Типовые задачи по матанализу

Исследовать на наибольшее и наименьшее значение по заданному отрезку.

Решение:

Рассмотрим фун-ю у=…. и исследуем ее на промеж при хэ[..;..] на наиб, наимень значения.

1)Д(у)=…

2)Найдем производ фун-и у’=…

3)Д(у’)=….

4)Найдем критич точки у’=0, ……=0

х1=…;х2=…-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю. Эти точки принадлежат (или нет) нашему промеж […;…].

х1э[…;…]; x2э[…;…].

Найдем значения в кртич точках и на концах отрезка: f(…)=…;f(x1)=…;f(x2)=…;f(…)=…

Наиболь знач фун-я принимает при х=…,а наимень при х=…

Max[…;…] f(x)=……;min[...;…] f(x)=….

Ответ: наиб знач фун-я принимает при х=..,а наимень при х=…

Найти область определения фун-и.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=…

1)Д (f) (т.к. многочлен)

2)Найдем нули функции: f(x)=0, …..=0

х1=…;х2=…-эти точки разбив числовую прямую на промеж в каждом из которых фун-я сохран свой знак в силу непрерывности.

+ х1 - х2 +

На промеж (-беск;х1):f(x)=…>0 и т.д.

Т.к. функция приним все знач больше или равно нулю,то Д(f)=(-беск;х1)$(x2;+беск).

Ответ: Д(f)=(-беск;х1)$(x2;+беск).

Исследовать на монотонность.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=…

1)Д (f)=…..

2)Находим производ f’(x)=….

3)Приравниваем произв к нулю находим критич точки: f’(x)=0, ……=0

х1=…;х2=…-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю.

Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых производная сохр свой знак в силу непрерывности.

+ x1 - x2 +

На промеж (-беск;х1):f(x)=…>0 и т.д.

4)Т.к. в точках x1=.., x2=..фун-я определена, то она возростает на промежетке (-беск; x1]$ [x2;+беск)и убывает на промеж [x1 ;х2].

Ответ: возростает на промежетке (-беск; x1]$ [x2;+беск) и убывает на промеж [x1 ;х2].

Исследовать на экстремум.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=…

1)Д (f)=…..

2)Находим производ f’(x)=….

3)Приравниваем произв к нулю находим критич точки: f’(x)=0, ……=0

х1=…;х2=…-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю.

Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых производная сохр свой знак в силу непрерывности.

- x1 + x2 -

На промеж (-беск;х1):f(x)=…>0 и т.д.

4)В точке х1=…производ сменила знак с минуса на плюс,значит эта точка минимума. В точке х2=…производная сменила знак с плюса на минус, значит эта точка максимума.

Хmin=х1,Уmin(х1)=…; Хmax=х2,Уmax(х2)=…

Ответ: Хmin=х1,Уmin(х1)=…-минимум фун-и; Хmax=х2,Уmax(х2)=…-максимум фун-и.

Исследовать фун-ю и построить график.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=…

1)Д (f)=…..

2) f(x)-нечетная (четная, ни нечетная), так как f(-x)=…=-f(x)

3)Точки пересечения с осями.ОУ:х=0,у=…(х;у)

ОХ: у=0,х=…(х;у)

4)Находим производ f’(x)=….

5)Приравниваем производ к нулю и

находим критич точки: f’(x)=0, ……=0

х1=…;х2=…-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю.

Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых производная сохр свой знак в силу непрерывности.

Х (-беск;x1) x1 (х1;х2) x2 (x2;+беск)

f”(x) - 0 + 0 -

f(x) … …

min max

f(x1)=…; f(x2)=….

На промеж (-беск;х1):f(x)=…<0 и т.д.

6) В точке х1=…производ сменила знак с минуса на плюс, значит эта точка минимума. В точке х2=…производная сменила знак с плюса на минус, значит эта точка максимума.

7) Т.к. в точках x1=.., x2=..фун-я определена, то она возростает на промежетке (x1;x2) и убывает на промеж (-беск;х1)$(x2;+беск).

СТРОИШЬ ГРАФИК

Ответ: все полученные значения.

Решить методом интервалов.

Решите нер-во: …><0

Решение:

1)Рассмотрим функцию и решим ее методом интервалов ...><0.

2)Д(у)=…и ОДЗ

3)Находим нули фун-и f(x)=0, …..=0

x1=…,x2=…-эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых фун-я сохраняет свой знак в силу непрерывности.

+ x1 - x2 +

4)f(..)=...>0;

f(..)=…<0; f(..)=…>0;

Т.к. фун-я принимает неотриц-е (неполож.) значения на промеж. (-бескон;…),(…,+бескон), то решением нерав-ва будет их объед-е.

Ответ:(-..;…)$(…;+…).

Составить ур-е касат-й в точке х0=..Найдите коор-ты всех точек граф. этой фун-и параль-но найденной касатель.

Решение:

у=f”(x0)(x-x0)+f(x0)-общий вид ур-я касатель.

Рассмотрим фун-ю f(х)=…

1)Д(f)=…..

2)Найдем произв. фун-ии f(х)=…

f’(х)=….

3)Д(f’)=….

4)f’(x0)=…;f(x0)=…След-но ур-е касатель имеет вид: y=f”(x0)(x-x0)+f(x0)

Производная фун-и в точке х0=.., есть угловой коэф-т касатель провед к граф фун-и в точке (х0;f(x0)) т.к. надо найти парал-е касатель, значит угловые коэф-ты долны быть одинаковыми(т.е. равны).

Дополнительно: у=f’(x0)(x-x0)+f(x0) и у=кх+в

Ответ:у=ур-е касатель (х0;f(x0))