Формула Шлетца

КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.

§1. Пространство R(p₁,p₂).

А₁- аффинная прямая. Отнесем прямую А₁к подвижному реперу r ={a,`e}, где аи`eсоответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= q`e , d`e= W`e (1),

причем формы Пфаффа q и Wподчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :

D q = qÙW , DW=WÙW=0.

Пусть e* - относительная длина вектора e* =`e + d`e + 1/2d²`e + 1/6d<sup>3</sup>`e +... по отношению к вектору `е. Тогда `e*=e*`e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора `e*, близкого к `e , по отношению к `e.

Пусть R(p₁,p₂) – пространство всех пар (p₁,p₂)точек p₁,p₂ прямой А_1. Поместим начало а репера rв середину Qотрезка р₁р₂, а конец вектора `е – в точку р<sub>1</sub>; при этом р<sub>2</sub>совместится с концом вектора -`е.

Условия стационарности точек р₁ и р₂ в таком репере имеют соответственно вид: W+q=0, -W+q=0.

Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р₁,р₂) являются формы Пфаффа : W+q , -W+q.

Очевидно, что dim R(p₁,p₂)=2. Заметим ,что в репере rформа 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р₁*р₂*, близкого к р₁р₂,по отношению к р₁р₂.

§ 2. Отображение f.

А₂ – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R={p,`e<sub>j</sub>}. Деривационные формулы репера Rи уравнения структуры плоскости А<sub>2</sub> имеют соответственно вид :dp=W<sup>j</sup>e<sub>j</sub> ; d`e_j=W_j ^k;

DW^j=W^k^W_k^j ; DW^j=W_j^y^W_y^k .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение fплоскости А₂ в пространстве R(p₁,p₂):f:A₂®R(p₁,p₂).

Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f=2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f^-1(p₁,p₂). Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

Q+W=l_jW^j; Q-W=m_jW^j (2)

Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f^-1: R(p₁,p₂)®A₂обратное к f.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f^-1имеют вид :

W^j=l^j(Q+W)+m^j(Q-W) (3)

Из (2) и (3) получаем :

l^kl_j+m^km_j=d_j^k

l^jl_j=1

m^jm_j=1 (*)

l^jm_j=0

m^jl_j=0

Указанную пару {r;R} реперов пространств А₁ и А₂ будем называть репером нулевого порядка отображения f.

§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f.

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.

D(λ_jW^j-W-Q)=0,

получаем :

dλ_j=λ_kW_j^k+14(λ_jμ_k-λ_kμ_j)W^k+λ_jkW^k

D(μ_jW^j+W-Q)=0

получаем :

dμ_j=μ_kW_j^k+14(λ_jμ_k-λ_kμ_j)W^k+μ_jkW^k

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид :

Q+W=λ_jW^j

Q-W=μ_jW^j

dλ_j=λ_kW_j^k+14(λ_jμ_k-λ_kμ_j)W^k+λ_jkW^k

dμ_j=μ_kW_j^k+14(λ_jμ_k-λ_kμ_j)W^k+μ_jkW^j

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г₁={λ_j,μ_j} является геометрическим объектом.Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :

dλ_k^W_j^k+λ_kdW_j^k+14(λjμ_k-λ_kμ_j)^W^k+14(λ_jμ_k-λ_kμ_j)dW^k+dλ_jk^W^k+λ_jkdW^k=0.

получим:

(dλ_jt-λ_ktW_j^k-λ_jkW_t^k+14(λ_kμ_jt-μ_kλ_jk)W^k+116λ_tμ_k(λ_j-μ_j)W^k)^W^t=0

dμ_k^W_j^k+μ_kdW_j^k+14d(λ_jμ_k-λ_kμ_j)^W^k+14(λ_jμ_k-λ_kμ_j)dW^k+dμ_jk^W^k+μ_jkdW^k=0

получим:

(dμ_jt-μ_ktW_j^k-μ_jtW_t^k+14(λ_kμ_jt-μ_kλ_jt)W^k+116λ_tμ_k(λ_j-μ_j)W^k)^W^t=0

обозначим:

λ_j=dλ_j-λ_tW_j^t

μ_j=dμ_j-μ_tW_j^t

λ_jk=dλ_jk-λ_tkW_k^t-λ_jtW_k^t

μ_jk=dμ_tkW_j^t-μ_jtW_k^t

Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения fпримет вид:

