Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Вы нашли то, что искали?

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

0%

Нет, пока не нашел

0%

Узнайте стоимость индивидуальной работы

это быстро и бесплатно

Получите скидку

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!


Решение нелинейных уравнений с одной переменной

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
1461
Размер файла
74 б
Поделиться

Ознакомительный фрагмент работы:

Решение нелинейных уравнений с одной переменной

Раздел 2. Численные методы

Тема 1. Решение нелинейных уравнений с одной переменной

1.1. Постановка задачи

При решении ряда задач физики, механики и техники возникает необходимость решения уравнений с одной переменной. В общем случае нелинейное уравнение можно записать в виде: F(x)=0, где функция F(x) определена и непрерывна на промежутке {a, b}. Корнем уравнения F(x)=0, является такое число c из области определения функции y=F(x), для которого справедливо равенство F(c)=0.

Поскольку подавляющее большинство нелинейных уравнений не решается путем аналитических преобразований (точными методами), на практике их решают численными методами. Решить такое уравнение численными методами значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти все его корни с заданной точностью.

Задача численного решения уравнений состоит из двух этапов:

1. Отделение корней, т. е. нахождение достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которых содержится единственный корень.

2. Уточнение корней, т. е. вычисление корней с заданной степенью точности в некоторой окрестности.

1.2. Отделение корней

Во многих случаях отделение корней можно произвести графически. Для этого необходимо построить график функции y=F(x) и найти достаточно малые отрезки, содержащие по одной точке пересечения графика с осью ОХ. Иногда построение значительно упрощается, если функцию y=F(x) представить в виде f1(x)=f2(x) и найти отрезки оси ОХ, содержащие координаты х точек пересечения.

Отделение корней можно также произвести с помощью соответствующей компьютерной программы.

Пусть имеется уравнение F(x)=0, причем все интересующие вычислителя корни находятся на отрезке [A, B], на котором функция определена и непрерывна. Требуется отделить корни уравнения, т.е. найти отрезки [a, b] [A, B], содержащие по одному корню. Очевидно, что если на отрезке [a, b] функция меняет знак, то на этом отрезке находится, по крайней мере, один корень уравнения F(x)=0. Если длина отрезка [a, b] очень мала и F(a)*F(b)<0, то можно считать, что на этом отрезке находится один корень.

Таким образом, вычисляя значения F(x), начиная с точки x=a, двигаясь вправо с некоторым шагом h, и проверяя условие F(х)*F(x+h)<0 можно отделить все корни [A, B].

1.3. Уточнение корней методом половинного деления

Пусть на отрезке [a, b] имеется единственный корень.

Разделим [a, b] пополам точкой с. Если F(c)=0, то x=c - корень уравнения F(x)=0 на [a, b]. Наиболее вероятно, что F(c)≠0. Тогда возможны 2 случая:

1. F(a)*F(с)<0 2. F(a)*F(с)>0

Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

Данный метод позволяет находить корни уравнения с заданной точностью е. Действительно, если на каком-то этапе процесса деления получен отрезок [a', b'], содержащий корень, то приняв x≈(a'+b')/2, мы найдем корень с точностью е(b'-a')/2.

1.4. Уточнение корней методом итерации

Заменим уравнение F(x)=0 равносильным уравнением x=f(x). Пусть x* - искомый корень уравнения, а x0 – полученное каким-либо способом грубо приближенное значение корня. Подставим x0 в правую часть уравнения x=f(x), получим x1=f(x0). Продолжая процесс подстановки, получим последовательность чисел: x2=f(x1), x3=f(x2),…, xn=f(xn-1). Такая последовательность называется последовательностью приближений или итерационной последовательностью.

Достаточное условие сходимости итерационного процесса

Пусть на отрезке [a, b] уравнение x=f(x) имеет единственный корень и выполняются условия:

1. Функция y=F(x) определена и дифференцируема на [a, b];

2. [a, b] для всех х из [a, b];

3. Существует такое действительное число q, что , для всех х из [a, b];

Тогда итерационная последовательность xn=f(xn-1) сходится при любом начальном значении x0 [a, b].

Это условие не является необходимым, т.е. итерационная последовательность может сходиться и в том случае, если условия теоремы не выполняются.

Оценка погрешности метода итерации

Пусть , тогда или . Это значит, что процесс итерации надо продолжать до тех пор, пока модуль разности двух соседних приближений не станет меньше .

