Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

Министерство образования РФ и РТ.

Казанский Государственный Университет им. А.Н.Туполева.

_______________________________________________

Курсовая работа по дисциплине

«Численные методы оптимизации»

Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом.

Выполнил: ст.гр.4408 Калинкин А.А.

Проверил: Мурга О.К.

г. Казань2001г.

Содержание

1. Постановка задачи

1.1. Физическая (техническая) постановка задачи

Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката:

- 400 тыс. л. алкилата;

- 250 тыс. л. крекинг-бензина;

- 350 тыс. л. бензина прямой перегонки;

- 250 тыс. л. изопентона;

В результате смешивания этих четырёх компонентов в разных пропорциях образуются три сорта авиационного бензина:

- Бензин А – 2 : 3 : 5 : 2 ;

- Бензин В – 3 : 1 : 2 : 1 ;

- Бензин С – 2 : 2 : 1 : 3 ;

Стоимость 1 тыс.л. указанных сортов бензина:

- Бензин А – 120 руб.

- Бензин Б – 100 руб.

- Бензин С – 150 руб.

Необходимо определить план смешения компонентов, при котором будет достигнута максимальная стоимость все продукции. При следующих условиях:

- Бензина каждого сорта должно быть произведено не менее 300 тыс..л.

- Неиспользованного крекинг бензина должно остаться не более 50 тыс.л.

Сводная таблица условий задачи:

1.2. Математическая постановка задачи

Исходя из условий задачи, необходимо максимизировать следующую целевую функцию:

(1.2.1)

при ограничениях

(1.2.2)

, где

В этих выражениях:

- объемы бензина А-го, В-го и С-го сорта соответственно.

Тогда

объёмная доля первой компоненты (алкилата) в бензине А.

объёмная доля первой компоненты (алкилата) в бензине В.

объёмная доля первой компоненты (алкилата) в бензине С.

и т.д.

Целевая функция выражает стоимость всей продукции в зависимости от объема производимого бензина каждого сорта. Таким образом, для получения максимальной стоимости продукции необходимо максимизировать целевую функцию (1.2.1) с соблюдением всех условий задачи, которые накладывают ограничения (1.2.2) на .

2.Приведение задачи к канонической форме

Задача линейного программирования записана в канонической форме, если она формулируется следующим образом.

Требуется найти вектор , доставляющий максимум линейной форме

(2.1)

при условиях

(2.2)

(2.3)

где

Перепишем исходную задачу (1.2.1) - (1.2.2):

(2.4)

при ограничениях

(2.5)

, где (2.6)

В канонической форме задачи линейного программирования необходимо, чтобы все компоненты искомого вектора Х были неотрицательными, а все остальные ограничения записывались в виде уравнений. Т.е. в задаче обязательно будут присутствовать условия вида (2.3) и 8 уравнений вида (2.2), обусловленных неравенствами (2.5), (2.6).

Число ограничений задачи, приводящих к уравнениям (2.2) можно уменьшить, если перед приведением исходной задачи (2.4) - (2.6) к канонической форме мы преобразуем неравенства (2.6) к виду (2.3). Для этого перенесем свободные члены правых частей неравенств (2.6) в левые части. Таким образом, от старых переменных перейдем к новым переменным, где :

, .

Выразим теперь старые переменные через новые

, (2.7)

и подставим их в линейную форму (2.4) и в неравенства (2.5), (2.6). Получим

, где .

Раскрывая скобки и учитывая, что

(2.8),

можем окончательно записать:

(2.9)

(2.10)

, где (2.11)

Путем несложных преобразований задачу (1.2.1), (1.2.2) свели к задаче (2.9) - (2.11) с меньшим числом ограничений.

Для записи неравенств (2.10) в виде уравнений введем неотрицательные дополнительные переменные , и задача (2.9) - (2.11) запишется в следующей эквивалентной форме:

(2.12)

(2.13)

, где

Задача (2.12), (2.13) имеет каноническую форму.

