Обзор некоторых элементарных функций

Обзор некоторых элементарных функций

Для напоминания и повторения приведём обзор некоторых функций, изучаемых в школьной программе.

1. Линейная функция. Это функция вида . Число называется угловым коэффициентом, а число -- свободным членом. Графиком линейной функции служит прямая на координатной плоскости , не параллельная оси .

Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона графика к горизонтальному направлению -- положительному направлению оси .

Рис.1.8.График линейной функции -- прямая

2. Квадратичная функция. Это функция вида ().

Графиком квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси . При вершина параболы оказывается в точке .

Рис.1.9.Парабола ()

В общем случае вершина лежит в точке . Если , то "рога" параболы направлены вверх, если , то вниз.

Рис.1.10.Парабола с вершиной в точке ()

3. Степенная функция. Это функция вида , . Рассматриваются такие случаи:

а). Если , то . Тогда , ; если число -- чётное, то и функция -- чётная (то есть при всех ); если число -- нечётное, то и функция -- нечётная (то есть при всех ).

Рис.1.11.График степенной функции при

б). Если , , то . Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для : если -- чётное число, то и -- чётная функция; если -- нечётное число, то и -- нечётная функция.

Рис.1.12.График степенной функции при

Снова заметим, что при всех . Если , то при всех , кроме (выражение не имеет смысла).

в). Если -- не целое число, то, по определению, при : ; тогда , .

Рис.1.13.График степенной функции при

При , по определению, ; тогда .

Рис.1.14.График степенной функции при

4. Многочлен. Это функция вида , где , . Число называется степенью многочлена. При и многочлены являются соответственно линейной функцией и квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) и рассмотрены выше. При и ( ) получается степенная функция, которую мы также рассмотрели выше. В общем случае ; при чётном значении степени характерный вид графика таков:

Рис.1.15.График многочлена чётной степени при

или таков:

Рис.1.16.График многочлена чётной степени при

а при нечётном значении степени -- таков:

Рис.1.17.График многочлена нечётной степени при

или таков:

Рис.1.18.График многочлена нечётной степени при

5. Показательная функция (экспонента). Это функция вида (, ). Для неё , , , и при график имеет такой вид:

Рис.1.19.График показательной функции при

При вид графика такой:

Рис.1.20.График показательной функции при

Число называется основанием показательной функции.

6. Логарифмическая функция. Это функция вида (, ). Для неё , , , и при график имеет такой вид:

Рис.1.21.График логарифмической функции при

При график получается такой:

Рис.1.22.График логарифмической функции при

Число называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия.

7. Функция синус: . Для неё ; функция периодична с периодом и нечётна. Её график таков:

Рис.1.23.График функции

8. Функция косинус: . Эта функция связана с синусом формулой приведения: ; ; период функции равен ; функция чётна. Её график таков:

Рис.1.24.График функции

9. Функция тангенс: (в англоязычной литературе обозначается также ). По определению, . Функция нечётна и периодична с периодом ;

то есть не может принимать значений , , при которых (стоящий в знаменателе) обращается в ноль.

Рис.1.25.График функции

10. Функция котангенс: (в англоязычной литературе также ). По определению, . Если ( ), то . Функция нечётна и периодична с периодом ;

то есть не может принимать значения вида , , при которых обращается в 0.

Рис.1.26.График функции

11. Абсолютная величина (модуль): , . Эта функция определяет расстояние на вещественной оси от точки до точки 0:

Функция чётная, её график такой:

Рис.1.27.График функции

12. Обратные тригонометрические функции. Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно, о чём подробнее в конце главы, в разделе Обратная функция.

13. Расстояние до начала координат на плоскости и в пространстве. На координатной плоскости расстояние от точки до точки определяется по формуле (по теореме Пифагора) и, следовательно, задаёт функцию

Эта функция имеет область значений

График её ограничения на круг построен в примере 1.8.

Аналогично, расстояние в пространстве от точки до точки определяется по формуле и задаёт функцию

Эта функция имеет ту же область значений

что и в двумерном случае.

14. Арифметическая прогрессия. Функция , задаваемая формулой

где , -- фиксированные числа, а , называется арифметической прогрессией. Число называется при этом первым членом прогрессии, а число -- разностью прогрессии. Функцию можно представить как ограничение на множество натуральных чисел линейной функции с угловым коэффициентом и свободным членом . Арифметическую прогрессию можно задать и другим, рекуррентным способом:

при

Уравнение, рекуррентно задающее арифметическую прогрессию, -- это линейное уравнение в конечных разностях первого порядка, с одним начальным условием .

Рис.1.28.График арифметической прогрессии

15. Геометрическая прогрессия. Функция , задаваемая формулой

где , -- фиксированные числа, а , называется геометрической прогрессией. Число называется при этом первым членом прогрессии, а число -- знаменателем прогрессии. Функцию (при , ) можно представить как ограничение на множество натуральных чисел показательной функции с основанием , умноженной на постоянный коэффициент , то есть функции

Рис.1.29.График геометрической прогрессии

Геометрическую прогрессию можно задать и иначе, рекуррентным способом:

при