1.5. Уточнение корней методом хорд

Пусть уравнение F(x)=0 имеет единственный корень на отрезке [a, b]. Если отрезок [a, b] достаточно мал, то можно считать, что функция y=F(x) монотонна на этом отрезке и не меняет направление выпуклости. Значит на отрезке [a, b] нет точек максимума и минимума, т.е. . Т.к. направление выпуклости не меняется то и . Получаем четыре вида графиков, которые объединяются в два типа.

I. тип. Условие: , где x- любая точка [a, b].


B

II. тип. Условие: , где x- любая точка [a, b].


Пусть x* - искомый корень уравнения F(x)=0. Заменим кривую графика на хорду АВ. Уравнение прямой, проходящей через точки А (а, F(а)) и В(b, F(b)) имеет вид: , где (x, y) – любая точка прямой АВ. В качестве этой точки возмем точку пересечения хорды с осью ОХ, т.е.


(x1, 0). Получим или .

Рассмотрим случай, когда кривая графика функции y=F(x) относится к I типу. Через точки А1 и В проводим следующую хорду. Она пересекает ось ОХ в точке х2. Аналогично получаем

,

…………………………………

(1)

Полученная таким образом формула (1) называется формулой метода хорд для кривых I-го типа.

Очевидно, что последовательность значений х1, х2, х3, …,хn стремится к корню уравнения х*, а значит этот корень можно найти с заданной точностью.

В рассмотренном выше случае для кривых I-го типа, правым концом всех проведенных хорд была точка В. Если, кривая относится ко II-му типу, то неизменным концом хорд будет точка А. Значит в формуле (1) b поменяется на а. Формула будет иметь вид:

(2)

Если на n-ом шаге, то считается, что необходимая точность е достигнута.

1.6. Уточнение корней методом касательных

При уточнении корней методом касательных все функции делятся на два типа, как и в методе хорд. Рассмотрим кривую I-го типа.

Проведем касательную к графику функции в точке В. Она пересечет ось ОХ в точке х1. Через эту точку проведем прямую перпендикулярную оси ОХ до пересечения с графиком функции. Получим точку А1. Через неё опять проведем касательную. Получим точку х2. Продолжая этот процесс, получим последовательность х1, х2, х3, …,хn, сходящуюся к х*.

Уравнение касательной к графику функции F(x)=0 в точке х=b имеет вид . Т.к. эта касательная пересекает ось ОХ в точке (х1, 0), то . Значит

Если, кривая относится ко II-му типу, то первую касательную к графику функции надо проводить в точке А и

Дальнейший расчет значений х2, х3, …,хn не зависит от типа кривой и в обоих случаях вычисляется по формуле

Если на n-ом шаге, то считается, что необходимая точность е достигнута.

1.7. Уточнение корней комбинированным методом хорд и касательных

Методы хорд и касательных дают приближение корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом. В этом случае процесс уточнения корня идет быстрее.

Метод реализуется по следующей схеме:

1. По методу хорд находят первое приближение корня .

2. По методу касательных находят . Если кривая относится к I-му типу, то . Если ко II-му типу, то .

3. По методу хорд .

4. По методу касательных .

Шаги 3 и 4 повторяются до тех пор, пока . Как только можно считать корень найденным .

Лабораторная работа №1. Решение нелинейных уравнений с одной переменной.

1. Сделать программу отделения корней уравнения F(x)=0 на [a, b] с шагом 0,5.

2. Сделать программы уточнения корней уравнения F(x)=0 на одном из отрезков, полученных в первой программе с точностью 0,001.

a) Методом половинного деления;

a) Методом итерации;

b) Методом хорд;

c) Методом касательных;

d) Комбинированным методом хорд и касательных.

Номер варианта

Функция F(x)=0

Отрезок [a, b]

1.

cos(x)-x3=0

[-3, 2]

2.

x-10sin(x)=0

[2, 7]

3.

4x4-6,2-cos(2x)=0

[-3, 2]

4.

=0

[0, 5]

5.

xsin(x)-1=0

[-2,3]

6.

8cos(x)-x-6=0

[-5, 1]

7.

sin(x)-0,2x=0

[-2, 3]

8.

10cos(x)-0,1x2=0

[-2, 3]

9.

[-10, -5]

10.

3sin(2x)-2x3=0

[-2, 3]

11.

3sin(8x)-7x=0

[-1,1]

12.

(x+5)2+6x+x4-13=0

[0, 5]

Тест. Найти все корни уравнения x4-x3-2x2+3x-3=0 на .