Q+W=λ_jW^j

Q-W=μ_jW^j

dλ_j=λ_kW_j^k+14(λ_jμ_k-λ_kμ_j)W^k+λ_jkW^k

dμ_j=μ_kW_j^k+14(λ_jμ_k-λ_kμ_j)W^k+μ_jkW^k (4)

λ_jk=(14(μ_αλ_jk-λ_αμ_jk)+116λ_kμ_α(μ_j-λ_j)+λ_jkα)W^α

μ_jk=(14(μ_αλ_jk-λ_αμ_jk)+116λ_kμ_α(μ_j-λ_j)+μ_jkα)W^α

Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г₂={λ_j,μ_j,λ_jk,μ_jk}образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту Г_Р порядка р :

Г_Р={λ_j,μ_j,λ_j1j2,μ_j1j2,...,λ_j1j2...jp,μ_j1j2...jp}.

§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.

Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин {λ_j},{μ_j}образует подобъекты геометрического объекта Г₁. Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:

λ_jX^j=1 ; μ_jX^j=1 (6)

не инцидентные точке Р. Из условия rang f=2и уравнения (2)вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*)показывают, что величины {λ^j,μ^j}являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины {λ^j,μ^j}охватываются объектом Г₁.

Из (*) получаем:

dλ^j=-λ^kW_k^j-14(λ^j+μ^j)μ_tW^t-λ_ktλ^kλ^tW^t-μ_ktW^t^λ^kμ^j

dμ^j=-μ^kW_k^j-λ_ktμ^kλ^jW^t-μ_ktμ^kμ^jW^t+14λ_t(λ^j+μ^j)W^t

Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г₁. Будем называть их основными векторами 1-го порядка.

Предположение 1.Конец вектора v₁=λ^je_j(вектора v₂=μ^je_j) лежит на прямой (6). Доказательство вытекает из формул (*),(2). Прямые, параллельные прямым (6), инцидентные точке Р, определяются соответственно уравнениями:

λ_jX^j=0 , μ_jX^j= 0 (7).

Предположение 2. Основные векторы {λ^j}и {μ^j}параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7). Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:

λ_jX^j=1

V₂

V₁μ_jX^j=1

Система величин ρ_j=λ_j-μ_jобразует ковектор: dρ_j=ρ_kW_j^k+(μ_jk-λ_jk)W^k.

Определяемая им прямая ρ_jX^j=0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6).

Пусть W-однородное подмногообразие в R(p₁,p₂)содержащее элементы (р₁,р₂) определяемое условием: (р₁^*,р₂^*)∈W↔p₁^*p₂^*=p₁p₂.

Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Рк прообразу f^-1(W)многообразия Wпри отображении f.

Доказательство:

] (p₁^*,p₂^*)∈W и p₁^*=p₁+dp₁+12d²p₁+... ,

p₂^*=p₂+dp₂+12d²p₂+... .

Тогда в репере Г: p₁^*p₂^*=e p₁p₂, где e=1+2W+...является относительной длиной отрезка р₁^*р₂^* по отношению к р₁р₂. Таким образом, (р₁^*р₁^*)∈W↔W=0.

Из (2) получим: W=ρ₁W^j

Следовательно, (р₁^*р₂^*)∈W равносильно ρ_jW^j=0(9)

Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.

При фиксации элемента (р₁,р₂)∈R(p₁p₂) определяется функция h:(p₁^*p₂^*)∈h(p₁p₂)→e∈R, так, что р₁^*р₂^*=е р₁р₂

В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f^-1(W)является линией уровня функцииh. Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линииf^-1(W).

]W₁,W₂- одномерные многообразия вR(p₁p₂), содержащие элемент (р₁р₂) и определяемые соответственно уравнениями:

(p₁^*,p₂^*)єW₁↔p₂^*=p₂.

(p₁^*,p₂^*)єW₂↔p₁^*=p₁.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразияW₂ (многообразияW₁) при отображенииf.

Дифференциальные уравнения линииf^-1(W₁)и f^-1(W₂) имеют соответственно вид:

λ_jW^j=0

μ_jW^j=0.

Пусть W₀- одномерное подмногообразиев R(p₁p₂), содержащее (р₁р₂) и определяемое условием: (p₁^*p₂^*)єW₀↔Q*=Q ,где Q*– середина отрезка р₁^*р₂^*. Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.