3. Нахождение начального опорного плана с помощью L-задачи

Начальный опорный план задачи (2.1) - (2.3), записанной в канонической форме, достаточно легко может быть найден с помощью вспомогательной задачи (L-задачи):

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Начальный опорный план задачи (3.1) - (3.3) известен. Он состоит из компонент

и имеет единичный базис Б = = E.

Решая вспомогательную задачу первым алгоритмом симплекс-метода (описание алгоритма приводится в п.4), в силу ограниченности линейной формы сверху на множестве своих планов () получим, что процесс решения через конечное число шагов приведет к оптимальному опорному плану вспомогательной задачи.

Пусть - оптимальный опорный план вспомогательной задачи. Тогда является опорным планом исходной задачи. Действительно, все дополнительные переменные . Значит, удовлетворяет условиям исходной задачи, т.е. является некоторым планом задачи (2.12) - (2.13). По построению план является также опорным.

3.1. Постановка L-задачи

Вспомогательная задача для нахождения начального опорного плана задачи (2.12) - (2.13) в канонической форме состоит в следующем.

Требуется обратить в максимум

при условиях

, где .

Здесь добавление только одной дополнительной переменной (вместо пяти) обусловлено тем, что исходная задача уже содержит четыре единичных вектора условий А_4, А_5, А_6, А_7.

3.2. Решение L-задачи

Решение L-задачи будем проводить в соответствии с первым алгоритмом симплекс-метода (описание алгоритма приводится в п.4). Составим таблицу, соответствующую исходному опорному плану (0-й итерации).

Т.к. Б₀ = - базис, соответствующий известному опорному плану, является единичной матрицей, то коэффициенты разложения векторов А_jпо базису Б₀

.

Значение линейной формы и оценки для заполнения (m+1)-й строки таблицы определяются следующими соотношениями:

,

.

Отсюда получим:

;

;

;

…

.

Весь процесс решения задачи приведен в табл. 3.2.1, которая состоит из 2 частей, отвечающих 0-й (исходная таблица) и 1-й итерациям.

Заполняем таблицу 0-й итерации.

Среди оценок имеются отрицательные. Значит, исходный опорный план не является оптимальным. Перейдем к новому базису. В базис будет введен вектор А₁ с наименьшей оценкой . Значения tвычисляютсядля всех позиций столбца t (т.к. все элементы разрешающего столбца положительны). Наименьший элемент достигается на пятой позиции базиса. Значит, пятая строка является разрешающей строкой, и вектор А₉ подлежит исключению из базиса.

Составим таблицу, отвечающую первой итерации.

В столбце Б_х, в пятой позиции базиса место вектора А₉занимает вектор А₁. Соответствующий ему коэффициент линейной формы С₄₁ = 0 помещаем в столбец С_х. Главная часть таблицы 1 заполняется по данным таблицы 0 в соответствии с рекуррентными формулами. Так как все , то опорный план является решением L-задачи. Наибольшее значение линейной формы равно .

Таблица 3.2.1

3.3. Формирование начального опорного плана исходной задачи линейного программирования из оптимального плана L-задачи

Поскольку , где - оптимальный опорный план L-задачи, то является начальным опорным планом исходной задачи (2.12) - (2.13).

4. Решение исходной задачи I алгоритмом симплекс-метода

Описание I алгоритма

Симплекс-метод позволяет, отправляясь от некоторого исходного опорного плана и постепенно улучшая его, получить через конечное число итераций оптимальный план или убедиться в неразрешимости задачи. Каждой итерации соответствует переход от одной таблицы алгоритма к следующей. Таблица, отвечающая опорному плану в ν-й итерации имеет вид табл. 4.1.

Таблица 4.1

Заполнение таблицы, соответствующей исходному опорному плану (0-й итерации). Пусть некоторый опорный план задачи (2.1) - (2.3) с базисом . Тогда – базисные компоненты, а – небазисные компоненты.

Вычисляем коэффициенты разложения векторов А_j по базису Б₀

(в случае, если Б₀является единичной матрицей, )

и находим оценки . Далее определяем значение линейной формы

Полученные результаты записываем в таблицу 4.1.

В первом столбце N таблицы указываются номера строк. Номера первых m строк совпадают с номерами позиций базиса. Во втором столбце С_х записываются коэффициенты линейной формы при базисных переменных. Столбец Б_х содержит векторы базиса . В столбце В записываются базисные переменные опорного плана. Столбцы содержат коэффициенты разложения соответствующих векторов условий по векторам базиса. Все вышесказанное относится только к первым mстрокам таблицы. Последняя (m+1)-я строка таблицы заполняется последовательно значением линейной формы Fи оценками . Позиции таблицы, которые не должны заполняться, прочеркиваются.

В результате заполнена таблица 0-й итерации кроме столбца t.

Столбцы В, А₁,…, A_n (все m+1 позиций) будем называть главной частью таблицы.

Порядок вычислений в отдельной итерации. Пусть ν-я итерация закончена. В результате заполнена таблица ν за исключением последнего столбца t.

Каждая итерация состоит из двух этапов.

I этап: проверка исследуемого опорного плана на оптимальность.

Просматривается (m+1)-я строка таблицы ν. Если все , то опорный план, полученный после ν-й итерации, является оптимальным (случай 1), завершаем решение задачи. Пусть теперь имеются отрицательные оценки. Проверяем знаки элементов столбцов с . Наличие по крайней мере одного столбца , для которого и все , свидетельствует о неразрешимости задачи (случай 2). Установив это, прекращаем вычисления.

Если в каждом столбце , для которого , содержится хотя бы один положительный коэффициент , то опорный план является неоптимальным (случай 3). Переходим ко II этапу.

II этап: построение нового опорного плана с большим значением линейной формы.

Определяется векторA_k, который должен быть введен в базис, из следующего условия

.

После этого заполняется последний столбец таблицы ν – столбец t. В него записываются отношения базисных переменных (элементы столбца В) к соответствующим составляющим (элементы столбца A_k). Т.о. заполняются только те позиции, для которых . Если , то в позиции iстолбца tзаписывается . Вектор базиса , на котором достигается t₀,

,

подлежит исключению из базиса (если t₀достигается на нескольких векторах, то из базиса исключается любой из них).

Столбец A_k, отвечающий вектору, вводимому в базис, и l-я строка, соответствующая вектору, исключаемому из базиса, называется соответственно разрешающим столбцом и разрешающей строкой. Элемент , расположенный на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, называется разрешающим элементом.

После выделения разрешающего элемента заполняется (ν+1)-я таблица. В l-е позиции столбцов Б_х, С_х вносятся соответственно А_к, С_к, которые в (ν+1)-й таблице обозначаются как , . В остальные позиции столбцов Б_х, С_х вносятся те же параметры, что и в таблице ν.

Далее заполняется главная часть (ν+1)-й таблицы. Прежде всего происходит заполнение ее l-й строки в соответствии с рекуррентной формулой

.

Рекуррентная формула для заполнения i-й строки (ν+1)-й таблицы имеет вид

.

Здесь

.

Заполнение главной части (ν+1)-й таблицы завершает (ν+1)-ю итерацию. Последующие итерации проводятся аналогично. Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет получен оптимальный план либо будет установлено, что исследуемая задача неразрешима.

Решение исходной задачи

Весь процесс решения исходной задачи (2.12) - (2.13) приведен в табл. 4.2.

Заполнение таблицы, отвечающей 0-й итерации, происходит на основе табл. 3.2.1 (см. итерацию 1) следующим образом. Главная часть таблицы 0-й итерации исходной задачи (за исключением (m+1)-й строки) полностью повторяет главную часть таблицы заключительной итерации L-задачи без столбца А₉. Также без изменений остается столбец базисных векторов Б_х. Строка С коэффициентов линейной формы исходной задачи и столбец С_х коэффициентов при базисных переменных заполняются исходя из (2.12). С учетом новых коэффициентов С пересчитываются значение линейной формы Fи оценки .

Заполнение таблиц, отвечающих последующим итерациям, происходит в соответствии с описанным выше первым алгоритмом.

Таблица 4.2

Решение исходной задачи(2.12) - (2.13)получено за 3 итерации. Оптимальный план ее равен и .

Найденное решение задачи в канонической форме (2.12) - (2.13) соответствует решению (4.1) общей задачи линейного программирования (2.9) - (2.11), записанной для новых переменных . Для общей задачи из (2.9) следует, что (4.2).

Вернемся к задаче (1.2.1), (1.2.2) со старыми переменными . Учитывая (4.1) и (4.2) из (2.7) и (2.8) получим

(4.3)

и

. (4.4)

Таким образом, для получения максимальной цены (142750 руб.) всей продукции необходимо произвести:

- 450 тыс.л. бензина А из полуфабрикатов в следующих количествах:

- Алкитата тыс.л.

- Крекинг-бензина тыс.л.

- Бензина прямой перегонки тыс.л.

- Изопентона тыс.л.

- тыс.л. бензина В из полуфабрикатов в следующих количествах:

- Алкитата тыс.л.

- Крекинг-бензина тыс.л.

- Бензина прямой перегонки тыс.л.

- Изопентона тыс.л.

- 300 тыс.л. бензина В из полуфабрикатов в следующих количествах:

- Алкитата тыс.л.

- Крекинг-бензина тыс.л.

- Бензина прямой перегонки тыс.л.

- Изопентона тыс.л.

5. Формирование М-задачи

Далеко не всегда имеет смысл разделять решение задачи линейного программирования на два этапа – вычисление начального опорного плана и определение оптимального плана. Вместо этого решается расширенная задача (М-задача). Она имеет другие опорные планы (один из них всегда легко указать), но те же решения (оптимальные планы), что и исходная задача.

Рассмотрим наряду с исходной задачей (2.1) - (2.3) в канонической форме следующую расширенную задачу (М-задачу):

(5.1)

(5.2)

. (5.3)

Здесь М>0 – достаточно большое число.

Начальный опорный план задачи (5.1) - (5.3) имеет вид

Переменные называются искусственными переменными.

Таким образом, исходная задача линейного программирования с неизвестным заранее начальным опорным планом сводится к М-задаче, начальный опорный план которой известен. В процессе решения этой расширенной задачи можно либо вычислить оптимальный план задачи (2.1) - (2.3), либо убедиться в ее неразрешимости, если оказывается неразрешимой М-задача.

В соответствии с вышеизложенным имеем: требуется решить задачу (2.12), (2.13), записанную в канонической форме. Введем искусственную неотрицательную переменную х₉ и рассмотрим расширенную М-задачу

(5.4)

при условиях

(5.5)

, где .

где М – сколь угодно большая положительная величина.

Как и в L-задаче, добавление только одной искусственной переменной (вместо пяти) обусловлено тем, что исходная задача уже содержит четыре единичных вектора условий А_4, А_5, А_6, А_7.

6. Решение М-задачи II алгоритмом симплекс-метода

Описание II алгоритма

Второй алгоритм (или метод обратной матрицы) симплекс метода основан на ином способе вычисления оценок векторов условий А_j, чем в первом алгоритме.

Рассматривается задача линейного программирования в канонической форме(2.1) - (2.3). Пусть Х – опорный план с базисом . Все параметры, необходимые для оценки плана на оптимальность и перехода к лучшему плану, можно получить, преобразовывая от шага к шагу элементы матрицы .

Действительно, зная обратную матрицу , можно получить базисные составляющие опорного плана:

и вычислить оценки векторов условий относительно текущего базиса

, (6.1)

предварительно определив вектор-строку по формуле

или

. (6.2)

Здесь - вектор-строка из коэффициентов линейной формы, отвечающих базисным переменным.

Оценки позволяют установить оптимальность рассматриваемого опорного плана и определить вектор А_к, вводимый в базис. Коэффициенты разложения вектора А_к по текущему базису вычисляются по формуле

.

