Теория вероятностей

1. Независимо друг от друга 10 чел. Садятся в поезд, содержащий 15 вагонов.

Вероятность того, что все они поедут в разных вагонах?

Р= число близких иходов = 15….14…….- 6 = 15 !-2

Число элемент. исходов 15*15*15…155 ! » 1,88 * 1е

10 раз 50

15 _____________________________________

2. В электрической цепи последовательно включены 3 элемента, работающие

независимо друг от друга. Их вер-ть отказов равны 1 49 1 .

Найти вероятность того, что тока не будет? 50 ; 50 ; 4

-- €- -

А –ток есть

Аi – i-й прибор не исправен

Р (А1) = 49 Р (А2)= 1 Р ( А3) = 3

50 ; 50 ; 4

_

Р (А)=1-Р(А) = 1-Р (А1 А2 А3 ) = 1-Р (А1) Р (А2)* Р (А3) = 1- 49 * 1- 3 = 9,753

50 50 4 10,000

____________________________________________________________________________________________

3. Вер-ть попадания хотя бы раз в мишень при 12-ти выстрелах равно 41 .

Найдите вер-ть попадания при одном выстреле? 50

Аi – успешный i – выстрел

_________

Р = 41 = 1-Р ( А1 …..А12) – не попали ни в одном случае из 12-и выстрелов =

50

__ __ _ 12 12

= 1 – Р (А1) …..Р (А12) = 1 – Р (А1) ;41 = 1-Р (А1)

50

Найти Р (А1)

_ 12

Р (А1) = 1- 41 = 9

50 50

_ 12__

Р (А1) = Ö9

50

_ 12__

Р (А1) = 1-Р (А1) = 1 - Ö9» 0,133

50 ___________________________________________

4. Имеются 28 билетов, на каждом из которых написано условие нескольких

задач. В 13 билетах задачи по статистике, а в остальных 15 – задачи по теории

вероятности. 3 студента выбирают на удачу по одному билету. Найти вероятность

того, что хотя бы одному из студентов не достанется задача по теории вероятности.

Аi –студенту достанется задача по теории вероятности

А – всем достанется задача по теор. вероят.

А = А1 А2 А3

А – хотя бы одному не достанется задача по теор.вероят.

_

Р (А) = 1 – Р(А) = 1- Р (А1 А2 А3) = 1 – Р *(А3) * Р (А1 А2) = 1-Р *(А3) * Р *

А1А2А1А2 А1

*(А2)*Р (А1)= 1 – 15 * 14 * 13 = 0,265

28 27 26

5. В ящике содержится 6 деталей, изготовленных на 1-м заводе, 2 детали на 2-м заводе

и 4 детали на 3-м заводе. Вероятность брака на заводах равна 19 , 19 и 59

20 50 100

Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь будет качественная.

Н1 – деталь с 1-го завода

Н2 - деталь со 2-го завода

Н3 - деталь с 3-го завода.

Р(Н1) = 6 = 1; Р(Н2) = 2 = 1; Р(Н3) = 4 = 1

12 2 12 6 12 3

А - извлеченная деталь качественная

_ _ _ _

Р (А) = Р *(А) * Р (Н1) + Р *(А) * Р (Н2) + Р *(А)*Р (Н3) =19 * 1 + 19 * 1 + 59 *1=147=>

Н1 _ Н2Н3 20 2 50 6 100 3 200

Р (А) = 1 – Р (А) = 53/200

__________________________________________________________________________________________

6. Независимые вероятные величины Х,У представляют только целые значения

Х: от 1 до 16 с вер-ю 1

16

У: от 1 до 23 с вер-ю 1

23

Р ( Х+У = 32)

Х У Р (Х=9; Х =23) = P (Х=9) * Р (У = 23) = 1 * 1

9 23 16 23

10 22

P ( X+y=32 )=P ( X=8, y=23 ) + P ( X=10; y=12 )+…+P ( y=16,X=16 )=

16 16 = 8* 1 * 1 = 1

16 23 46

_________________________________________________________________________________________

7. Независимые случайные величины Х , У принимает только целые значения.