Предложение 3. Прямая(λ_j+μ_j)X^-j=0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f^-1(W₀) многообразияW₀ при отображенииf. Дифференциальное уравнение линииf^-1(W₀) имеет вид:(λ_j+μ_j)W^j=0.

Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиямf^-1(W₁), f^-1(W₂), f^-1(W), f^-1(W₀) составляют гармоническую четверку.

Доказательство вытекает из (7),(8),(10).

§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f.

Рассмотрим отображения:

П₁: (р₁,р₂)∊R(p₁,p₂)→p₁∊A₁ (5.1)

П₂: (р₁,р₂)∊R(p₁,p₂)→p₂∊A₁ (5.2)

Отображение f: A₂→R(p₁,p₂)порождает точечные отображения:

φ₁=П₁∘f: A₂→A₁ (5.3)

φ₂=П₂∘f: A₂→A₁ (5.4)

В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ₁ и φ₂ меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б). Подобъекты Г_1,2={λ_j,λ_jk} и Г_2,2={μ_j,μ_jk} объекта Г₂ являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ₁ и φ₂.

В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:

x=1+λ_jX^j+1/2λ_jkX^jX^k+1/4λ_yρ_kX^jX^k+<3>, (5.5)

y=-1+μ_jX^j+1/2μ_jkX^jX^k+1/4μ_yρ_kX^jX^k+<3>, (5.6)

Введем системы величин:

Λ_jk=λ_jk+1/4(λ_jρ_k+λ_kρ_j),

Μ_jk=μ_jk+1/4(μ_jρ_k+μ_kρ_j)

Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:

x=1+λ_jX^j+1/2Λ_jkX^jX^k+<3> (5.7)

y=-1+μ_jX^j+1/2Μ_jkX^jX^k+<3> (5.8)

В <4> доказано, что существует репер плоскости А₂, в котором выполняется:

λ₁ λ₂ 1 0

=

μ₁ μ₂ 0 1

Этот репер является каноническим.

Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.

Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:

x=1+X¹+1/2Λ_jkX^jX^k+<3> (5.9),

y=-1+X²+1/2Μ_jkX^jX^k+<3> (5.10).

§6. Инвариантная псевдориманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

G_jk=1/2(λ_jμ_k+λ_kμ_j)

Из (3.1) получим:

dG_jk=1/2(dλ_jμ_k+λ_jμ_k+dλ_kμ_j+λ_kdμ_j)=1/2(μ_kλ_tW_j^t+1/4λ_jμ_kμ_tW^t-14μ_kμ_tλ_tW^t+μ_kλ_jtW^t+λ_jμ_tW_k^t+

+1/4λ_jλ_kμ_tW^t-1/4μ_jλ_kμ_tW^t-1/4μ_jλ_tμ_kW^t+μ_jλ_ktW^t+λ_kμ_tW_j^t+1/4λ_kλ_jμ_tW^t-1/4λ_kλ_tμ_jW^t+

+λ_kμ_jtW^t),

dG_jk=1/2(μ_kλ_t+λ_kμ_t)W_j^t+1/2(λ_jμ_t+λ_tμ_j)W_k^t+G_jktW^t,

где G_jkt=1/2(μ_kλ_jt+λ_yμ_kt+μ_jλ_kt+λ_kμ_jt-1/2μ_jμ_kλ^t+1/2λ_jλ_kμ_t-1/4λ_jμ_kλ_t+1/4λ_jμ_kμ_t+1/4μ_jλ_kμ_t-

-1/4μ_jλ_kλ_t) (6.3).

Таким образом, система величин {G_jk}образует двухвалентный тензор. Он задает в А₂ инвариантную метрику G:

dS²=G_jkW^jW^k (6.4)

Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS²=θ²-W² (6.5)в R(p₁,p₂).

Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.

Асимптотические направления определяются уравнением G_jkW^jW^k=0или

λ_jW^jμ_kW^k=0 (6.6)

Предложение: Основные векторы V₁и V₂определяют асимптотические направления метрики G.

Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек (x,U) и (y,U^’)расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU^’)

Теорема: Метрика dS²=θ²-W²совпадает с метрикой Розенфельда .

