Метод конечных разностей или метод сеток

ВВЕДЕНИЕ

Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных прозводных (уравнения математической физики). Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа.

Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удаётся получить лишь в частных случаях. Поэтому эти задачи решают в основном приближённо. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение для приближённого решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей или метод сеток.

Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов, заменяется дискретным множеством точек (узлов), которое называется сеткой или решёткой. Вместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определённые в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными, при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разностных уравнений). Такие системы часто называют разностными схемами. И эти схемы решаются относительно неизвестной сеточной функции.

Далее мы будем рассматривать применение итерационного метода Зейделя для вычисления неизвестной сеточной функции в краевой задаче с неоднородным бигармоническим уравнением.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть у нас есть бигармоническое уравнение :

2

U=f

Заданное на области G={(x,y): 0<=x<=a, 0<=y<=b}. Пусть также заданы краевые условия на границе области G .

U = 0 Y

x=0 b

Uxxx = 0

x=0

G

Ux = 0

x=a

Uxxx = 0 0 a X

x=a

U = 0 U = 0

y=0 y=b

Uy = 0 Uxx + Uyy = 0

y=0 y=b y=b

Надо решить эту задачу численно.

Для решения будем использовать итерационный метод Зейделя для решения сеточных задач.

По нашей области G построим равномерные сетки Wx и Wy с шагами hx и hyсоответственно .

Wx={x(i)=ihx,i=0,1...N,hxN=a}

Wy={y(j)=jhy,j=0,1...M, hyM=b}

Множество узлов Uij=(x(i),y(j)) имеющих координаты на плоскости х(i),y(j) называется сеткой в прямоугольнике G и обозначается :

W={Uij=(ihx,jhy),i=0,1...N,j=0,1...M,hxN=a, hyM=b}

Сетка W очевидно состоит из точек пересечения прямых x=x(i) и y=y(j).

Пусть задана сетка W.Множество всех сеточных функций заданных на W образует векторное пространство с определённом на нём сложениемфункций и умножением функции на число. На пространстве сеточных функций можно определитьразностные или сеточные операторы. 0ператор Aпреобразующий сеточную функцию U в сеточную функцию f=AUназывается разностным или сеточным оператором. Множество узлов сетки используемое при написании разностного оператора в узле сетки называется шаблоном этого оператора.

Простейшим разностным оператором является оператор дифференцирования сеточной функции, который порождает разностные производные. Пусть W - сетка с шагом h введённая на Rт.е.

W={Xi=a+ih, i=0, + 1, + 2...}

Тогда разностные производные первого порядка для сеточной функции Yi=Y(Xi) , Xiиз W, определяется по формулам :

L1Yi = Yi - Yi-1 , L2Yi=L1Yi+1

h

и называются соответственно левой и правой производной. Используется так же центральная производная :

L3Yi=Yi+1 - Yi-1 = (L1+L2)Yi

2h 2

Разностные операторы A1, A2, A3имеют шаблоны состоящие 2х точек и используются при апроксимации первой производной Lu=u’ . Разностные производные n-ого порядка определяются как сеточные функции получаемые путём вычисления первой разностной производной от функции, являющейся разностной производной n-1 порядка, например :

Yxxi=Yxi+1 - Yxi= Yi-1-2Yi+Yi+1

2

h h

Yxxi= Yxi+1-Yxi-1= Yi-2 - 2Yi+Yi+ 2

2

2h 4h

которые используются при апроксимации второй производной. Соответствующие разностные операторы имеют 3х точечный шаблон.

Анологично не представляет труда определить разностные производные от сеточных функций нескольких переменных.

Аппроксомируем нашу задачу с помощью разностных производных. И применим к получившейся сеточной задаче метод Зейделя.

МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ

Одним из способов решения сеточных уравнений является итерационный метод Зейделя.

Пусть нам дана система линейных уравнений :

AU = f

или в развёрнутом виде :

M

aijUj = fi , i=1,2...M

i=1

Итерационный метод Зейделя в предположении что диагональные элементы матрицы А=(aij)отличны от нуля (aii<>0)записывается в следующем виде :

i (k+1)M(k)

aijYj + aijYj = fi , i=1,2...M

j=1 j=i+1

(k)

где Yj - jая компонента итерационного приближения номера k. В качестве начального приближения выбирается произвольный вектор.