Как и в I алгоритме, вектор, подлежащий исключению из базиса, определяется величиной

.

Таким образом при втором алгоритме на каждом шаге запоминаются базисные компоненты , обратная матрица , значение линейной формы F(X) и векторY, соответствующие текущему опорному плану Х. Элементы столбцов матрицы удобно рассматривать как коэффициенты разложения единичных векторов по векторам базиса. Рекуррентные формулы, связывающие параметры двух последовательных итераций

; (6.3)

. (6.3)

Здесь

.

Результаты вычислений сводятся в основные таблицы (вида табл. 6.1) и вспомогательную таблицу (вида табл. 6.2); столбцы В, е₁, …, е_m основных таблиц (все m+1 позиций) называют главной частью этих таблиц. Столбец А_k – разрешающий столбец, строка l – разрешающая строка.

Таблица 6.1 Таблица 6.2

Краткое описание алгоритма.

1. Нулевая итерация:

а) составляется вспомогательная табл. 6.2, в которую вносятся параметры задачи; дополнительная строка таблицы с номером ν заполняется по мере выполнения ν-й итерации;

б) составляется основная табл. 6.1 с номером 0, в которой заполняются первые m строк, за исключением последних двух столбцов Аk и t. Элементы и определяются скалярными произведениями (C_x, e_j) и (C_x, B) соответственно. Нулевая итерация заканчивается заполнением нулевой дополнительной строки вспомогательной таблицы с оценками .

2. (ν+1)-я итерация.

Пусть ν-я итерация закончена. В результате заполнена ν-я основная таблица, за исключением двух последних столбцов, и ν-я дополнительная строка вспомогательной таблицы. Просматривается эта строка. Если все , то опорный план - решение задачи. Если хотя бы одна , то в базис вводится вектор А_k с (обычно ). После этого заполняется столбец основной таблицы. В позицию (m+1) этого столбца заносится оценка вектора А_k. Остальные элементы этого столбца равны

.

Возможны два случая:

1) все - задача неразрешима;

2) хотя бы для одного i. В этом случае, также как и в первом алгоритме, заполняется столбец (t) основной таблицы ν, определяется разрешающий элемент . Главная часть заполняется по рекуррентной формуле (6.3). Заполняется (ν+1)-я дополнительная строка вспомогательной таблицы. На этом заканчивается (ν+1)-я итерация.

Решение М-задачи

Таблица 6.3

Таблица 6.4

Задача (5.4), (5.5) имеет опорный план Х₀ = (0, 0, 0, , , , , 0 , ) с базисом . Следовательно, . Процесс решения М-задачи вторым алгоритмом приведен в основной табл. 6.3 и вспомогательной табл. 6.4.

Решение М-задачи получено за 5 шагов. Оптимальный план ее равен и . В оптимальном плане М-задачи искусственная переменная х₉ = 0, поэтому - решение задачи (2.12), (2.13) и .

Окончательное решение задачи определения плана смешения компонентов полностью повторяет решение, рассмотренное в завершающей части п.4 (см. стр.11-12).

7. Формирование двойственной задачи

Произвольной задаче линейного программирования определенным образом соответствует некоторая другая задача линейного программирования. Будем называть ее двойственной, а первоначальную задачу – исходной.

Обозначим

; ; ; ; (7.1)

Теперь исходная задача (2.1) - (2.3) в канонической форме может быть записана в матричном виде следующим образом.

Требуется определить вектор , обращающий в максимум

. (7.2)

при условиях

AX=B; (7.3)

. (7.4)

Тогда двойственная задача – определить вектор , обращающий в минимум

f(Y)=YB (7.5)

при условиях

. (7.6)

Транспонируя обе части неравенства (7.6), записанного в виде строки, и учитывая , получим

. (7.7)

Отметим, что в двойственной задаче переменные y_iмогут быть и отрицательными.

Рассмотрим в качестве исходной задачу (2.12), (2.13). С учетом (7.1) и (7.7) запишем

С = (120, 100, 150, 0, 0, 0, 0, 0), B = (, , , , ),

.

