Определитель матрицы

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Определитель матрицы

1. Понятие определителя

Матрица - это прямоугольная таблица, составленная из чисел. Особое место среди матриц занимают квадратные матрицы. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу порядка или просто :

.

Оказывается, что с такой матрицей всегда можно связать вполне определенную числовую характеристику.

Определение 1. Численная характеристика квадратной матрицы называется ее определителем.

Рассмотрим матрицу первого порядка .

Определение 2. Численной характеристикой матрицы первого порядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента .

Обозначается определитель одним из символов .

Определение 3. Определителем второго порядка, соответствующим матрице второго порядка, называется число, равное .

Обозначается определитель одним из символов

.

Очевидно, что для составления определителя второго порядка, необходимо найти разность произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали этой матрицы.

Поскольку одна из форм обозначения определителя и обозначения матрицы имеют много общего (записывается таблица из чисел), то так же, как и у матрицы, говорят о столбцах, строках и элементах определителя.

После того как рассмотрены определители 1-го и 2-го порядков, можно перейти к понятию определителя любого порядка. Но перед этим введем понятие минора.

Определение 4. Минором любого элемента квадратной матрицы порядка называется определитель порядка , соответствующий той матрице, которая получается из первоначальной матрицы в результате вычеркивания -ой строки и -го столбца, на пересечении которых стоит элемент .

Обычно минор элемента обозначается .

Определение 5. Определителем порядка , соответствующим матрице порядка , называется число, равное

.

Обозначается определитель одним из символов

.

Приведенное выражение представляет собой правило вычисления определителя -го порядка по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по минорам элементов этой строки, которые являются определителями порядка . Для это правило дает:

.

В приведенном правиле вычисления определителя фигурирует лишь первая строка. Возникает вопрос, а нельзя ли вычислить определитель, используя элементы других строк?

Теорема 1. Каков бы ни был номер строки (), для определителя -го порядка справедлива формула

,

называемая разложением этого определителя по -ой строке.

Нетрудно заметить, что в этой формулировке степень при (-1) равна сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент .

Докажем сначала эту теорему для . В этом случае может быть равно только 2, так как входит в основное определение величины определителя. Итак:

.

Полученное выражение совпадает с тем, которое было дано в определении, следовательно, для определителя 2-го порядка теорема доказана.

Для произвольного данная теорема доказывается методом математической индукции.

Итак, показано, что определитель может быть разложен по любой строке. Возникает вопрос, а нельзя ли сделать то же самое, использовав произвольный столбец.

Теорема 2. Каков бы ни был номер столбца (), для определителя -го порядка справедлива формула

,

называемая разложением этого определителя по -му столбцу.

Докажем теорему для :

.

Данное выражение равно величине определителя, введенной по определению.

Итак, на основании теорем можно сказать, что для вычисления определителя -го порядка необходимо его разложить по произвольной строке или столбцу.

2. Свойства определителей

Рассмотрим ряд свойств, которыми обладают определители.

1. Равноправность строк и столбцов.

Определение 1. Транспонированием определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования.

Определитель, полученный в результате транспонирования, называется транспонированным по отношению к исходному и обозначается .

Свойство 1. При транспонировании величина определителя сохраняется, то есть .

Доказательство этого свойства вытекает из того, что разложение определителя по первой строке тождественно совпадает с разложением по первому столбцу. Данное свойство указывает на равноправность строк и столбцов, поэтому все дальнейшие свойства можно рассматривать лишь для строк.

2. Антисимметрия при перестановке двух строк.

Свойство При перестановке местами двух строк определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

Докажем для определителя второго порядка. Действительно,

; .

Для определителя -го порядка докажем это свойство по индукции. Пусть свойство справедливо для определителя -го порядка. Разложим определитель -го порядка по любой строке, отличной от переставленных. Тогда переставленные строки входят во все миноры, на которые умножаются элементы , но эти миноры являются определителями -го порядка и меняют свой знак при перестановке строк. Следовательно, и определитель -го порядка также меняет свой знак.

3. Линейное свойство определителя.

Определение Некоторая строка () является линейной комбинацией строк () и () с коэффициентами и , если .

Пользуясь этим определением, перейдем к самому свойству.

Свойство 3. Если в определителе -го порядка некоторая строка () является линейной комбинацией двух строк () и () с коэффициентами и , то , где - определитель, у которого -ая строка равна (), а все остальные - те же, что и у , а - определитель, у которого -ая строка равна (), а все остальные - те же, что и у .

Для доказательства разложим каждый из определителей по -ой строке. Очевидно, что у всех разложений миноры соответствующих элементов будут одинаковы. Вычислим :

Итак, свойство доказано. Очевидно, оно справедливо и для столбцов.

Приведенные три свойства называются основными. Остальные являются их следствиями.

Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки или столбца определителя на число равносильно умножению определителя на число .

Для доказательства положим в свойстве 3 , тогда получим . Значит, общий множитель всех элементов некоторого ряда можно выносить за определитель.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки или столбца определителя равны 0, то и сам определитель равен 0.

Для доказательства разложим определитель по нулевому ряду.

Свойство 6. Определитель с двумя равными строками или столбцами равен 0.

Действительно, переставив местами равные строки или столбцы, получим тот же определитель, но по свойству 2 его знак изменится на противоположный. Итак, с одной стороны , а с другой . Следовательно, .

Свойство 7. Если соответствующие элементы двух строк или столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Действительно, согласно свойству 4 общий множитель можно выносить за определитель, и мы получим определитель с двумя равными строками, который по свойству 6 равен нулю.

Свойство 8. Если к элементам некоторой строки или столбца определителя прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

Доказательство. Рассмотрим определитель . Прибавим к элементам второй строки элементы первой с коэффициентом :

.

Тогда, по свойству 3 получим:

.

После перечисления всех свойств определителей введем еще одно определение.

Определение 3. Алгебраическим дополнением данного элемента определителя -го порядка называется число, равное , которое обозначается .

Значит, алгебраическое дополнение отличается от соответствующего минора только лишь знаком. Теперь величину определителя можно вычислить с помощью формул:

.

Пользуясь свойствами, любой определитель можно вычислить не на основании основного правила, а предварительно упростив его (приводя, например, к треугольному виду).

Литература

1. Артамонов Вячеслав Введение в высшую алгебру и аналитическую геометрию. Изд-во: Факториал, Факториал Пресс, 2007. - 128с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Том 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е издание. Издательство: ДРОФА, 2006. - 284с.

3. Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Индивидуальные задания по высшей математике. В 4 частях. Часть 1. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Минск: Высшая школа, 2007.

4. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.

5. Шипачев В.С. Высшая математика изд.7 Изд-во: ВЫСШАЯ ШКОЛА, 2005. - 479с.