Определение (k+1)-ой итерации начинается с i=1

(k+1) M (k)

a11Y1 = - a1jYj +f1

j=2

(k+1)

Так как a11<>0то отсюда найдём Y1. И для i=2получим :

(k+1)(k+1) M (k)

a22Y2 = - a21Y1 - a2jYj + f2

j=3

(k+1) (k+1) (k+1) (k+1)

Пусть уже найдены Y1 , Y2 ... Yi-1. Тогда Yi находится из уравнения :

(k+1) i-1 (k+1) M (k)

aiiYi = - aijYj - aijYj + fi (*)

j=1 j=i+1

Из формулы (*) видно , что алгоритм метода Зейделя черезвычайно прост. Найденное по формуле (*) значение Yiразмещается на месте Yi.

Оценим число арифметических действий, которое требуется для реализации одного итерационного шага. Если все aij не равны нулю, то вычисления по формуле (*) требуютM-1операций умножения и одного деления. Поэтому реализация

2

одного шага осуществляется за 2M - M арифметических действий.

Если отлично от нуля лишь m элементов, а именно эта ситуация имеет место для сеточных эллиптических уравнений, то на реализацию итерационного шага потребуется 2Mm-Mдействий т.е. число действий пропорционально числу неизвестных M.

Запишем теперь метод Зейделя в матричной форме. Для этого представим матрицу A в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольной матриц :

A = D + L + U

где

0 0 . . . 0 0 a12a13 . . . a1M

a21 0 0 0 a23 . . . a2M

a31a32 0 0 .

L = . U= .

. .

. aM-1M

aM1aM2 . . . aMM-1 0 0 0

И матрица D- диагональная.

(k) (k) (k)

Обозначим через Yk = ( Y1 ,Y2 ... YM )вектор k-ого итерационного шага. Пользуясь этими обозначениями запишем метод Зейделя иначе :

( D + L )Yk+1 + UYk = f , k=0,1...

Приведём эту итерационную схему к каноническому виду двухслойных схем :

( D + L )(Yk+1 - Yk) +AYk = f , k=0,1...

Мы рассмотрели так называемый точечный или скалярный метод Зейделя, анологично строится блочный или векторный метод Зейделя для случая когда aii - есть квадратные матрицы, вообще говоря, различной размерности, а aijдля i<>j - прямоугольные матрицы. В этом случае Yi и fiесть векторы, размерность которых соответствует размерности матрицы aii.

ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Пусть Yi=Y(i)сеточная функция дискретного аргумента i. Значения сеточной функции Y(i) в свою очередь образуют дискретное множество. На этом множестве можно определять сеточную функцию, приравнивая которую к нулю получаем уравнение относительно сеточной функции Y(i) - сеточное уравнение. Специальным случаем сеточного уравнения является разностное уравнение.

Сеточное уравнение получается при аппроксимации на сетке интегральных и дифференциальных уравнений.

Так дифференциальное уравнение первого порядка :

dU = f(x) , x > 0

dx

можно заменить разностным уравнением первого порядка :

Yi+1 - Yi = f(xi) , xi = ih, i=0,1...

h

илиYi+1=Yi+hf(x), где h - шаг сетки v={xi=ih, i=0,1,2...}. Искомой функцией является сеточная функция Yi=Y(i).

При разностной аппроксимации уравнения второго поряда

2

d U = f(x)

2

dx

получим разностное уравнение второго порядка :

2

Yi+1 - 2Yi + Yi+1 = yi , где yi=hfi

fi = f(xi)

xi = ih

Для разностной aппроксимациипроизводных U’,U’’,U’’’можно пользоваться шаблонами с большим числом узлов. Это приводит к разностным уравнениям более высокого порядка.

Анологично определяется разностное уравнение относительно сеточной функции Uij = U(i,j) двух дискретных аргументов. Например пятиточечная разностная схема “крест” для уравнения Пуассона

Uxx + Uyy = f(x,y)

на сетке Wвыглядит следующим образом :

Ui-1j-2Uij+Ui+1j+Uij-1-2Uij+Uij+1 =fij

2 2

hx hy

где hx - шаг сетки по X

hy - шаг сетки поY

Сеточное уравнение общего вида можно записать так:

N

CijUj = fi i=0,1...N

j=0

Оно содержит все значения U0, U1 ... UNсеточной функции. Его можно трактовать как рзностное уравнение порядка Nравного числу узлов сетки минус единица.

В общем случае под i - можно понимать не только индекс , но и мультииндекс т.е. вектор i = (i1 ... ip)с целочисленными компонентами и тогда :

СijUj =fi iÎW

jÎW

где сумирование происходит по всем узлам сетки W. Если коэффициенты Сijне зависят от i, тоуравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами.

Аппроксимируем нашу задачу т.е. заменим уравнение и краевые условия на соответствующие им сеточные уравнения.

U=U(x,y)

Построим на области G сетку W . И зададим на W сеточную функцию Uij=U(xi,yj) ,

где

xi=x0+ihx

yi=y0+jhy

hx = a/N ,

hy = b/Mи т.к.

x0=y0

то

xi=ihx, yi=jhy, i=0...N

j=0...M

Найдём разностные производные входящие в уравнение

2

DU = f

(т.е построим разностный аналог бигармонического уравнения).

Uxij = Ui+1j - Uij , Uxi-1j = Uij - Ui-1j

hx hx

Uxxij = Ui-1j - 2Uij + Ui+1j

hx

Рассмотрим Uxxxxijкак разность третьих производных :

Uxxi-1j - Uxxij- Uxxij - Uxxi+1j

Uxxxxij = hx hx = Ui-2j - 4Ui-1j + 6Uij - 4Ui+1j + Ui+2j

4

hx hx

Анологично вычислим производную по y :

Uyyyyij = Uij-2 - 4Uij-1 + 6Uij - 4Uij+1 +Uij+2

4

hy

Вычислим смешанную разностную производнуюUxxyy :

Uxxij-1 - Uxxij - Uxxij - Uxxij+1

(Uxx)yyij = hy hy = Uxxij-1 - 2Uxxij +Uxxij+1 =

2

hy hy

= Ui-1j-1 - 2Uij-1 + Ui+1j-1 - 2Ui-1j - 2Uij + Ui+1j + Ui-1j-1 - 2Uij+1 + Ui+1j+1

2 2 2 2 2 2

hxhy hxhy hxhy

В силу того чтоDU = f

имеем:

Ui-2j - 4Ui-1j + 6Uij - 4Ui+1j +Ui+2j +

4

hx

+ 2Ui-1j-1 - 2Uij-1 + Ui+1j-1 - 4Ui-1j - 2Uij +Ui+1j + 2 Ui-1j+1 -2Uij+1 + Ui+1j+1 +

2 2 2 2 2 2

hxhy hxhy hxhy

+ Uij-2 - 4Uij-1 + 6Uij - 4Uij+1 + Uij+2 = fij (*)

4

hy

Это уравнение имеет место для

i=1,2, ... N-1

j=1,2, ... M-1

Рассмотрим краевые условия задачи. Очевидно следующее :

x=0 ~ i=0

x=a ~ xN=a

y=0 ~ Yo=0

y=b ~ YM=b

1)х=0 (левая граница областиG)

Заменим условия

U = 0

x=o

Uxxx = 0

x=o

на соответствующие им разностные условия

Uoj=0

U-1j=U2j - 3U1j (1`)

2) х=а(правая граница областиG)

i=N

Ux = 0

x=a

Uxxx = 0

x=aиз того что Ui+1j - Ui-1j = 0

2hx

UN+1j = UN-1j

UNj = 4 UN-1j - UN-2j (2`)

3

3)у=0 (нижняя граница области G)

j=0

Ui ,-1 = Ui1

Ui0 = 0 (3`)

это есть разностный аналогUy = 0

y=o

U =0

y=o

4)у=b

i=M

U = 0

y=bт.е.UiM=0(**)

Распишем через разностные производныеUxx + Uyy =0и учитывая чтоj=Mи (**) получим

UiM-1 = UiM+1

Итак краевые условия на у=b имеют вид

UiM+1 = UiM-1

UiM = 0 (4`)

Итого наша задача в разностных производных состоит из уравнения (*) заданного на сетке Wи краевых условий (1`)-(4`) заданных на границе области G (или на границе сетки W)

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ

Рассмотрим применение метода Зейделя для нахождения приближенного решения нашей разностной задачи (*),(1`) - (4`).

В данном случае неизвестными являются

Uij = U(xi,yj)

где xi = ihx

yj = jhy

при чём hx = a/N ,

hy = b/M

это есть шаг сетки по x и по у соответственно , а N и М соответственно количество точек разбиения отрезков [0, а] и [0,b]

Пользуясь результатами предыдущего раздела запишем уравнение

2

DU = f

как разностное уравнение. И упорядочим неизвестные естественным образом по строкам сетки W , начиная с нижней строки.

1 Ui-2j - 4 + 4 Ui-1j + 6 - 8 + 6 Uij - 4 + 4 Ui+1j + 1 Ui+2j + 2Ui-1j-1 -

44 2 24 2 2 4 4 2 2 4 2 2

hx hx hxhy hx hxhy hy hx hxhy hx hxhy

- 4 + 4 Uij-1 + 2 Ui+1j-1 + 2 Ui-1j+1 - 4 + 4 Uij+1 + 2 Ui+1j+1 + 1 Uij-2 +

2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4

hxhy hy hxhy hxhy hxhy hy hxhy hy

+ 1 Uij+2 = f ijдля i=1 ... N-1, j=1 ... M-1

4

hy

и Uудовлетворяет краевым условиям (1`) - (4`), так как в каждом уравнении связаны вместе не более 13 неизвестных то в матрице А отличны от нуля не более 13-элементов в строке. В соответствии со вторым разделом перепишем уравнение:

(k+1) (k+1) (k+1) (k+1)

6 - 8 + 6 Uij = - 1 Uij-2 - 2 Ui-1j-1 + 4 + 4 Uij-1 -

4 2 2 4 4 2 2 2 2 4

hx hxhy hy hy hxhy hxhy hy

(k+1) (k+1) (k+1) (k)

- 2 Ui+1j-1 - 1 Ui-1j + 4 + 4 Ui-1j + 4 + 4 Ui+1j -

2 244 2 2 4 2 2

hxhy hx hx hxhy hx hxhy

(k) (k) (k) (k) (k)

- 1 Ui+2j - 2 Ui-1j+1 + 4 + 4 Uij+1 - 2 Ui+1j+1 - 1 Uij+2 + fij

4 2 2 2 2 4 2 2 4

hx hxhy hxhy hy hxhy hy

(k)

При чем U удовлетворяет краевым условиям (1`) - (4`). Вычисления начинаются с i=1, j=1и продолжаются либо по строкам либо по столбцам сетки W. Число неизвестных в задаче n = (N-1)(M-1).

Как видно из вышеизложенных рассуждений шаблон в этой задаче тринадцатиточечный т.е. на каждом шаге в разностном уравнении участвуют 13 точек (узлов сетки) Рассмотрим вид матрицы А-для данной задачи.

Матрица метода получается следующим образом : все узлы сетки перенумеровываются и размещаются в матрице Так что все узлы попадают на одну строку и поэтому матрица метода для нашей задачи будет тринадцатидиагональной .

ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ.

Константы используемые в программе :

aq = 1- правая граница области G

b = 1 - левая граница области G

N = 8 - колличество точек разбиения отрезка[0,a]

M = 8 - колличество точек разбиения отрезка [0,b]

h1 = aq/N - шаг сетки по X

h2 = b/M - шаг сетки по Y

Переменные :

u0 - значения сеточной функции U на k-ом шаге

u1 - значения сеточной функции Uна (k+1)-ом шаге

a - массив коэффициентов шаблона

Описание процедур :

procedure Prt(u:masa) - печать результата

function ff(x1,x2: real):real - возвращает значение функцииf в узле (x1,x2)

procedure Koef - задаёт значения коэффициентов

Действие :

Берётся начальое приближение u0 и с учётом краевых условий ведётся вычисление с i=2 ... N , j=2 ... M. На каждом итерационном шаге получаем u1 по u0. По достижении заданной точности eps>0вычисления прекращаются. И все элементы матрицы A, которые лежат ниже главной диагонали получают итерационный шаг (k+1) , а те элементы которые лежат выше главной диагонали (исключая главную диагональ) получают итерационный шаг k.

Примечание : программа реализована на языке Borland Pascal 7.0

Министерство общего и профессионального образования РФ

Воронежский государственный университет

факультет ПММ

кафедра Дифференциальных уравнении

Курсовой проект

“Решение бигармонического уравнения методом Зейделя”

Исполнитель : студент 4 курса 5 группы

Никулин Л.А.

Руководитель : старший преподаватель

Рыжков А.В.

Воронеж 1997г.