах уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а.

Решение. Уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а в декартовых координатах имеет вид: х2 + у2 = а2.

Подставим вместо х , у их выражение через полярные координаты по формулам (1) . Получим (r cos j )2 +(r sin j )2 = a2.

r2 (cos2j +sin2j ) = a2 Þ r2 = a2Þ r = a.

Получим r = а – полярное уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а.

Предположим, что полюс полярной системы координат совпадает с началом прямоугольной системы координат 0ху, а полярная ось совпадает с положительной полуосью 0х.


Рис. 6

1. Переход от полярных координат к прямоугольным.

Пусть известны полярные координаты произвольной точки М (r; j). х = 0K , y = MK - прямоугольные координаты точки М. Из чертежа на рис.6 из прямоугольного треугольника ОМК получим:

(3)

Формулы (3) выражают прямоугольные координаты точки через ее полярные координаты.

2. Переход от прямоугольных координат к полярным.

Из прямоугольного треугольника ОАМ получаем по теореме Пифагора:

Из того же треугольника имеем:

(4)

Отметим, что полярные координаты, наряду с прямоугольными, широко используется в топографии для определения положения объектов на местности.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На лекции рассмотрен предмет математики, некоторые исторические сведения. Новым вопросом является понятие полярных координат, которые находят широкое применение на практике. Характерно, что прямоугольные и полярные координаты часто используют одновременно, поэтому важно усвоить связь между ними. Курсантам рекомендуется при изучении материала лекции подготовить ответы на предлагаемые далее вопросы.

доцент Смирнова А.И.

"____" __________ 2004 г.


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Математика
История
Экономика
icon
150978
рейтинг
icon
3165
работ сдано
icon
1373
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
146343
рейтинг
icon
5957
работ сдано
icon
2692
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
102959
рейтинг
icon
2078
работ сдано
icon
1298
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
58 541 оценка star star star star star
среднее 4.9 из 5
ВШЭ
работа выполнена досрочно и качественно, благодарю Александра за сотрудничество
star star star star star
ТИУЭ
Заказываю у данного исполнителя не первый раз, все как всегда быстро, четко, профессиональ...
star star star star star
НГТУ им. Р. Е. Алексеева
Работа по культурологии была выполнена быстро (Досрочно), и качественно, без замечаний.
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Стратегический.,инновационный менеджмент

Курсовая, Менеджмент

Срок сдачи к 13 февр.

только что

Создание компьютерной программы для решения задачи симплекс-метода...

Курсовая, Программирование

Срок сдачи к 16 февр.

только что
1 минуту назад

Архитиктура зданий и сооружений_4 сем

Курсовая, Архитиктура зданий и сооружений_4 сем, строительство

Срок сдачи к 19 февр.

3 минуты назад

Перевести 10 заданий текста.

Контрольная, Английский язык

Срок сдачи к 22 февр.

3 минуты назад

Архитектура зданий и сооружений_3 сем

Курсовая, Архитектура зданий и сооружений_3 сем, строительство

Срок сдачи к 19 февр.

6 минут назад

5 кейс -задач.

Отчет по практике, Логистика

Срок сдачи к 10 мар.

6 минут назад

Повысить оригинальность

Диплом, Психология

Срок сдачи к 13 февр.

10 минут назад

Составить план переговоров

Другое, Психология

Срок сдачи к 16 февр.

11 минут назад

Контрольная работа в программе kodesys

Контрольная, Технология программирование мехатронных систем

Срок сдачи к 14 февр.

11 минут назад

Реши практическую работу

Решение задач, Введение в проф деятельность, строительство, электротехника

Срок сдачи к 14 февр.

11 минут назад

Решить 3 задачи

Решение задач, Основы кадастра недвижимости

Срок сдачи к 14 февр.

11 минут назад

3 неделя февраля.

Другое, Календарно-тематичнское планирование, менеджмент, педагогика

Срок сдачи к 13 февр.

11 минут назад
11 минут назад

Начертить чертежи по задачам в компасе. с возможностью распечатывания на А3

Чертеж, Начертательная геометрия

Срок сдачи к 28 февр.

11 минут назад

Производственная практика. Выполнение работ по профессии «кассир»

Отчет по практике, Экономика и бухгалтерский учет(по отраслям )

Срок сдачи к 13 февр.

11 минут назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно