Группы симметрий квадрата и куба

О.А.Котий , Т.Л.Агафонова

Хорошо знакомая школьнику фигура квадрат имеет четыре оси симметрии и центр симметрии (рис. 1). Это означает, что существует пять движений плоскости: четыре осевые симметрии и одна центральная, при которых квадрат отображается на себя. При этом некоторые вершины поменяются местами, а некоторые останутся неподвижными.

Поставим более общую задачу: перечислить все движения, отображающие квадрат на себя.

Легко увидеть, что таких преобразований 8. Кроме выше указанных четырех осевых симметрий есть еще четыре поворота вокруг центра O (на 0о,  90о, 180о). Сюда вошли и тождественное преобразование и центральная симметрия .

Имеется более общее понятие, чем множество преобразований фигуры в себя - группа симметрий фигуры. Это такое множество преобразований, отображающих фигуру на себя, которые можно перемножать так, чтобы выполнялись привычные свойства умножения чисел.

Произведение преобразований a и b (ab) - это преобразование, полученное в результате последовательного выполнения преобразований a, b.

При таком определении умножения преобразований выполняются свойства.

Существует "единица" умножения - это тождественное преобразование e такое, что преобразования ea и ae совпадают с преобразованием a.

Каждое преобразование a имеет обратное a-1 такое, что aa-1 = a-1a = e.

При умножении трех преобразований a, b и c преобразования можно объединять попарно разными способами, то есть выполняется ассоциативный закон.

(ab) c = a (bc).

Отсюда, при умножении нескольких множителей скобки можно не ставить.

В отличие от умножения чисел коммутативный закон для умножения преобразований не обязательно выполняется. Например. Пусть a и b (рис. 2) - осевые симметрии (для краткости в дальнейшем слово осевая будем опускать). Преобразование ab отображает:

A  D  B,

B  C  C.

Сторона AB перешла в BC; центр О остался неподвижным. ab - это поворот вокруг центра О на 90о. Аналогично проверяется, что преобразование ba есть поворот в обратную сторону, на -90о, то есть ab  ba.

Таким образом, перечисленные выше 8 преобразований образуют некоммутативную группу симметрий квадрата (G2).

Четыре поворота вокруг центра О на 0о,  90о, 180о также образуют группу - это подгруппа группы симметрий квадрата, так как при умножении поворотов снова получается поворот, угол поворота которого равен сумме углов поворота сомножителей (с точностью до 360о). Эта подгруппа порождается поворотом на 90о ():

, , .

Это циклическая группа Z4 { r, r2, r3, r4 = e }.

Она состоит из степеней одного порождающего ее элемента. Очевидно, r2 есть центральная симметрия z, r3 = r -1. Симметрия a (рис. 2) порождает подгруппу Z2 { a, a2 = e }. Две симметрии a и c, оси которых перпендикулярны (рис. 3) порождают нециклическую подгруппу из четырех элементов: двух осевых симметрий и одной центральной: { a, c, ac = z, a2 = e }. В силу того, что умножение двух симметрий дает поворот на удвоенный угол между осями, можно проверить, что правила умножения для этой группы таковы. Произведение любых двух симметрий равно третьей симметрии, а квадраты их равны тождественному преобразованию (табл. 1). Группу с такой таблицей умножения называют четверной группой Клейна (K4) (Феликс Клейн (1849 - 1925 гг.) - немецкий математик). Эта группа также как и циклическая (Z4) коммутативна.

Замечание. Группа симметрий квадрата G2 порождается двумя симметриями a, b (рис. 2).

G2 { a, b, ab, ba, aba, bab, abab, a2 = e },

где aba, bab - симметрии, abab - центральная симметрия z.

Используя равенства a2 = b2 = e, abab = baba, можно упростить любое произведение, составленное из сомножителей a и b. Например, ababa = (baba) a = (bab) a2 = bab - симметрия c.

Коммутатор. Коммутант

Произведение aba-1b-1 называют коммутатором преобразований a и b. Обозначается [ab].

