Основы математики

Треугольник Паскаля. Его свойства. Бином Дяди Ньютона.

1 C00

1 1 C10 C11

1 2 1 C20 C21 C22

1 3 3 1 C30 C31 C32 C33

1 4 6 4 1 C40 C41 C42 C43 C44

1 5 10 10 5 1 C50 C51 C52 C53 C54 C55

1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1. Свойства треугольника Паскаля:

1) В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц равно

сумме двух соседних в предыдущей строке.

2) Сумма чисел n-ой строки равна 2n, где n принадлежит целым чис-

лам.

3) Сумма чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в пре-

дыдущей сроке.

4) Числа, равноудаленные от концов любой строки равны между собой.

Сmn=Cmm-n

2. Бином Ньютона.

(a+b) - двучлен (бином)

(a+b)0=1

(a+b)1=a+b

(a+b)2=C20a2 + C21ab + C22b2

и т.д. ;)

Свойства бинома Ньютона:

1) Бином ньютона содержит n+1 слагаемых.

2) Биноминальные коэффициетнты, равноудаленные от концов равны

между собой.

3) Формулу бинома Ньютона можно записать символически:

n

(a + b)n = S Cnk.an-k.bk

k=0

4) Любой член можно выразить формулой: Tk+1=Cnk.an-k.bk

5) Сумма биноминальных коэффициентов равна 2n.

Метод математической индукции.

Некоторое утверждение будет верно при любом n N, если:

1) Оно верно при n=1;

2) Предположим, что оно верно при n=k и докажем, что оно верно

при n=k+1.

Комбинаторика: Размещения и перестановки.

Определение: Группы составленные из каких-либо предметов отличаю-

щихся друг от друга предметами или порядком прелметов называются сое-

динениями.

3 рода соединений:

1) Размещения

2) Перестеновки

3) Сочетания

Дано: (a,b,c) - 3 элемента.

по одному: a, b, c.

по два: ab, bc, ac, ba, cb, ca.

по три: abc, acb, bca, bac, cab, cba.

1). Соединения, которые содержат n-элементов, отличающихся или поряд-

ком или элементом называются размещениями и обозначают: Amn, n,m

------------¬

¦ m! ¦

¦Amn= ------+

¦ (m-n)!¦

L------------

2). Соединения, которые отличаются только только порядком называются

перестановками.

------¬

¦Pm=m!¦

L------

2). Сочетания, которые отличаются по крайней мере одним элементом на-

зываются сочетениями.

--------------¬ Свойства числа сочетний:

¦ m! ¦ 1) Сmn=Cmm-n

¦Сmn= --------+ 2) Cmn+Cmn+1=Cm+1n+1

¦ (m-n)!n!¦ 3) Cm0=1

L-------------- 4) C00=0!=1

Дифференцирование функций.

Производная функции

h=x-a - приращение аргумента

f(a+h) - f(a) - приращение функции

--------------------------------------¬

¦ f(a+h) - f(a) -

¦k=lim ------------- = f'(x) или f'(a)-

¦ h->0 h -

+--------------------------------------

¦f(a+h)-f(a)=(k+a).h-

L--------------------

df = f'(x).dx - дифференциал функции.

Примеры:

1 1/(h+x)-1/x -h/(x(x+h))

1) f(x)=- ; f'(x) = lim ----------- = lim ----------- =

x h->0 h h->0 h

1 1

= lim ------- = ---

x(x+h) h2

|\ 1

2) (x2)' = 2x; (ax+b)' = a; (? a )' = ---

2?x

(ax2 + bx + c)' = 2ax + b; (x3)' = 3x2

----------------¬

¦(axn)' = n.xn-1¦

L----------------

Техника дифференцирования.

(fg)' = f'g + fg' Угловой коэффициент касательной в данной то-

(f + g) = f' + g' чке равен значению производной в данной точ-

( f )' f'g + fg' ке.

¦ - ¦ = ---------

9 g 0 g2 1) Функция монотонно убывает, там где произ-

водная отрицательна.

(fn)' = nfn-1f 2) Функция монотонно возрастает, там где про-

n|\ 1 изводная положительна.

? f = -------- 3) Если производная равна нулю или не сущес-

n. n? f твует то в этих точках функция имеет локальные

экстремумы.

4) Чтобы найти экстремумы на данном интервале, то надо найти:

а) Значение функции на краях промежутка;

б) Экстремумы функции на данном промежутке;

в) Сравнить полученные результаты и выбрать нужные.