Двойственная задача имеет вид

; (7.8)

(7.9)

8. Формирование оптимального решения двойственной задачи на основе теоремы о двойственности

Оказывается, что для задач (7.2) - (7.4) и (7.5), (7.6), называемых двойственной парой, справедлива следующая теорема.

Теорема (первая теорема о двойственности). Если одна из задач двойственной пары (7.2) - (7.4) и (7.5), (7.6) имеет решение, то другая задача также разрешима. При этом для любых оптимальных планов и (здесь М_х, М_у – множества планов соответственно прямой и двойственной задач) задач (7.2) - (7.4) и (7.5), (7.6) имеет место равенство

.

Если линейная форма одной из задач не ограничена (для F(X) – сверху, для f(Y) - снизу), то другая задача не имеет ни одного плана.

Оптимальное решение двойственной задачи может быть найдено на основе следующего следствия из этой теоремы.

Следствие. Если вектор является оптимальным опорным планом задачи (7.2) - (7.4), то вектор (8.1), является оптимальным опорным планом задачи (7.5), (7.6).

Стоит отметить, что в ходе решения исходной задачи вторым алгоритмом, при каждом шаге вычисляется вектор . И если Х – оптимальный опорный план задачи (7.2) - (7.4), то в (m+1)-й строке, соответствующей основной таблице, находится решение задачи (7.5), (7.6).

Пусть двойственная задача имеет вид (7.8), (7.9).

Так как исходная задача (2.12), (2.13) имеет решение, то на основании рассмотренной теоремы о двойственности двойственная задача также разрешима.

Оптимальным опорным планом исходной является (см. п.4, п.6). При этом

;

; .

Вычислим

.

На основании следствия из теоремы о двойственности можно заключить, что является оптимальным планом двойственной задачи, при котором . Анализируя (m+1)-ю строку основной таблицы (см. табл. 6.3, шаг 5), можно убедиться в том, что оптимальный план двойственной задачи, сформированный на основе теоремы о двойственности, совпадает с оптимальным планом, найденном при решении исходной задачи вторым алгоритмом симплекс-метода. Это говорит о том, что оптимальный план задачи (7.8) - (7.9) найден верно.

9. Анализ результатов и выводы

В данной работе рассматриваются два способа решения исходной задачи линейного программирования.

Первый заключается в том, что сначала решается вспомогательная задача (L-задача), позволяющая построить начальный опорный план, затем на основе этого найденного плана решается исходная задача (определяется ее оптимальный план). Второй способ является объединением двух этапов и состоит в решении расширенной задачи (M-задачи), также приводящей к нахождению оптимального плана исходной задачи.

Вычислительную основу этих двух способов решения составляют соответственно первый и второй алгоритмы симплекс-метода. Один из параметров, по которому может быть оценен любой итерационный алгоритм – количество шагов, приводящих к решению задачи или установлению ее неразрешимости. Для данной задачи наиболее эффективным методом оказался первый метод(L-задача + исходная задача), т.к. он привел к решению за 4 шага, а второй метод (M-задача) за 5 шагов. Разница в числе шагов, вероятно, обусловлена неоднозначность выбора разрешающего элемента в исходной таблице L-задачи (3.2.1).

Сравнение количества вычислений на каждой итерации приводит к следующим оценочным результатам рассматриваемых алгоритмов. Преимущественная часть вычислений на каждом шаге алгоритмов определяется размерностью главной части таблицы (в первом алгоритме) или основной таблицы (во втором алгоритме). В первом случае она имеет размерность (m+1)x(n+1), во втором - (m+1)x(m+1). Даже учитывая, что второй алгоритм требует построения вспомогательной таблицы, он оказывается более компактным.

Еще одно несомненное достоинство второго алгоритма заключается в возможности определения оптимального плана двойственной задачи из (m+1)-й строки основной таблицы, соответствующей последней итерации, без всяких дополнительных вычислений.