Х: от 1 до 14 с вероятностью 1

14

У: от1 до 7 с вероятностью 1

7

Найти вероятность того, что Р (Х £ У)

Если У = 7, то 1 £ Х £ 6 1 * 6

7 14

Если У = 6 то 1£ Х £ 5 1 * 5

7 14

Если У = 5 то 1£ Х £ 4 1 * 4

7 14

Если У = 4 то 1£ Х £ 3 1 * 3

7 14

Если У = 3 то 1£ Х £ 2 1 * 2

7 14

Если У = 2 то 1 = Х 1 * 1

7 14

Р (Х<У) = 1 * 6 + 1 * 5 + 1 * 1 = 1+2+3+4+5+6 = 21 = 3

7 14 7 14 7 4 7 * 14 714 14

_________________________________________________________________________________________

8. Независимые величины Х1……Х7 принимают только целые значения от

0 до 10 с вероятностью 1

11

Найти вероятность того , что Р(Х1…….Х7) = 0

Р (Х1……Х7 =0) = 1-Р (Х1….Х7¹ 0) = 1- Р( Х1¹0….Х7¹ )=1-Р( Х1¹0 )*Р (Х2¹0)

7

*….* Р(Х7¹0) = 1 – 10 * 10 = 1 - 10

11……. 11 11

7 раз

9. Независимые случайные величины Х, У, Z принимают целые значения

Х: от 1 до 13 с вероятн-ю 1

13

У: от 1 до 12 _____/_____ 1

12

Z от 1 до 9 _____/_____ 1

9

Вероятность того, что Х;У;Z. примут разные значения?

Пусть “Z” приняло какое-то значение “а”. Р (У¹а) = 11

12

Пусть при этом У= в

Р (Z ¹ a; Z ¹в) = 11 ; Р = 11 * 11

13 12 13.

_______________________________________________________________________________________

10.

м = М (Х) - ? М (Х) = 0,1+1,6+3,5 = 5,2

Р ( Х < м) - ? Р ( Х < 5,2) = Р(Х=1) + Р(Х=4) = 0,5

___________________________________________________________________________________________

11.

Д (Х) - ?

М(Х) = 0,4+0,9+2,5=3,8

2

М (Х ) = 0,8+2,7+12,5 = 16

2 2 2

Д (Х) = М (Х ) – М (Х) = 16 - 3,8 = 1,56

______________________________________________________________________________________________________________

12. Независимые величины Х1,…….,Х9 принимают целое значение – 8, - 7,…..,5,6

с вероятностью 1

159

Найти М (Х1,Х2,…..,Х9) * М (Х2,….,Х9) = М (Х1) * М(Х2)*….* М(Х9) =М (Х9)

М (Х1) = -8 * 1 – 7 * 1 * 6 * 1 - … + 5 * 1 + 6 * 1 = 1(-8-7-5….+5+6) = -1

15 15 15 15 15 15

9 9

= М (Х1) = ( -1) = -1

13.

м= М (Х)-? М (Х) = 2 + 2 + 1,2 + 2,8 + 4 = 12

д(Х) -? 2 2

Р ( (Х-м) <d) Д (Х) = М (Х – М (Х) ) = М (Х-12)

2

М (Х-Р) = 8+1,6

_____

d (Х) = Öd (Х) » 3,1

Р ( Х –12 < 3,1 ) = Р (-3,1<Х –12 < 3,1) = Р (8,9<Х<15,1) =

= Р (Х=10) + Р (Х=12) + Р (Х=14) = 0,5

___________________________________________________________________________________________________________

14. Х, У – неизвестные случайные величины

М (Х) = 3 8 2 2 2 2 2

М (У) =2 ½ Д(ХУ) = М( ХУ ) – М (ХУ) = М (Х ) * М (У ) – [ М (Х)*М (Х)]=

Д(Х) = 4 ½2 2 2 2

Д(У) = 8 ½ Д (Х)=М(Х ) – М (Х) = М (Х ) = Д (Х) + М (Х) = 4 + 9 = 13

Д (Х У) 2 2

М (У ) = Д (Х) + М (У) = 8 + 4 = 12

2

= 12*13 – (2 * 3) = 156 – 36 = 120

__________________________________________________________________________

15. Х, У – независимые неизвестные величины. Принимают значение 0 и 1.

Р (Х=0) = 0,3 ½2 2 2 2 2

Р (У=0) = 0,6 ½ М(Х+У) + М (Х + 2ху +у ) = М (Х ) +2М (Х) * М (У) + М (У ) =

2

М (Х+У)

2

М (Х) = 0,7 = М (Х )

2

М (У) = 0,4 = М ( У )

= 0,7 + 2 * 0,7 * 0,4 + 0,4 = 1,66

16. Х, У независимые неизвестные величины Принимают значение 0 и 1.

(задание как в 15).

х - у

М (3 ) - ?

х-у х -у х -у

М (3 ) = М (3 * 3 ) =М (3 ) * М (3 ) = 2,4 * 2 = 1,6

3

Х -у

М (3 ) = 0,3 + 2,1 = 2,4 М (3 ) = 0,5 + 0,5 = 4 * 0,5 = 1

3 3 3

_____________________________________________________________________________________________________________

17. Производится 10240 независимых испытаний, состоящих в том, что

подбрасываются 9 монет

Х – число испытаний, в которых выпало 3 герба

М (Х) -?

1-испт. - 9 монет

9 испытаний Р = 1

2

3 3 6 3 9

Р(Г = 3) = С9 * (1 ) * (1 ) = С9 * (1 )= 84 * 1 - 21 = …

2 2 2 512 128

n = 10240 испытаний

Р = 21 ; М (Х) = np = 21 * 10240 = 1680

128 128

18. В серии независимых испытаний (одно испытание за ед.времени)

вероятность наступления А равна 1

8.

Пусть Т-время ожидания наступления события А 14 раз. Найти М (Т)1 Д (Т).

Х1 – время ожидания до первого наступления А

Х2 – время ожидания от первого наступления А до 2-го

Т = Х1 + Х2 +Х3 + …..Х14

Хi Р = 1

8 7/8

М (Хi) = 1 = 8 ; d = 7 Д (Хi) = d = = 56

8 822

p 1/8

М (Т) = 14М * (Х1) 14 * 8 = 112

Д (Т) = Д(X1 ) = 14 * 56 = 784

19. Величины Х1 …..Х320 распределены по Биноминальному закону с параметрами

п =4, р = 3 Найти М (Х1 +Х2 + …+ Х320)=?

8

2 2 2

М (Х1 + …..+Х 320) = 320М (Х1 ) = Х1 – биноминальное

2 2 М (Х1) = пр = 3

= М(Х1 ) = Д(Х1) + М (Х1) = 2

2 Д (Х1 ) = nрq = 3 * 5 = 5

= 15 + 3= 15 + 9 = 51 2 8 16

16 2 16 4 16

= 320 * 51 = 1020

16

_____________________________________________________________________________________________________________________

20. Величины Х1 …..Х18 распределены по закону Пуассона с одинаковым

мат. ожиданиям равным 8.

2 2

Найти М (Х1 +…+ Х18 ) - ?

M (Х) = Д (Х) = l= 8

2 2 2 2

М (Х1 +…+ Х18 ) = 18 М (Х1 ) = 18 (Д (Х1) + М (Хi ) )=18(8 + 64)=18 * 72=1296

_________________________________________________________________________________________________________

21. Х – равномерно распределён на отр. [ - 8,2 ]

Р ( 1 )>5 = Р (0< Х <1 ) = > (0< Х <0,5) =

Х 5

1 – 5 >0 ; 1 – 5Х> 0; Х –1/5< 0 Û (0< Х <0,5)

Х Х Х

1 – 5Х> 0; Х – 1/5< 0

Х Х

[ х, в ]

0,Х>а 0; Х <а

f (Х)= 1 ; а < Х< в F (Х) = х – а ; а £ Х £ аÛ0< Х 1/5

в –о в –а

0,Х > в 1, Х >B

F (Х) = Х + 8= F (1/5) - F ( 0 ) =1/5 + 8 - 8 = 1

5 10 10 50

_______________________________________________________________________________________________________________________

22. Х – равномерно распределена наотр. [ -17; 10 ]