Доказательство: В репере rимеем для координат точек p₁,p₂,p₁+dp₁,p₂+dp₂

Соответственно: 1,-1,1+θ+W,-1+θ-W.

Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем

dS²=θ²-W²

Следствие: Метрика Gсохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.

В работе <3> был построен охват объекта

Г^l_jk=1/2G^tl(G_tkj+G_jtk-G_jkt)

псевдоримановой связности Gфундаментальным объектом Г₂={λ_j,μ_j,λ_jk,μ_jk}.

Онопределяется формулой: Г^l_jk=λ^jΛ_jk+μ^lΜ_jk-λ^lλ_tλ_k+μ^lμ_tμ_k.

§7. Инвариантная риманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

g_jk=λ_jλ_k+μ_jμ_k (7.1)

Из (3.1) получаем:

dg_jk=dλ_jλ_k+dλ_kλ_j+dμ_jμ_k+dμ_kμ_j=λ_kλ_tW_j^t+1/4λ_kλ_jμ_tW^t-1/4λ_jλ_tμ_jW^t+λ_kλ_jtW^t+λ_jλ_tW_k^t+

+1/4λ_jλ_kμ_tW^t-1/4λ_jλ_tμ_kW^t+λ_jλ_ktW^t+μ_kμ_tW_j^t+1/4μ_kλ_jμ_tW^t-1/4μ_kλ_tμ_jW^t+μ_kμ_jtW^t+

+μ_jμ_tW_k^t+1/4μ_jλ_kμ_tW^t-1/4μ_jλ_tμ_kW^t+μ_jμ_ktW^t.

dg_jk=(λ_kλ_t+μ_kμ_t)W_j^t+(λ_jλ_t+μ_jμ_t)W_k^t+g_jktW^t, (7.2)

где g_jkt=1/2λ_jλ_kμ_t-1/2μ_jμ_kλ_t-1/4λ_kλ_tμ_j-1/4λ_jλ_tμ_k+1/4λ_jμ_kμ_t+1/4μ_jλ_kμ_t+λ_kλ_jt+λ_jλ_kt+

+μ_kμ_jt+μ_jμ_kt (7.3)

Таким образом, система величин {g_jk}образует двухвалентный тензор. Он задает в А₂инвариантную метрику g:

dS²=g_jkW^jW^k (6^’.4)

Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6^’.4) соответствует при отображении fметрике:

dS²=2(θ²+W²) (6^’.5)

в R(p₁,p₂)

Из (6^’.5)вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:

GjkXjXk=1 (6^’.6)

или (λ_jX^j)²+(μ_jX^j)²=1 (6^’.7)

Из (6^’.7) вытекает:

Предложение 7.1: Единичная окружность метрики gс центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.

Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g.

V₁

V₂ рис.3.

Пусть g^jk=λ^jλ^k+μ^jμ^k (6.8)

В силу (2.7) имеем:

g^jtg_tk=(λ^jλ^t+μ^jμ^t)(λ_tλ_k+μ_tμ_k)=λ^jλ^k+μ^jμ^k=δ_k^j (6^’.9)

Таким образом, тензор g^jkявляется тензором взаимных к g_jk. Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.

Предложение 7.2: Поле основного вектора {λ^j}(вектора {μ^j})соответствует в метрике g полю основного ковектора {λ_j} (ковектора {μ_j}).

Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g.

Доказательство:

λ^jλ^kg_jk=λ^jλ^kλ_jλ_k+λ^jλ^kμ_jμ_k=1,

μ^jμ_kg_jk=μ^jμ^kλ_jλ_k+μ^jμ^kμ_jμ_k=1,

λ^jμ^kg_jk=λ^jμ^kλ_jλ_k+λ^jμ^kμ_jμ^k=0.

Таким образом, fзадает на А₂ структуру риманова пространства (A₂,g_f).

В работе <2> был построен охват объекта

γ_jk^l=1/2g^tl(g_tkj+g_jtk-g_jkt)

римановой связности γ фундаментальным объектом

Г₂={λ_j,μ_j,Λ_jk,Μ_jk}

Он определяется формулой:

γ_jk^l=λ^lΛ_jk+μ^lM_jk+G_jk(λ^l-μ^l)+1/2(λ^l+μ^l)(μ_jμ_k-λ_jλ_k),

где G_jk=1/2(λ_jμ_k+λ_kμ_j).