Дифференцирование тригонометрических функций.

---------------¬ ----------¬

¦ Sin x ¦ ¦ tg x ¦

¦ Lim ----- = 1¦ ¦Lim ---- ¦

¦x->0 x ¦ ¦x->0 x ¦

L--------------- L----------

(Sin x)' = Cos x

(Cos x)' = -Sin x

1 1

(tg x)' = ----- ; (Ctg x)' = -----

Cos2x Sin2x

Спецкурс - " Уравнения и неравенства с параметрами ".

" Исследование квадратного трехчлена "

Теорема 1. ---

--------- ¦ а > 0,

¦ D . 0,

¦ x0 > M, ( a7f(M) > 0,

M < x1 , x2 <=> ¦ f(M) > 0, <=> Б D . 0,

=========== ¦ a < 0, 9 x0 > M.

¦ D . 0,

¦ x0 > M,

¦ f(M) < 0

L--

Теорема 2. ---

---------- ¦ а > 0,

¦ D . 0,

¦ x0 < b, ( a7f(b) > 0,

x1 , x2 < b <=> ¦ f(b) > 0, <=> Б D . 0,

=========== ¦ a < 0, 9 x0 < b.

¦ D . 0,

¦ x0 < b,

¦ f(b) < 0

L--

Теорема 3. ---

--------- ¦ ( а > 0,

¦ 2 D . 0, a7f(b) > 0

¦ Б M < x0 < b, a7f(M) > 0,

M < x1 , x2 < b <=> ¦ 2 f(M) > 0, <=> D . 0,

=============== ¦ 9 f(b) > 0, M < x0 < b

¦ ( a < 0,

¦ 2 D . 0,

¦ Б M < x0 < b,

¦ 2 f(b) < 0,

¦ 9 f(M) < 0

L--

Теорема 4. ---

--------- ¦ ( а > 0,

¦ Б f(M) > 0,

¦ 9 f(b) < 0, a7f(b) < 0

M < x1 < b < x2 <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) > 0,

=============== ¦ Б f(b) > 0,

¦ 9 f(M) < 0

L--

Теорема 5. ---

--------- ¦ ( а > 0,

¦ Б f(M) < 0,

¦ 9 f(b) > 0, a7f(b) > 0

x1 < M < x2 < b <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) < 0,

=============== ¦ Б f(b) < 0,

¦ 9 f(M) > 0

L--

Теорема 6. ---

---------- ¦ ( а > 0,

¦ Б f(M) < 0,

¦ 9 f(b) < 0, a7f(b) < 0

x1 < M < b < x2 <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) < 0,

=============== ¦ Б f(b) > 0,

¦ 9 f(M) > 0

L--

Теорема 7. ---

--------- ¦ а > 0,

¦ f(M) < 0,

x1 < M < x2 <=> ¦ a < 0, <=> a7f(M) < 0,

=========== ¦ f(M) > 0

L--

Числовая последовательность.

1). Числовая последовательность - такой ряд чисел, который занумеро-

ван с помощью натуральных чисел и обозначается {an} или (an) -

a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7...an

f(n) - закон, по которому каждому номеру соответствует свой член

последовательности. |\ | |

Последовательность называют возрастающей, если каждый член после-

довательности больше предыдущего, т.е.: если an+1>an, то (an)%.

Последовательность называется убывающей, если каждый член после-

довательности меньше предыдущего, т.е.: если an+1<an, то (an)^.

an , M => (an) - ограниченная сверху.

an . M => (an) - ограниченная снизу.

2). Арифметическая прогессия [_]

Арифметической прогрессией называют такой ряд чисел, в котором

каждый член, начиная со второго, равен предыдущему плюс одно и тоже

число, которое называется разностью прогрессий.

_ a1,a2,a3,a4...an

a2=a1+d; d - разность прогрессий

-------------¬

¦an=a1+(n-1)d¦- - формула любого члена арифметической прогрессии...

L--------------

Свойства членов арифметической прогресии:

1. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифмети-

ческое членов, с ним соседних: an=(an-1+an+1)/2

2. Суммы членов, равноудаленных от концов между собой равны между

собой: a1+an=a2+an-1=a3+an-2

3. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифмети-

ческое равноудаленных от него членов.

------------¬ ----------------¬

¦ (a1+an)n¦- ¦ 2a1+(n-1)d ¦

¦S_=--------+- ¦S_=----------.n¦

¦ 2 ¦- ¦ 2 ¦

L------------- L----------------

3). Геометрической прогрессией называется такой ряд чисел, в котором

каждый член, начиная со второго равен предыдущему, умноженному на одно

и тоже число, которое называется знаменателем прогрессии.(q)

b2=b1.q; b2=b1.q2 и т.д.

-------------¬

¦bn=b1.q(n-1)¦- - формула лыбого члена арифметической прогрессии.

L--------------

Свойства членов геометрической прогрессии:

|\\\\\

1. bn=? bn-k.bn+k

2. b1.bn=bk.bn-k+1

2. Произведение n-членов геометрической прогрессии равно:

--------------------------¬

¦ |\\\ |\\\\¦

¦P=?(b1.bn)n = ?(b12qn-1)n¦

L--------------------------

4. Сумма n-членов геометрической прогрессии равна:

bnq-b1 b1(qn-1)

S=------ = --------

q-1 q-1

1

lq9m.pdr 2 1

Основные формулы сокращенного умножения.

a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab

a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab

a2 - b2 = (a - b)(a + b)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + an-3b4 + ... +bn-1)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)

a4 + b2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 - a + 1)

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

|\\\\ |\\\\

/ A + ?A-B / A + ?A-B

A + B = /---------- + /----------

? 2 ? 2

|\ |\ |\ |\

a - b = (? a - ? b )(? a + ? b )

|\ |\ 3|\ |\ 3|\

a - b = ((? a - ? b )(? a2 + ? ab + ? b2)

|\ --> a, если a . 0!

? a2 = ¦a¦-+

L->-a, если a < 0!

Сумма углов выпуклого многоугольника: 180(n - 2)

Формула Герона S = ?p(p - a)(p - b)(p - c)

Правильный многоугольник:

an = 2r.tg(180/n) = 2R.Sin(180/n)

Sn = p.r = 0,5.PR.Cos(180/n)

--------------------------

Sквадрата = a.b abc

Sтреугольника = 0,5.ah = 0,5.ab.Sin a = ---

4R

d1.d2

Sпараллелограма = ab.Sin a = ----- = a.ha

2

Sтрапеции = 0,5.(a + b) = ch (c - средняя линия)

Преобразования на плоскости.

Осевая симметрия - движение при котором сохраняется расстояние.

Sl(ABC) = A1B1C1 (относительно прямой l)

Центральная симметрия - движение относительно точки,

при котором сохраняется расстояние

ZO(ABCD) = A1B1C1D1 (относительно точки О)

Параллельный перенос (П[вектор]

Поворот - R[угол][точка]

Гомотетия - увеличение или уменьшение H[коэфициент][точка]

Правила действия над тригонометрическими функциями.

г==============================T==============================¬

¦y=Sin a- функция ограниченная ¦y=Cos a- функция ограниченная ¦

¦ + ¦ + ¦ - ¦ + ¦

¦-1 , Sin a , 1 ----+---- ¦-1 , Cos a , 1 ----+---- ¦

¦ - ¦ - ¦ - ¦ + ¦

¦==============================¦==============================¦

¦y=tg a ; y=Ctg a- неограниченные функции ¦

¦ - ¦ + ¦

¦ ----+---- ¦

¦ + ¦ - ¦

L=============================================================-

360 = 2p ; 180 = p ; 90 = 0,5p ;Длинна дуги равна произведению

p p p её радианного измерения на ра-

60 = - ; 45 = - ; 30 = - диус

3 4 6

Cокружности = 2pR

Основные тригонометрические тождества:

q 1.Sin2a + Cos2a = 1

Sin a Cos a

2.tg a = ----- ; Ctg a = -----

Cos a Sin a

3.tg a * Ctg a = 1

1 1

4.1 + tg2a = ----- ; 1 + Ctg a = -----

Cos2a Sin2a

Правило формул превидения

Какой знак: Ставим тот знак, который имеет функция в данной четверти.

Какая функция: Если угол откладывается от горизонтального диаметра то

функция не меняется. Если угол откладывается то вертикального диаметра

то функция меняется на созвучную.( Sin a на Cos a ; tg a на Ctg a)

----------------------------------T---------------------------------¬

¦Cos(a-b) = Cosa*Cosb + Sina*Sinb ¦ Cos(a+b) = Cosa*Cosb - Sina*Sinb¦

+---------------------------------+---------------------------------+

¦Sin(a-b) = Sina*Cosb - Cosa*Sinb ¦ Sin(a+b) = Sina*Cosb + Cosa*Sinb¦

+-----------------------T---------+--------------T-------------------

¦ tg a - tg b ¦ tg a + tg b ¦

¦tg(a-b) = ----------- ¦ tg(a+b) = ----------- ¦

¦ 1 + tga*tgb ¦ 1 - tga*tgb ¦

+-----------------------+-T----------------------+----¬

¦ Ctga*ctgb + 1 ¦ Ctga*ctgb - 1 ¦

¦Ctg(a-b) =-------------- ¦ Ctg(a+b) = ------------- ¦

¦ Ctg a - ctg b ¦ Ctg a + ctg b ¦

+-----------------------T-+---------------------T------

¦Sin 2a = 2*Sin a*Cos a ¦ Cos2a = Cos2a - Sin2a ¦

+-----------------T-----+--------------T---------

¦ 2*tg a ¦ Ctg2a - 1 ¦

¦tg 2a = -------- ¦ Ctg 2a = --------- ¦

¦ 1 - tg2a ¦ 2*Ctg a ¦

L-----------------+---------------------

Sin a * Cos b = 0,5*[Sin(a-b) + Sin(a+b)]

Sin x + Sin y = 2Sin 0,5(x+y) * Cos 0,5(x-y)

Sin x - Sin y = 2Cos 0,5(x+y) * Sin 0,5(x-y)

Cos x + Cos y = 2Cos 0,5(x+y) * Cos 0,5(x-y)

Cos x - Cos y = -2 Sin 0,5(x+y) * Sin 0,5(x-y)

Cos a * Cos b = 0,5[Cos(a-b) + Cos(a+b)]

Sin a * Sin b = 0,5[Cos(a-b) - Cos(a+b)]

---------------------------T---------------------------------¬

¦ Sin(x-y) ¦ Sin(x+y) ¦

¦tg x - tg y = ----------- ¦ tg x + tg y = ----------- ¦

¦ Cos x Cos y ¦ Cos x Cos y ¦

+--------------------------+--T------------------------------+

¦ Sin(x-y) ¦ Sin(x+y) ¦

¦Ctg x - Ctg y = ------------ ¦ Ctg x + Ctg y = ----------- ¦

¦ Sin x Sin y ¦ Sin x Sin y ¦

L-----------------------------+-------------------------------

Sin 3x = 3Sin x - 4Sin3x 2tg x

Cos 3x = 4Cos3x - 3Cos x Sin 2x = ---------

/1 + Cos 2x 2tg2x + 1

¦Cos x¦ = / ----------

? 2 . 1 + tg2x

/1 - Cos 2x Cos 2x = --------

¦Sin x¦ = / ---------- 1 - tg2x

? 2 .

/ 1 - Cos 2x 2tg x

¦tg x¦ = / ----------- tg 2x = --------

? 1 + Cos 2x 1 - tg2x

1. Решение тригонометрических уравнений.

Sin x = m ==> x = (-1)n7arcsin m + pn, n Z.

Cos x = m ==> x = + arccos m + 2pn, n Z.

tg x = m ==> x = arctg m + pn, n Z.

ctg x = m ==> x = arcctg m + pn, n Z.

2. Равенство одноименных функций.

Sin t = Sin a ==> t = (-1)ka + kp, k Z.

Cos t = Cos a ==> t = + a + 2kp, k Z.

tg t = tg a ==> t = a + kp, k Z.

3. Универсальная подcтaновка.

t t

2tg --- 1 - tg2 ---

2 2 t

Sin t = ------------ ; Cos t = ------------- ; tg --- = Z.

t t 2

1 + tg2 --- 1 + tg2 ---

2 2

4. Функции кратных аргументов.

--

¦ Cos2x = Cos2x - Sin2x.

(a+b)2=a2+2ab+b2 ===> ¦

¦ Sin2x = 2Cosx7Sinx.

L-

--

¦ Cos3x = Cos3x - 3Cosx7Sin2x.

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 ===> ¦

¦ Sin3x = 3Cos2x7Sinx - Sin3x.

L-

--

¦ Cos4x=Cos4x-6Cos2x7Sin2x+Sin4x.

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ===> ¦

¦ Sin4x=4Cos3x7Sinx-4Cosx7Sin3x.

L-

5. Дополнительно.

Cos (n+1)7x = 2Cosx7Cos(nx) - Cos(n-1)x.

Sin 5a = 16Sin5a - 20Sin3a + 5Sina.

Sin 7a = -64Sina7 + 112Sin5a - 56Sin3a + 7Sina =

= Sina7(64Cos6a - 80Cos4a + 24Cos2a - 1).