Если ab = ba, то коммутатор [ab] = aba-1b-1 = (ba)a-1b-1 = b(aa-1)b-1 = beb-1 = bb-1 = = e. Если преобразования a и b не перестановочны, то [ab] e.

Коммутаторы всех пар преобразований группы порождают группу, которая называется коммутантом группы.

Для коммутативной группы коммутант тривиален, он состоит из единицы группы. Таким образом, коммутант в некотором смысле является "мерой некоммутативности" группы.

Вычислим коммутант группы симметрий квадрата (G2). Чтобы не перебирать все пары, пойдем по такому пути, который будет использован в дальнейшем при исследовании группы симметрий куба.

С квадратом ABCD жестко свяжем два вектора e1, e2 (рис. 4). При любом преобразовании квадрата пара векторов (e1, e2) займет новое положение, обозначим его символом: ( ei,  ej) (i, j = 1,2; i  j). Имеется всего восемь символов:

( e1,  e2); ( e2,  e1).

Каждому преобразованию квадрата отвечает свой символ. Пример: тождественному преобразованию e - (e1, e2), центральной симметрии z - (-e1, -e2), симметриям b, c - (e2, e1), (-e1, e2), повороту r - (e2, -e1).

Способ умножения символов покажем на примере.

(-e1, e2) (-e2, -e1).

В первом преобразовании e1  -e1. Во втором преобразовании e1  -e2, тогда -e1  e2. Аналогично e2  e2  -e1. Окончательно (-e1, e2) (-e2, -e1) = (e2, -e1).

(e2, e1) (e2, -e1).

В первом преобразовании e1  e2, а во втором преобразовании e2  -e1. Аналогично e2  e1  e2. Окончательно (e2, e1) (e2, -e1) = (-e1, e2).

Упражнение. Проверьте, что

1. ( e1,  e2) ( ,  ) = (  ,   ),

2. ( e2,  e1) ( ,  ) = (  ,   ),

где ( ,  ) - символ любого из восьми преобразований квадрата.

Из этих примеров следует, что при умножении четного числа преобразований ( e2,  e1) в произведении получается символ с натуральным порядком индексов векторов, а при нечетном - получается символ с обратным порядком векторов. Число минусов в результате будет иметь такую же четность, как сумма числа минусов всех сомножителей.

Упражнение. Проверьте, что

1. ( e1,  e2)-1 = ( e1,  e2),

2. ( 2e2,  1e1)-1 = ( 1e2,  2e1), где  i =  1.

Отсюда вывод, что символ обратного преобразования имеет то же число минусов, что и данное, и такую же последовательность индексов.

Вернемся к коммутатору [ab] = aba-1b-1. С учетом следствий, вытекающих из предыдущих упражнений, число символов вида ( e2,  e1) в коммутаторе всегда четно. Отсюда следует, что в символе коммутатора индексы векторов идут в натуральном порядке и имеется либо два минуса, либо ни одного. А это значит, что коммутаторами группы симметрий квадрата могут быть только

(e1, e2) и (-e1, -e2).

Например, в силу коммутативности произведения симметрий a, c (рис. 4) их коммутатор [ac] = e, то есть (e1, e2). Легко проверить, что [ab] = z (рис. 4), то есть (-e1, -e2).

Множество из коммутаторов { (e1, e2); (-e1, -e2) } уже образует группу, поэтому по определению оно является коммутантом группы симметрий G2. Коммутант от полученного коммутанта, в силу коммутативности группы есть единица e.

Группа, обладающая свойством, что последовательность ее коммутантов приводит к группе, состоящей из одной единицы, называется разрешимой.

Таким образом, группа симметрий квадрата разрешима.

Группа симметрий куба

Изучим теперь группу симметрий куба и выясним, разрешима она или нет?

Для этого используем символику, введенную в предыдущем параграфе. С кубом жестко свяжем три вектора e1, e2, e3 (рис. 5). При любом преобразовании куба тройка векторов (e1, e2, e3) займет новое положение ( ei,  ej,  ek) (i, j, k = 1, 2, 3; i j k, i k). Каждому преобразованию куба отвечает свой символ, верно и обратное. Одни из них будут обозначены символом, полученным перестановкой четного числа векторов (циклической).

Это: (e3, e1, e2) - соответствует повороту вокруг оси DB1 на 120о (рис. 6) (две перестановки: e2 с e3 и e3 с e1); (e2, e3, e1) - соответствует обратному повороту (на -120о) (две перестановки: e1 с e3 и e3 с e2); (e1, e2, e3) - тождественному преобразованию (нуль перестановок). Другие преобразования будут обозначены символом, полученным нечетным числом перестановок. Это символы, соответствующие плоскостным симметриям:

Например, (e2, e1, e3) - симметрия относительно плоскости BB1D1D (рис. 7) (одна перестановка: e1 и e2).

В соответствии с числом перестановок будем называть символы (e1, e2, e3), (e3, e1, e2), (e2, e3, e1) четными, а символы (e1, e3, e2), (e3, e2, e1), (e2, e1, e3) - нечетными.

Но в каждом символе могут присутствовать знаки минус (-) (один, два или три). Например:

(e1, e2, e3) - тождественное преобразование e,

(-e1, -e2, -e3) - центральная симметрия относительно центра,

(-e1, e2, e3), (e1, -e2, e3), (e1, e2, -e3) - плоскостные симметрии относительно плоскостей a, b, c (рис. 8),

(-e1, -e2, e3), (-e1, e2, -e3), (e1, -e2, -e3) - осевые симметрии относительно осей, параллельных соответственно векторам e3, e2, e1.

Итак, для трех векторов существует 6 перестановок и в каждой перестановке можно 8-ью способами расставить знаки (+), (-). Таким образом, вся группа движений куба содержит 6х8 = 48 элементов.

Умножение символов из трех векторов будем производить так же, как и умножение символов из двух векторов. Для вычисления коммутаторов потребуются обратные преобразования, поэтому отметим следующее. Так как преобразования куба, обозначенные символами (ε1e1, ε2e2, ε3e3) (εi= 1, i=1,2,3), а также нечетными символами (e1, e3, e2), (e3, e2, e1), (e2, e1, e3) есть симметрии, то каждое из них совпадает со своим обратным преобразованием:

(ε1e1, ε2e2, ε3e3)-1 = (ε1e1, ε2e2, ε3e3),

(e1, e3, e2)-1 = (e1, e3, e2), (e3, e2, e1)-1 = (e3, e2, e1), (e2, e1, e3)-1 = (e2, e1, e3).

Для поворота вокруг оси в данном направлении обратным является поворот вокруг той же оси в противоположном направлении на такой же угол, поэтому (e3, e1, e2)-1 = (e2, e3, e1) и наоборот (e2, e3, e1)-1 = (e3, e1, e2).

Упражнение. Проверьте справедливость следующих равенств:

(e3, e1,e2) (e2, e3, e1) = (e1, e2, e3).

(e3, e1, e2) (e2, e1, e3) = (e3, e2, e1).

(-e3, -e2, e1) (-e2, e1, -e3) = (e3, -e1, -e2).

(-e1, -e2, -e3) (-e1, -e3, e2) = (e1, e3, -e2).

(-e2, -e1, e3) (-e3, -e2, e1) = (e2, e3, e1).

Из рассмотренных упражнений следует, что умножение двух четных символов дает четный символ (упр. 1), умножение двух нечетных символов - четный символ (упр. 3, 5), умножение четного и нечетного - нечетный символ (упр. 2, 4). Из упражнений 3, 4, 5 ясно, что по-прежнему, как и при умножении символов из двух векторов, четность числа минусов в произведении совпадает с четностью числа суммы минусов сомножителей.

Выясним теперь, разрешима ли группа симметрий куба (G3)?

Коммутатор [ab] есть результат умножения четырех сомножителей aba-1b-1. Поэтому в силу предыдущих замечаний и следствий, вытекающих из упражнений, любой коммутатор группы симметрий куба задается четным символом (таких три), имеющим четное число минусов (либо два, либо ни одного). Вычисление показывает, что коммутант группы симметрий куба состоит из следующих преобразований:

(e1, e2, e3), (e3, e1, e2), (e2, e3, e1),

(e1, -e2, -e3), (e3, -e1, -e2), (e2, -e3, -e1),

(-e1, e2, -e3), (-e3, e1, -e2), (-e2, e3, -e1),

(-e1, -e2, e3), (-e3, -e1, e2), (-e2, -e3, e1).

