Математический анализ

ГЛАВА#1.МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

§1 ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ,БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО,ПРЕДЕЛА,

НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ.

ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо называется любой интервал,содержащий

эту точку.

ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т.Хо называется окрестность т.Хо,

из которой выброшена сама точка.

ОКРЕСТНОСТЬЮ "+" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полу-

бесконечный промежуток вида (а;+ ).

ОКРЕСТНОСТЬЮ "-" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полу-

бесконечный промежуток вида (- ;b).

ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ называется объединение двух

любых окрестностей + и - .

Функция f(х) называется бесконечно малой в окрестности

т.Хо,если для любого числа >0 существует проколотая

окр. т.Хо такая,что для любого числа Х,принадлежащего

прокол.окр.т.Хо выполняется неравенство ¦f(х)¦< .

>0 U U => ¦f(x)¦<

Число А называется пределом ф-ции f(х) в т.Хо,если

в некоторой прок.окр. этой точки ф-цию f(х) можно

представить в виде f(х)=А+ (х),где (х)-бесконечно

малое в окрестности т.Хо.

limf(x)=А

Ф-ция f(х) называется непрерывной в т.Хо,если в некоторой

окр.т.Хо эту ф-цию можно представить в виде:f(х)=f(х )+ (х),

где (х)-б.м. в окр.т.Хо.

Иными словами,f(х)-непрерывна в т.Хо,если она в этой точке

имеет предел и он равен значению ф-ции.

ТЕОРЕМА:Все элементарные ф-ции непрерывны в каждой точке

области определения.

Схема:1.ф-я элементарна

2. определена

3. непрерывна

4. предел равен значению ф-ции

5. значение ф-ции равно 0

6. можно представить в виде б.м.

СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ:

Теорема#1:Единственная константа,явл-ся б.м.-0

Теорема#2:Если (х) и (х) -б.м. в окр.т.Хо,то их

сумма тоже б.м. в этой окр.

Ф-ция f(х) называется ограниченной в окр.т.Хо,если сущ.

проколотая окр.т.Хо и сущ. число М>0,такие что ¦f(х)¦<М

в каждой точке прок.окр.т.Хо.

U M>0: ¦f(x)¦<M x U

Теорема#3:Если (х) -б.м. в окр.т.Хо,то она ограничена

в этой окр.

Теорема#4:О произведении б.м. на ограниченную:

Если ф-ция (х) -б.м.,а f(х) -ограниченная в окр.т.Хо,то

(х)*f(х) -б.м. в окр.т.Хо.

Теорема#5:О промежуточной б.м.:

Если (х) и (х) -б.м. в окр.т.Хо и (х)< (х)< (х)

в окр.т.Хо U ,то (х) -б.м. в окр.т.Хо.

Две б.м. называются сравнимыми,если существует предел их

отношения.

Б.м. (х) и (х) в окр.т.Хо называются одного порядка,

если предел их отношений есть число не равное 0.

Две б.м. в окр.т.Хо называются эквивалентными,если

предел их отношения равен 1.

Теорема#1:Если и -эквивалентные б.м.,то их разность

есть б.м. более высокого порядка,чем и чем .

Теорема#2:Если разность двух б.м. есть б.м. более высокого

порядка,чем и чем ,то и есть эквивалентные б.м.

Таблица основных эквивалентов б.м.:

Х_0

sinх х

е-1 х

ln(1+х) х

(1+х) -1 х

Асимптотические представления:

Х_0

sinx=x+0(x)

e =1+x+0(x)

ln(1+x)=х+0(x)

(1+x) =1+ x+0(x)

Св-во экв.б.м.:

Если (х) и (х) -экв.б.м. в окр.т.Хо,а (х) и (х) -экв.б.м.

в окр.т.Хо и сущ. lim =А,то тогда сущ. lim и он равен А.

§2 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА.

Если (х) и (х) -б.м. в окр.т.Хо и lim =0,то (х)

называется бесконечно малой более высокого порядка,чем

(х). (х)=о( (х)).

Замечание:Если (х)-более высокого порядка,чем (х),

то (х)=о(k (х)),k=0

Теорема БЕЗУ:Если -корень многочлена,то многночлен

делится без остатка на (х- ).

§3 ОСНОВНЫЕ СВ-ВА Ф-ЦИЙ,ИМЕЮЩИХ ПРЕДЕЛ.

ЛЕММА об оценке ф-ции,имеющей предел отличный от нуля:

Если предел ф-ции f(х) в т.Хо равен А и А>0,то

А/2<f(х)<3А/2 в некоторой проколотой окр.т.Хо.

Замечание:Если предел А<0,то 3А/2<f(х)<А/2.

ТЕОРЕМА#1.Необходимое условие ограничиности ф-ции,

имеющей предел:

Если ф-ция f(х) имеет в точке предел,то она ограничена

в окрестности этой точки.

ТЕОРЕМА#2.Арифметические операции над ф-циями,

имеющих предел.

Если f(х) и f(х) имеют предел в т.Хо:

lim f(х)=А

lim f(х)=B,то

тогда 1.сущ.предел их суммы и он равен сумме пределов.

2.сущ.предел их произведения и он равен

произведению пределов.

3.если В=0,то сущ.предел отношения и он равен

отношению пределов.

ТЕОРЕМЫ,СВЯЗАННЫЕ С НЕРАВЕНСТВАМИ:

Т.1:Если ф-ция f(х),имеющая предел в т.Хо,больше 0,

то f(х)>0 в прокол.окр.т.Хо.

Наоборот,если f(х),имеющая предел в т.Хо,меньше 0,

то f(х)<0 в прокол.окр.т.Хо.

Т.2:Если ф-ция f(х) имеет предел в т.Хо и f(х)>0 в

некоторой прокол.окр.т.Хо,то и предел f(х)>0 в т.Хо.

Т.3:Если ф-ции f(х) и f(х) имеют предел в т.Хо:

lim f(х)=А

lim f(х)=В и

f(х)<f(х) в некоторой прокол.окр.т.Хо,то и

пределы А<В.

Т.4 о пределе промежуточной ф-ции:

Если ф-ции f(х) и f(х) имеют один и тот же предел

А в т.Хо и ф-ция f(х)<f(х)<f(х) в некоторой прокол.

окр.т.Хо,то тогда сущ.предел f(х) и он равен А.

ТЕОРЕМА о переходе к пределу под знаком непрерывной

ф-ции:

Если ф-ция f(u) непрерывна в т.Uо,а ф-ция u= (х) имеет

предел в т.Хо,и предел ф-ции (х) равен Uо,то тогда

сложная ф-ция f[ (х)] имеет предел в т.Хо и этот предел

равен f(Uо),т.е. предел f[ (х)] равен значению ф-ции

от предела .f[ (х)]=flim (х).

§4 О ПРЕДЕЛАХ СВЯЗАННЫХ С ЧИСЛОМ e.

ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ называется ф-ция,область

определения которой -натуральные числа.

Формула НЬЮТОНА-бинома:

(a+b)= с a b

c=n!/k!(n-k)!

c -кол-во сочетаний из n по k.

n!=1*2*3*...*n

СОЧЕТАНИЯМИ называются всевозможные подмножества данного

множества,в частности рассматривают сочетания множества

из n-элементов по k-элементов.

Замечание: 0!=1

Таблица биномиальных коэффициентов:

n=1 1 1

n=2 1 2 1

n=3 1 3 3 1

n=4 1 4 6 4 1

n=5 1 5 10 10 5 1

n=6 1 6 15 20 15 6 1

lim(1+x) =e

§5 БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ Ф-ЦИИ.ПОВЕДЕНИЕ Ф-ЦИИ В

БЕСКОНЕЧНОСТИ.АСИМТОТЫ.

Ф-ция f(х) называется бесконечно большой в окр.т.Хо,если

1/f(х) будет б.м.

Асимтоты:

Прямая Т называется асимтотой кривой L,если растояние от

т.М,лежащей на кривой L,до прямой Т стремится к 0,когда

т.М по кривой удаляется в бесконечность,т.е. когда

растояние от т.М до фиксированной т.О стремится в беско-

нечность.

Асимтоты графиков ф-ции:

Теорема#1:Для того,чтобы прямая kx+b была асимтотой при

х_+ ,необходимо и достаточно,чтобы f(х)=kx+b+ (х) при

х_+ .

Теорема#2:Для того,чтобы прямая y=kx+b была ас-той гр-ка

ф-ции f(х) при х_+ ,необходимо и достаточно существование

предела при х_+ f(х)/х=k и сущ.предела при х_+

[f(х)-kx]=b,т.е.,если хотя бы один из пределов не сущ.,то

ас-ты нет.

Исследование поведения ф-ции в окр.точки

разрыва.Классификация точек разрыва:

0:ТОЧКА УСТРАНИМОГО РАЗРЫВА-точка, в которой ф-ция имеет

предел,но не является непрерывной.

1:ТОЧКА РАЗРЫВА ПЕРВОГО РОДА-точка,в которой ф-ция имеет

предел слева,имеет предел справа, но эти пределы не равны.

2:ТОЧКА РАЗРЫВА ВТОРОГО РОДА-точка,которая не является

точкой устранимого разрыва и точкой разрыва первого рода.

§6 ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА НЕПРЕРЫВНЫХ Ф-ЦИЙ.

ЛОКАЛЬНЫЕ СВ-ВА-св-ва ф-ции непрерывных в данной точке,

т.к. непрер.ф-ция имеет предел,то все св-ва таких ф-ций,

имеющих предел,распространяются на непрерывные.

Свойства:если f(х) непрер.в т.Хо и f(Хо)>0,то ф-я больше

нуля в некоторой окр.т.Хо или;если f(х) и f(х) непрер.

в т.Хо,то их сумма тоже непрер.в этой точке.

ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА:

Ф-ция f(х) называется непрерывной на отр.[a;b],если она

непрерыв.в каждой точке интервала (a;b) и непрерывна в

т.А справа и в т.В слева.

lim f(x)=f(a),lim f(x)=f(b)

ТЕОРЕМЫ КОШИ:

Теорема#1:Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b] и на концах

отрезка принимает значения разных знаков (f(а)*f(b)<0),

то сущ.точка С на отр.[a;b],такая что f(С)=0.

Теорема#2:Если ф-ция непр. на отр.[a;b] и на концах отр.

принимает разные значения (f(a)=f(b)),то тогда для любого

числа Q,лежащего между f(а) и f(b),сущ.т.С,принадлеж.отр.

[a;b],такая что f(С)=Q.

ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА:

Теорема#1:Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b],то сущ.

числа m<f(x)<M в каждой точке этого отрезка (т.е.ф-я

ограничена)

Теорема#2:Если ф-ция f(х) непр.на отр.[a;b],то сущ.

точки x и x [a;b],такие что f(x )<f(x)<f(x ) в каждой

точке этого отрезка.

ГЛАВА#2:ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

§1.ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА.ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ И СВ-ВА.

Отрезок AB называется направленным,если указана,какая из

точек A и B явл.началом,а какая концом.

Два направленных отрезка называются равными,если они лежат

на одной или на параллельных прямых,со-направлены и имеют

одинаковые длины,т.е.если один получается из другого парал.

переносом.

Вектором называется направленный отрезок.

Векторы называются коллинеарными,если они лежат на одной прямой

или на парал. прямых.

Векторы называются компланарными,если они лежат в одной или

парал. пл-тях.

Суммой векторов a и b называется вектор,обозначенный a+b,начало

которого совпадает с началом вектора a,а конец -с концом b,

при условии,что начало вектора b совмещено с концом а.

Произведением а на число называется вектор,обозначенный

а,такой что:

1.¦ a¦=¦ ¦*¦a¦

a=0,если =0

2. দа

দа,если >0

দа,если <0

СВ-ВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ:

1.Коммутативность:

Для любых а и b:а+b=b+a

замечание:отсюда следует,что сумму векторов а и b можно строить

как диагональ параллелограмма,построенных на векторах а и b,

причем начало всех трех векторов совмещены.

2.Ассоциативность:

Для любых а,b и с:(а+b)+с=а+(b+с)

замечание:отсюда следует,что чтобы сложить векторы а ,а ,...,а

нужно сложить из них ломанную,совмещая начало последущего вектора

с концом предыдущего,тогда их сумма -замыкающая.

3.Существует вектор,называемый нуль-вектор,такой что для всех а:

а+0=а.

4.Для любого а сущ.вектор,называемый противоположным,обознач.-а,

такой что а+(-а)=0

5.Для всех а:1*а=а

6.Для любого а и любых чисел и :( * )*а= ( а)= ( а)

7.Для любого а и любых чисел и :( + )*а= а+ а

8.Для любых а и b и любого числа : *(а+b)= а+ b

Разностью векторов а и b называется вектор (а+(-b))

Если даны векторы а ,а ,...,а и числа , ,..., ,то вектор

а + а +...+ а -называется линейной комбинацией векторов

а ,а ,...,а с коэффициентами , ,..., .

Множество,для элементов которого определены операции (сложения

и умножения на число),для которых справедливы выше восемь св-в

(аксиом) называется линейным пространством.

§2.Понятие линейной зависимости,размерности,базиса и координации.

Система векторов а ,а ,...,а называется линейно зависимой,если

хотя бы один из векторов этой системы есть линейная комбинация

остальных векторов этой системы.

ИЛИ

Для того,чтобы система векторов а ,а ,...,а была линейно зависи-

мой необходимо и достаточно,чтобы существовали числа , ,..., ,

не равные 0,такие что линейная комбинация а + а +...+ а

равнялась нуль-вектору.

Система векторов называется линейно не зависимой,если она не яв-

ляется линейно зависимой,т.е. ни один вектор этой системы не яв-

ляется линейной комбинацией остальных и равенство 0 линейной ком-

бинации векторов этой системы возможно только в том случае,когда

все коэффициенты равны 0.

Размерностью линейного пространства называется максимальное число

линейно не зависимых векторов.

Базисом называется линейно независимая система векторов,такая,

при которой любой вектор,принадлежащий этому пространству,может

быть выражен в виде линейной комбинации векторов этой системы.

Теорема единственности:

Если задан базис е ,е ,е ,то разложение любого вектора а по этому

базису единственно:

а= е + е + е

Если дан базис е ,е ,е ,то коэффициенты разложения вектора по

этому базису называются координатами.

а=( , , )

замечание:у одного и того же вектора в разных базисах разные

координаты.

Условие коллинеарности:

/ = / = /

замечание:если в одной из дробей в знаменателе 0,то равенство

нужно понимать так,что в числителе тоже 0.

Каноническое ур-е прямой:

x x /m=y-y /p=z-z /q

§3.ПОНЯТИЯ ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСЬ,СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

СВ-ВА ПРОЕКЦИИ И СКАЛЯР.ПРОИЗВЕДЕНИЯ.ПРИЛОЖЕНИЕ.

Углом между двумя векторами (отличными от 0) называется наименьший

угол между двумя лучами,проведенные из одной точки пространства в

направлениях этих векторов.

Численной проекцией вектора а на вектор b (b=0) называется число

равное произведению модуля а на cos угла между ними.

Пр а=¦а¦*cos a,b

Св-ва: Пр (а+b)=Пр а+Пр b

Пр (ka)=kПр а

Проекцией вектора на ось называется длина отрезка АВ между

основаниями перпендикуляров,опущенных из точек А и В на ось.

Радиус-вектором точки пространства называется вектор,идущий в эту

точку из некоторой фиксированной точки,наз. полюсом.

Скалярным произведением а и b называется число равное произведению

длин этих векторов на cos угла между ними.

CВ-ВА:

1.условие перпендикулярности векторов: (а,b)=0 <=> а_b

2.коммутативность: (а,b)=(b,а)

3.билинейность:

3.1: (а +а ;b)=(а ,b)+(а ,b)

(а,b +b )=(а,b )+(а,b )

3.2: ( а,b)=(а, b)= (а,b)

Правило:Скалярное произведение векторов равно сумме произведений

соответствующих координат.

(а,b)=x x +y y +z z

Приложения:

1.¦а¦= (а,а) = x +y +z ,если а=(x,y,z)

2.(а,b)=0<=>а_b

3.cos а,b=(а,b)/¦а¦¦b¦

4.Пр а=(а,b)/¦b¦

Направляющими косинусами углов называются cos углов,которые

вектор образует с векторами базиса i,j,k.

cos =x/¦a¦

cos =y/¦a¦

cos =z/¦a¦

cos +cos +cos =1,т.к. (x +y +z )/¦a¦=1.

§4.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВ-ВА.

Матрицей порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел,

содержащая m строк и n столбцов.

Квадратной матрицей n-порядка называется матрица,у которой

число строк равно числу столбцов и равно n.

Каждой кв.матрице ставится в соответствие число называемое

определителем матрицы.

Определителем кв.матрицы n-порядка называется число равное

алгебраической сумме всевозможных произведений n-элементов

матрицы,взятых по одному из каждой строки и каждого столбца,

причем перед каждым произведением по определенному правилу

ставится знак "+" или "-".

Алгебраической суммой называется сумма,в которой где-то

ставится "+",а где-то "-".

Элементы матрицы,у которых No строки совпадает с No столбца

образуют главную диагональ матрицы.

Операция замены строк матрицы ее столбцами с соответствующими

номерами называется транспортированием,а получившаяся матрица-

транспортированной.

СВ-ВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ:

1.При транспортировании матрицы ее определитель не меняется.

2.Если в матрице поменять местами две строки (столбца),то ее

определитель умножится на -1.

3.Определитель матрицы равен сумме произведений элементов

какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

4.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы

умножить на число k, то ее определитель умножится на k.

5.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы

представляют собой сумму двух слагаемых,то определитель матрицы

равен сумме двух определителей.У первого на месте этой строки

стоят первые слагаемые,а у второго -вторые,а все остальные строки

у всех трех определителей одинаковы.

6.Определитель матрицы не изменится,если к одной ее строке

(столбцу) прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

7.Если элементы одной строки умножить на соответствующие

алгебраические дополнения другой строки и сложить,то получится 0.

8.Линейная комбинация адгебраических дополнений элементов какой-

нибудь строки равна определителю,у которого на месте этой строки

стоят соответствующие коэффициенты линейной комбинации,а остальные

строки совпадают со строками данного определителя.

Минором,соответствующим элементу матрицы а ,называется определитель

матрицы,которая получится,если в данной матрице вычеркнуть строку

и столбец,в которых стоит а .

Алгебраическим дополнением элемента а называется число равное

А =М *(-1)

Достаточные признаки

равенства нулю

определителя:

1.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы равно

нулю,то определитель равен 0.

2.Если в матрице есть две одинаковые строки (столбца),то ее

определитель равен 0.

3.Если матрица содержит две строки,соответствующие элементы

которой пропорциональны,то ее определитель равен 0.

Необходимое и достаточное

условие равенства нулю

определителя:

Для того чтобы определитель матрицы был равен 0,необходимо и

достаточно,чтобы ее строки (столбцы) были линейно зависимы.

§5.ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ.

Тройка некомпланарных векторов a,b,c,начало которых совмещены,

называется правой,если кратчайший поворот от вектора а к вектору

b виден совершающимся против часовой стрелки с конца вектора с.В

противном случае тройка называется левой.

СВ-ВА ориентированных троек векторв:

1.Если a,b,c -правая,то тройки b,c,a и c,a,b будут тоже правыми.

Такая перестановка называется циклической перестановкой.Т.е. при

цикл.перестановке ориентация тройки не меняется.

2.Если a,b,c -правая,то тройки b,a.c и a,c,b -левые.Т.е.,если

поменять местами какие-нибудь два вектора,то ориентация тройки

изменится.

Векторным произведением a и b называется вектор с,такой что:

1.если а и b коллинеарны (দb),то их векторное произведение

с=[a,b]=0.

2.если а и b не коллинеарны,то с=[a,b] перпендикулярен а и _ b,

т.е.[a,b] _ пл-ти векторов а и b и [a,b] направлен в такую

сторону,что тройка векторов a,b,[a,b] -правая.Длина векторного

произведения равна ¦[a,b]¦=¦а¦¦b¦sin ab=S параллелограмма,

построенного на векторах а и b.

СВ-ВО векторного произведения:

1.[a,b]=0 <=>a¦¦b.

2.Антикоммутативность:

[a,b]=[b,a],но [a,b]=-[b,a].

3.Билинейность:

3.1:[a +a ,b]=[a ,b]+[a ,b]

[a,b +b ]=[a,b ]+[a,b ].

3.2:[ a,b]=[a, b]= [a,b].

¦i j k¦

[a,b]=¦x y z¦

¦x y z¦

Нормальный вектор -это вектор перпендикулярный пл-ти.

Ax+By+Cz+D=0 => n=(A,B,C)

Углом между двумя пл-тями называется угол между их нормальными

векторами.

Углом между прямой и пл-тью называется угол между прямой и ее

проекцией на пл-ть,sin этого угла равен cos ,где -угол между

направляющим вектором прямой и нормальным вектором пл-ти.

Смешанным произведением векторов a ,b ,c называется число,равное

скалярному произведению векторного произведения векторов a и b на

вектор с.

([a,b],c)

Геометрический смысл

смешанного произведения:

1.Если векторы a,b,c компланарны,то их смешанное произведение

равно 0.