На этапе отделения корней с шагом h=1 получаем отрезки , Корни уравнения с точностью е=0,01 : -1,73… и 1,73…

Контрольные вопросы

1. В чем заключается этап отделения корней при использовании численных методов решения уравнений? Какое условие должно выполняться, чтобы можно было считать что на достаточно малом отрезке находится один корень? Что является исходными данными и что необходимо найти в программе Отделения корней?

2. В чем заключается этап уточнения корней методом половинного деления? Каким образом в этом методе реализуется выбор той половины отрезка, на которой находится корень? При каком условии деление отрезков прекращается и выводится результат?

3. Почему функции делятся на два типа при уточнении корней методом хорд? По какому условию осуществляется это деление? Дайте графическую иллюстрацию этого метода. Что служит критерием для прекращения вычислений в данном методе?

4. Почему функции делятся на два типа при уточнении корней методом касательных? По какому условию осуществляется это деление? Дайте графическую иллюстрацию этого метода. Что служит критерием для прекращения вычислений в данном методе?

5. В чем заключается этап уточнения корней комбинированным методом? Дайте графическую иллюстрацию этого метода. Что служит критерием для прекращения вычислений в данном методе?

6. В чем суть метода итерации? Каковы достаточные условия сходимости итерационной последовательности для уравнения x=f(x) на отрезке [a; b], содержащем один корень? Что служит критерием для прекращения вычислений в данном методе?


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Математика
История
Экономика
icon
151163
рейтинг
icon
3167
работ сдано
icon
1373
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
146492
рейтинг
icon
5960
работ сдано
icon
2693
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
103219
рейтинг
icon
2082
работ сдано
icon
1299
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
58 601 оценка star star star star star
среднее 4.9 из 5
НГТУ им. Алексеева
Большое спасибо за работу. Реферат приняли с первого раза, без единого замечания!
star star star star star
СамГУПС
Работа выполнена быстро, принята преподавателем без замечаний. спасибо!
star star star star star
ВлГУ
Спасибо большое Анне! Реферат выполнила досрочно, грамотно, приятная девушка.
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Надо доделать практику, Сделать 1.протокол психодиагностических...

Отчет по практике, Психология педагогика

Срок сдачи к 17 февр.

только что

Написание курсовой работы

Курсовая, Бухгалтерский учет

Срок сдачи к 2 мар.

1 минуту назад

Диплом на тему "Применение доктрины «снятие корпоративной вуали»"

Диплом, Гражданское и торговое право зарубежных стран

Срок сдачи к 30 мар.

2 минуты назад

Лабораторная работа

Лабораторная, энергетика

Срок сдачи к 16 февр.

5 минут назад

Подбор насоса для судовой системы

Контрольная, Эксплуатация судовых вспомогательных механизмов

Срок сдачи к 17 февр.

5 минут назад

Введение 1 глава 1 исследование теоретических основ банковских...

Диплом, Банковское дело

Срок сдачи к 16 февр.

5 минут назад

Написать только 2 часть диплома.

Диплом, Педагогика

Срок сдачи к 28 февр.

5 минут назад

Тема: Организация самостоятельных занятий по физической культуре

Контрольная, физическая культура

Срок сдачи к 28 февр.

6 минут назад

сделать один вариант

Контрольная, фольклор

Срок сдачи к 22 февр.

6 минут назад

Весенний пал травы. Разноуровневые решения.

Реферат, Защита ЧС

Срок сдачи к 5 мар.

8 минут назад

Написать аналитическую справку

Другое, Экономическая безопасность государственных закупок

Срок сдачи к 16 февр.

9 минут назад

решить 4 задания

Другое, Русский язык

Срок сдачи к 15 февр.

9 минут назад

Объяснить решение

Шпаргалка, Гидрогазодинамика

Срок сдачи к 16 февр.

9 минут назад

Практическое задание

Другое, Анализ данных

Срок сдачи к 16 февр.

9 минут назад

Курсовая на тему «экономика организации» по организации мурманэнергосбыт

Курсовая, Экономика организации

Срок сдачи к 3 мар.

10 минут назад

решить задачи по данным

Решение задач, Транспортная логистика

Срок сдачи к 16 февр.

10 минут назад
10 минут назад

Активы предприятия. Анализ их структуры и динамики

Курсовая, Сущность и необходимость АХД(анализ хоз.деятельности)

Срок сдачи к 21 февр.

11 минут назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно