Поверхности второго порядка

Содержание.

· Понятие поверхности второго порядка.

1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

· Классификация поверхностей второго порядка.

1. Классификация центральных поверхностей.

-1°. Эллипсоид.

-2°. Однополостный гиперболоид.

-3°. Двуполостный гиперболоид.
-4°. Конус второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей.

-1°. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, эллиптический параболоид, гиперболиче­ский параболоид.

-2°. Параболический цилиндр

•Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.

1. Эллипсоид.
2. Гиперболоиды.

- 1°. Однополостный гиперболоид.

-2°. Двуполостный гиперболоид.

3. Параболоиды.

-1°. Эллиптический параболоид.
-2°. Гиперболический пара­болоид.

4. Конус и цилиндры второго порядка.

- 1°. Конус второго порядка.
-2°. Эллиптический цилиндр.
-3°. Гиперболический цилиндр.
-4°. Параболический цилиндр.

Список использованной литературы.

§ 1. Понятие поверхности второго порядка.

Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a₁₁х² + а₂₂у² +a₃₃z²+2a₁₂xy +2a₂₃уz + 2a₁₃xz + 2а₁₄x +2а₂₄у+2а₃₄z +а₄₄ =0 (1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов a₁₁ , а₂₂ , a₃₃ , a₁₂ , a_{23 ,} a₁₃отличен от нуля.

Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением по­верхности второго порядка.

Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной де­картовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравне­ние (1) и уравнение, полученное после преобразования коор­динат, алгебраически эквивалентны.

1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

Справедливо следующее утверждение.

являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы ко­ординат.

Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.

§ 2. Классификация поверхностей второго порядка

1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стан­дартное упрощение уравнения этой поверхности. В резуль­тате указанных операций уравнение поверхности примет вид

a₁₁х² + а₂₂у² +a₃₃z² + а₄₄ = 0 (2)

Так как инвариант I₃ для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a₁₁ • а₂₂ •a₃₃, то коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ ,a₃₃ удовлетворяют условию :

Возможны следующие случаи:

-1°.Коэффициентыa₁₁ ,а₂₂ ,a₃₃ одного знака, а коэффициента₄₄ отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.

Если коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ ,a₃₃, а₄₄ одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют коорди­наты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.

Если знак коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ ,a₃₃противоположен знаку коэффициента а₄₄, то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а², b², с². После не­сложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:

Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллип­соида.

Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями.

-2°.Из четырех коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ ,a₃₃, а₄₄ два одного зна­ка, а два других—противоположного. В этом случае поверх­ность S называется однополостным гиперболоидом.

Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ > 0,а₂₂ >0, a₃₃ <0,а₄₄ <0. Тогда числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а², b², с². После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение (4) называется каноническим уравнением однопо­лостного гиперболоида.

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу иOz называются его глав­ными осями.

-3°. Знак одного из первых трех коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ ,a₃₃, а₄₄противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.

Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канониче­ской форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ < 0,а₂₂ <0, a₃₃ >0,а₄₄ <0. Тогда :

Обозначим эти числасоответственно через a², b², с². Поcли несложных преобразова­ний уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно запи­сать в следующей форме:

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двупо­лостного гиперболоида.

Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим

уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.

- 4°. Коэффициента₄₄равен нулю. В этом случае поверхность S называетсяконусом второго порядка.

Если коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а₄₄ =0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.

Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка за­писывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

a₁₁ > o, а₂₂ > 0,a₃₃ <0. Обозначим

соответственно через а², b², с². Тогда уравнение (2) можно записать в виде

Уравнение (6) называется каноническим уравнением веще­ственного конуса второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей второго по­рядка.

Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариантI₃равен нулю. Произведем стандартное упрощение урав­нения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид

a´₁₁х´² + а´₂₂у´² +a´₃₃z´² + 2а´₁₄x´ +2а´₂₄у´+2а´₃₄z´ +а´₄₄ =0 (7)

для системы координат Ox´y´z´

Так как инвариант I₃ =0 и его значение, вы­численное для уравнения (7), равно

a´₁₁ • а´₂₂ •a´₃₃, то один или два из коэффициентов a´₁₁ , а´₂₂ ,a´₃₃равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.

-1°. Один из коэффициентовa´₁₁ , а´₂₂ ,a´₃₃равен нулю. Радиопределенности будем считать, чтоa´₃₃ =0(если равен нулю ка­кой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перей­ти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х', у', z'к новым координатам х, у, z по формулам

Подставляях', у' и z', найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем

a´₁₁наa₁₁, а´₂₂ на а₂₂ , а´₃₄ на pи а´₄₄на q, получим следующее уравнение поверхности S в новой системе ко­ординатOxyz :

a₁₁х² + а₂₂у² + 2pz + q = 0 (9)

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a₁₁иа₂₂одинаковы, и вещественными, если знаки a₁₁ иа₂₂различны.

2)Пустьр=0, q ≠ 0. Уравнение (9) принимает вид

a₁₁х² + а₂₂у² + q = 0 (10)

Известно, что уравнение (10) яв­ляется уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси Оz. При этом если a₁₁ , а₂₂ , qимеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых х и y, т. е. ци­линдр будет мнимым. Если же среди коэффициентов a₁₁ , а₂₂ , qимеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет ве­щественным. Отметим, что в случае, когда a₁₁ и а₂₂имеютодинаковые знаки, a q — противоположный, то величины

положительны.

Обозначая их соответственно через а²и b², мы приведем уравнение (10) к виду

Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр. В случае, a₁₁ и а₂₂ имеют различные знаки, мы получим гиперболический цилиндр. Легко убедиться, что урав­нение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду

3)Пусть р≠0. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами

(0, 0, ).

При этом оставим старые обозначения координатх, у, z. Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверх­ности S в новой системе координат, достаточно заменить в урав­нении (9)

Получим следующее уравнение:

a₁₁х² + а₂₂у² + 2pz = 0 (13)

Уравнение (13) определяет так называемые параболоиды. Причем если a₁₁ и а₂₂имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллиптическим. Обычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:

Уравнение (14) легко получается из (13). Если a₁₁ и а₂₂имеют разные знаки, то параболоид называется гиперболиче­ским. Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид

Это уравнение также легко может быть получено из (13).

-2°.Два из коэффициентовa´₁₁ , а´₂₂ ,a´₃₃ равны нулю. Ради определенности будем считать, чтоa´₁₁= 0 и а´₂₂= 0 Перейдем отх,', у', z'к. новымкоординатам х, у, z по формулам :

Подставляя х', у' и z', найденные из (16) в левую часть (7) и заменяя затем a´₃₃ на a_{33 ,} a´₁₄ на р,a´₂₄ наq и a´₄₄ на r, по­лучим следующее уравнение поверхности S в новой системе ко­ординат Охуz:

a₃₃ z² + 2px + 2qy + r = 0 (17)

1)Пусть р=0, q=0. Поверхность Sраспадается на пару па­раллельных плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a₃₃иr одинаковы, и вещественными, если знакиa₃₃ и r различ­ны, причем при r = 0 эти плоскости сливаются в одну.

2)Хотя бы один из коэффициентов р или q отличен от нуля. В этом случае повернем систему координат вокруг осиOz так, чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости 2рх+2qy+r=0. Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохранения обозначения х, уи z для новых координат точек, уравнение (17) примет вид

a₃₃ z² + 2q´y = 0 (19)

которое является уравнением параболического цилиндра с обра­зующими, параллельными новой оси Ох.

§ 3. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям

1. Эллипсоид.

Из уравнения (3) вытекает, что координатные плоскости яв­ляются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало коорди­нат—центром симметрии. Числа а, b, сназываются полуосями эллипсоида и представляют собой длины отрезков, от начала координат до точек пересечения эллипсоида с осями координат. Чтобы более наглядно представить себе формуэллипсоида, выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельными какой-либо из координатных плоскостей.

Ради определенности рассмотрим линииL_h пересечения эл­липсоида с плоскостями

z = h(20)

параллельными плоскости Оху. Уравнение проекцииL^*_hли­нииL_hна плоскость Охуполучается из уравнения (3), если положить в немz = h. Таким образом, уравнение этой проекции имеет вид

Если положить

то уравнение (21) можно записать в виде

Представление об эллипсоиде можно получить следующим об­разом. Рассмотрим на плоскости Оху семейство эллипсов (23) (рис. 1), полуоси а* и b* которых зависят отh (см. (22)), и каждый такой эллипс снабдим отметкой h, указывающей, на ка­кую высоту по оси Оz должен быть «поднят» этот эллипс. Мыполучим своего рода «карту» эллипсоида. Используя эту «кар­ту», легко представить себе пространственный вид эллипсоида.

(Метод представления формы фигуры путем получения «карты» фигуры я привожу только для эллипсоида, представить форму других фигур этим методом можно аналогично)

Наглядное изображение эллипсоида находится на следующей странице.

Эллипсоид
.

2. Гиперболоиды.

-1°. Однополостный гиперболоид. Обратимся к каноническому

уравнению (4) однополостного гиперболоида

Из уравнения (4) вытекает, что координатные плоскости яв­ляются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного гиперболоида.

-2°. Двуполостный гиперболоид.Из канонического уравнения (5)двуполостного гиперболоида вытекает, что координатные пло­скости являются его плоскостями симметрии, а начало коорди­нат — его центром симметрии.

3. Параболоиды.

-1°.Эллиптический параболоид. Обращаясь к каноническому уравнению (14) эллиптического параболоида

мы видим, что для негоOxz и Оуz являются плоскостями симметрии. Ось Oz, представляющая линию пересечения этих плоскостей, называется осью эллиптического параболоида.

-2°.Гиперболический пара­болоид. Из канонического уравнения (15)




гиперболического параболои­да вытекает, что плоскости Oxz и Оуz являются плоско­стями симметрии. ОсьOz называется осью гиперболического пaраболоида.

Прим.: получение «карты высот» для гиперболического пaраболоида несколько отличается от аналогичной процедуры для вышеприведенных поверхностей 2-го порядка, поэтому я также включил его в свой реферат.

Линииz=h пересечения гиперболического параболоида плоскостямиz=h представляют собой при h>0 гиперболы

с полуосями

а приh < 0 —сопряженные гиперболы для гипербол (24)

Используя формулы (24)—(27), легко построить «карту» гиперболического параболоида. Отметим еще, плоскость z=0 пересекает гиперболический параболоид по двум прямым :

Из формул (25) и (27) вытекает, что прямые (28) являются асимптотами гипербол (24) и (26).
Карта гиперболического параболоида дает представление о его пространственной форме. Как и в случае эллип­тического параболоида, можно убедиться в том, что гиперболи­ческий параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, предста­вляющей собой сечение плоско­стьюOxz (Оуz), когда ее вер­шина движется вдоль параболы, являющейся сечением параболо­ида плоскостьюOyz (Oxz).

Прим.:Изображение гиперболического пaраболоида дано на следующей странице.

Гиперболический пара­болоид.

4. Конус и цилиндры второго порядка.

-1°.Конус второго порядка

Убедимся, что вещественный конус S образован прямыми ли­ниями, проходящими через начало О координат. Естественно на­зывать точку О вершиной конуса.

Для доказательства сформулированного утверждения, очевид­но, достаточно установить, что прямая L, соединяющая произвольную, отличную от начала координат точку
М₀(х₀, у₀, z₀) ко­нуса (6) и начало координат О , целиком распола­гается на конусе, т. е. координаты (х, у, z) любой точки М прямойL удовлетворяют уравнению (6).

Так как точка М₀(х₀, у₀, z₀) лежит на конусе (6), то :

-2°. Эллиптическийцилиндр.

-3°. Гиперболическийцилиндр.

Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz.

-4°. Параболическийцилиндр.

a₃₃ z² + 2q´y = 0 (19)
Путем переименования осей координат и простых арифметических операций из уравнения, (19) мы получим новое, компактное уравнение параболическогоцилиндра.