Табл. 2

Найдем коммутант от полученного коммутанта ().

Элементы первой строки табл. 2 образуют коммутативную группу поворотов вокруг оси DB1, поэтому все коммутаторы группы без учета знаков сводятся к единице (e1, e2, e3). С учетом же знаков коммутаторами будут преобразования первого столбца табл.2 (число минусов коммутатора может быть по-прежнему только четно):

(e1, e2, e3), (e1, -e2, -e3), (-e1, e2, -e3), (-e1, -e2, e3).

Эти четыре элемента образуют коммутативную группу с таблицей умножения такой же, как у группы Клейна (K4) (табл. 1). Таким образом, коммутантом группы является коммутативная группа Клейна, а ее коммутант есть единица. Так как последовательность коммутантов группы приводит к единице:

  = e,

то группа симметрий куба разрешима.

Аналогично тому, как от квадрата (двумерного куба) мы перешли к трехмерному кубу, можно от трехмерного куба перейти к четырехмерному и пятимерному. Представить эти фигуры трудно, но можно дать им следующее описание. Три взаимно-перпендикулярных вектора, отложенных от центра трехмерного куба, задают прямоугольную систему координат Oxyz (рис. 5) трехмерного пространства. Координаты восьми вершин куба в этой системе координат есть наборы троек чисел вида: ( 1,  1,  1). В четырехмерном пространстве система координат содержит четыре взаимно-перпендикулярных вектора (e1, e2, e3, e4). Тогда четырехмерный куб можно задать 16-ью вершинами с координатами ( 1,  1,  1,  1). Аналогично можно получить пятимерный куб. Тогда движения этих кубов можно также задать символами из четырех и пяти векторов:

( ei,  ej,  ek,  et);

i, j, k, t = 1, 2, 3, 4;

i j k t; j t i k;

( ei,  ej,  ek,  et,  ep);

i, j, k, t, p = 1, 2, 3, 4, 5;

i j k t p; j t i k p; i p j.

Если рассмотреть группы симметрий четырехмерного куба (G4) и пятимерного куба (G5), то проводя аналогичные рассуждения, можно доказать, что группа G4 разрешима, а группа G5 - не разрешима.

Коммутаторами этих групп ( и ) по-прежнему будут преобразования, обозначенные четными символами с четным числом минусов. Так в входят преобразования, символы которых, без учета знаков получаются из (e1, e2, e3, e4):

1) если один вектор остается на месте, а три переставлены четное число раз; например, (e1, e4, e2, e3) или

2) путем перестановки векторов в двух парах, таких без учета знаков - три:

(e2, e1, e4, e3); (e3, e4, e1, e2); (e4, e3, e2, e1).

Например, символ (e2, e1, e4, e3) получится из (e1, e2, e3, e4), если переставить вектора в паре e1, e2 и в паре e3, e4. Если к последней строке добавить единицу (e1, e2, e3, e4), то опять будем иметь группу Клейна. Читатель может проверить, что коммутант группы состоит из элементов этой группы Клейна, взятых с четным числом минусов (нуль, два, четыре). Коммутант состоит из восьми элементов. Все они записываются символом с натуральным порядком векторов и имеют четное число минусов. Группа - коммутативная, поэтому ее коммутант состоит из одной единицы. Из чего следует, что группа симметрий четырехмерного куба разрешима.

Группа не разрешима, так как = = = ...  e, так же как и группа для n>5.

Добавим, что проблема разрешимости группы связана с проблемой разрешимости алгебраического уравнения в радикалах. Так уравнения выше 4-ой степени не разрешимы в радикалах. Это означает, что существуют уравнения n-ой степени (n>4), корни которых нельзя выразить через коэффициенты этого уравнения с помощью алгебраических действий и извлечения корней n-ой степени.