2.Если векторы a,b,c не компланарны,то модуль смешанного произведе-

ния равен объему параллелепипеда,построенного на этих векторах,

причем смешанное произведение положительно,если тройка a,b,c -пра-

вая, и отрицательно,если тройка векторв -левая.

СВ-ВА смешанного

произведения:

1.([a,b],c)=(a,[b,c])

([a,b],c) -смешанное произведение a,b,c.

(a,[b,c]) -смешанное произведение b,c,a.

Эти смешанные произведения равны,т.к. параллелипипед один и тот же

и ориентации троек одинаковы (при циклической перестановки ориента-

ция троек не меняется).

Это св-во показывает,что квадратные скобки можно не ставить:

(a,b,c)=([a,b],c)

2.(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=(c,a,b)=-(b,a,c)=-(a,c,b)=-(c,b,a)

3.Для того,чтобы a,b,c были компланарными <=> (a,b,c)=0

4.Для того,чтобы a,b,c были линейно зависимыми <=> (a,b,c)=0

5.Трилинейность:

5.1: (a+b,c,d)=(a,c,d)+(b,c,d)

5.2: ( a,b,c)=(a, b,c)=(a,b, c)= (a,b,c)

Вычисление смешанного

произведения:

a=(x ,y ,z )

b=(x ,y ,z )

c=(x ,y ,z )

¦x y z¦

([a,b],c)=¦x y z¦

¦x y z¦

§6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.

Прямая на пл-ти -частный случай прямой в пространстве.

У прямой в пространстве нет понятия нормального вектора.

Угловым коэффициентом прямой, не парал-ной оси y называ-

ется число k, равное tg угла, на который нужно повернуть

против часовой стрелки положительную часть оси х, чтобы

она стала парал-ной данной прямой.

tg =(k -k )/1+k k

Для перпендикулярных прямых: 1+k k=0

Для параллельных прямых:k =k

ГЛАВА#2:ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ.

§1 ПОНЯТИЯ ДИФФ. Ф-ЦИИ, ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА.

Ф-ция f(х) называется дифференцируемой в т.Хо, если ее

приращения f(х + х)-f(х ) можно представить в виде

Q(х ) х+о( х),где о( х) -б.м., не зависящая от х, Q( х)

-б.м. более высокого порядка, чем х.

Q(х )=lim (f(х + х)-f(х ))/ х

Этот предел называется производной ф-цией в точке и обозначается

f'(х ).

Производной ф-цией f(х) в т.Хо называется предел отноше-

ния приращения ф-ции к приращению аргумента х, когда

х_0.

(х )'= х

(a )'=a lna, ((e )'=e )

(log x)'=1/xlna, ((lnx)'=1/x)

sin'x=cosx

cos'x=-sinx

tg'x=1/cos x

ctg'x=-1/sin x

arcsin'x=1/ 1-x

arccos'x=-1/ 1-x

arctg'x=1/1+x

arcctg'x=-1/1+x

sh'x=chx (shx=e -e /2)

ch'x=shx (chx=e +e /2)

th'x=1/ch x (thx=shx/chx)

cth'x=-1/sh x (cthx=chx/shx)

f(x + x)-f(x )=f'(x ) x+o( x),

слагаемое f'(x ) x -линейно зависит от х, и если

f'(х)=0, то это слагаемое б.м. одного порядка с х.

Поэтому это слагаемое является главным в этой сумме и оно

называется дифференциалом ф-ции в т.Хо.

Дифференциалом дифференцируемой ф-ции в т.Хо называется

главная часть приращения, линейно зависящая от х.

df=f'(x ) x

Асимтотическое представление:

f(x + x)=f(x )+f'(x ) x+o( x)

f(x + x)=f(x )+df

§2 ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.

1. Если ф-ция f(x) тождественна const, то ее производная

тождественна 0.

(C)'=0

2. Если ф-ция u(x) и v(x) дифф. в т.Хо, то:

1) их линейная комбинация дифф. в этой точке и

( u+ v)'= u'+ v'

2) их произведение дифф. в т.Хо и (uv)'=u'v+uv'

(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'

3) если кроме того v(x )=0, то отношение

(u/v)'=u'v-uv'/v

3. Правило дифф. сложной ф-ции.

f(u) дифф. в т.Uo, u(x) дифф. в т.Хо, u(x )=u =>

f(u(x)) -дифф. в т.Хо и (f(u(x)))'=f'(u ) u'(x )