2 2

Р ( Х > 64) = 1- Р ( Х < 64) = 1 – 16

27

2

Р (Х < 64 ) = Р (-8 < Х <8) =

0; Х < -17

F(Х) =Х + 17 , -17 £ Х £ 10

27

1, Х > 10

= F (8) – F (-8) = 8 + 17 - -8 + 17 = 16

27 27 27

______________________________________________________________________________________________________________

23. Х – равномерно распределена наотр. [ -1; 1 ]

8/9 X [a,b] ; f (x)

М ( Х ) a 0; x <-1

M(x)= ∫ x f(x) dx f (x)= -1<x<1

b 0; x>1

a

M(y(x))=∫ y (x) f (x) dx

b

8/918/9 17/9 1

M(X ) = ∫ ½* X DX = ½ * X = 9/17

-1 17/9 -1

24. Х – равномерно распределена наотр. [ 0.1 ]

9/10 9/10

Д ( 19Х ) = 361 (Х )

9/10 9/10 2 2 9/10 9/4 2 9/10 9/10 * 2

Д (Х ) = М ((Х ) ) - М(Х ) = М (Х ) - М (Х ) Х

__________________________________________________________________________________________________________

25. Х – равномерно распределена наотр. [ 5; 8 ] * Д (24x+ 36) - ?

Д (24Х + 36) = Д (24Х) = 576 * Д (Х) = 576 * 3 = 432

2 4

Д (Х) = ( в – а )

12

2

Д (Х) = 8 – 5 = 9 = 3

12 12 4

_______________________________________________________________________________________________________________

26. Х1,……Х2 – Независимые и распределенные по показательному закону.

2

Найти М [ (Х1 + Х2 + …..+ Х10) ], если М (Хi ) = 4.

М (Х) = 1

l

Д (Х) = 1

2

l

M (Хi ) = > Д (Хi) = 16

2 2 2

М [ (Х1 +….+ Х10) ]=Д(Х1 +…+ Х10) + М (Х1 +….+ Х10) =10Д (Х1)+[ 10М (Х1) ]=

2

= 160 + ( 10 * 4) = 1760

_________________________________________________________________________________________________________________

2

М(Х) =1/l; Д(Х) = 1/l

27. Х –распределен по показательному признаку

2

Найти М [ (Х + 8) ] , если Д (Х) = 36М (Х)=6

2 2 2 2

М (Х + 8) = M(Х + 16х + 64) = М (Х ) + 16М (Х) + М (64) = Д (Х) + М (Х) +

+ 16 М(Х) + 64 =36 + 36 + 96 + 64 =232

____________________________________________________________________________________________________________

28. Х –показательное распределение; Х – показательный закон

0, Х < 0

F (Х) = -2х

1 – е , Х >0, Найти Ln (1 – Р ( Х < 6) ) = Ln (1 – F (6) ) =

-6/7 -6/7 -6/7

= F (6) = 1 – е = Ln ( 1 – (1 – е ) ) = Ln е = - 6/7

29. (Х) - случайная величина

0, Х < 10

ƒ (Х) = С ; Х ≥ 10

5

Х

С - ? ; М (Х) - ?

¥¥ опр. B ¥ -5

∫ ƒ (Х)dх = 1 =>∫ с dх = lim ∫ = cdx = C lim ∫ X dx =

10 10 5 b->¥ 10 5 b->¥ 10

Х X

b

-4 -4 4 4 4

= C * lim X = C lim - b + 10 = C * 10 = > 1 = C 10 = >

b->¥-4 b->¥4 4 4 4

10

4

=>C = 4 * 10

0; Х < 10

ƒ (Х) = 4

4 * 10 , Х ³ 10

5

Х

¥¥ 4

М (Х) = ∫ Х ƒ (Х) dx = ∫ 4 * 10 dx

10 10 4

Х

_________________________________________________________________________________

30. Х – нормальная случайная величина

М (Х) = 16

Д (Х) = 25

? – Р (Х>10,5)

= 1 - f 10,5 – 16 = 0,5 + f (1,1) = 0,5 + 0,364 = 0,864

2 5

________________________________________________________________________________________

1. Р (d £ X £ b ) = fb – m - fd - m

dd

2. P ( X < b ) = 1 + fb – m

2 d

3. P ( X > b ) = 1 - fb – m

2 d