Прогнозирование на основе регрессионных моделей

По имеющимся исходным данным выявить и оценить на основе регрессионных моделей производственные связи. Провести расчет прогнозных значений показателей, когда уровень факторных показателей на 30% превышают средние величины исходных данных.

Исходные данные представлены в таблице:

Необходимо определить тесноту связи между данными признаками. Для этого вначале воспользуемся коэффициентом корреляции рангов Спирмэна. Этот показатель основан на корреляции не самих значений коррелируемых признаков, а их рангов. Для его расчета присвоим ранги значениям соответствующих признаков, затем найдем их разность d. Эти вычисления отразим в нижеследующих таблицах. Далее вычислим непосредственно сам коэффициент, который равен: , ( n – число наблюдаемых пар значений признаков.)

Расчетные таблицы для определения коэффициента корреляции рангов Спирмэна

Из выше приведенного можно сказать о сильной обратной связи между удоем молока и себестоимостью, т.е. при увеличении удоя себестоимость молока снижается.

Так как значение коэффициента отрицательно, следовательно, имеем обратную связь между расходом кормов на 1 корову и себестоимостью молока.

Имеется обратная зависимости между удельным весом чистопородных коров в стаде и себестоимостью молока.

Полученное значение коэффициента корреляции рангов Спирмэна свидетельствует о сильной прямой связи между удоем молока и расходом кормов на 1 корову, т.е. при увеличении расхода кормов в пересчете на 1 корову увеличивается и удой молока на среднегодовую корову.

Значение положительно, поэтому имеемхарактеризует сильную прямую связь между удоем молока и удельным весом чистопородных коров в стаде и показывает, что вариация результативного признака на 89,3 % обусловлена вариацией факторного признака (согласно коэффициенту Спирмэна).

О сильной прямой зависимости между расходом кормов в пересчете на 1 корову и удельным весом чистопородных коров в стаде говорит значение коэффициента. Чем выше удельный вес, тем выше расход кормов.

Но следует иметь в виду, что, поскольку коэффициент Спирмэна учитывает разность только рангов, а не самих значений признаков, он менее точен по сравнению с линейным коэффициентом корреляции. Воспользуемся последним.

Воспользуемся программным пакетом Stata 7.

Корреляционная матрица имеет вид:

. corrudkormvessst

(obs=20)

| ud korm ves sst

-------------+------------------------------------

ud | 1.0000

korm | 0.8851 1.0000

ves | 0.9401 0.8290 1.0000

sst | -0.7875 -0.6497 -0.7587 1.0000

· ud – удой молока на среднегодовую корову,

· korm – расход кормов на 1 корову,

· ves – удельный вес чистопородных коров в стаде,

· sst – себестоимость молока за 1 кг.

Можно сделать вывод, что присутствует обратная связь между себестоимостью и удоем молока (r = - 0,79), себестоимостью и удельным весом (r = - 0,76),себестоимостью и расходом кормов (r = - 0,65).Имеется сильная прямая связи между удоем молока и расходом кормов (r = 0,89), удоем молока и удельным весом (r = 0,94), расходом кормов и удельным весом (r = 0,83). Если сравнивать значения, полученные линейным коэффициентом корреляции и ранговым коэффициентом Спирмэна, то расхождения не превысят 8 %. В большинстве же своем погрешность составляет около 1 %.

Теперь проверим коэффициенты корреляции на значимость:

. pwcorr ud korm ves sst

| ud korm ves sst

-------------+------------------------------------

ud | 1.0000

korm | 0.8851 1.0000

ves | 0.9401 0.8290 1.0000

sst | -0.7875 -0.6497 -0.7587 1.0000

Всекоэффициентызначимы.

Построим модель.

Так как значения удоя молока и значения других показателей отличаются на порядок, то будем использовать вместо переменной «удой молока» переменную натурального логарифма удоя молока.

Рассмотрим в качестве результативного фактора себестоимость молока за 1 кг, поскольку важен расчет именно себестоимости и определение от каких факторов и насколько она зависит. Удой молока, расход кормов на 1 корову и удельный вес чистопородных коров в стаде могут повлиять на значение себестоимости.

Приведем графики зависимости себестоимости от каждого из факторов:

От логарифма удоя молока

От расхода кормов на 1 корову

От удельного веса чистопородных коров в стаде

Графики демонстрируют нам обратную зависимость между результативным фактором – себестоимостью и объясняющим фактором, что подтверждается значениями коэффициентов корреляции.

Вначале рассмотрим линейную модель по всем факторам:

. reg sst lnud korm ves

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F( 3, 16) = 10.37

Model | .031800232 3 .010600077 Prob > F = 0.0005

Residual | .016350718 16 .00102192 R-squared = 0.6604

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.5968

Total | .04815095 19 .002534261 Root MSE = .03197

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud | -.2305787 .1162704 -1.98 0.065 -.4770609 .0159036

korm | .0026417 .0025775 1.02 0.321 -.0028223 .0081057

ves | -.0000138 .0024772 -0.01 0.996 -.0052651 .0052376

_cons | 2.088534 .7538614 2.77 0.014 .4904194 3.686649

------------------------------------------------------------------------------

Хотя у этой модели и достаточно хороший коэффициент детерминации и согласно F-критерию Фишера оно значимо, параметры при переменных lnud, korm, ves не значимы по t-критерию Стьюдента с P-значениями 0.065, 0.321 и 0.996. Значит, эта модель не подходит.

Построим модель вида:

. reg sst lnud1 korm1 ves1

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F( 3, 16) = 10.32

Model | .031744654 3 .010581551 Prob > F = 0.0005

Residual | .016406296 16 .001025393 R-squared = 0.6593

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.5954

Total | .04815095 19 .002534261 Root MSE = .03202

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud1 | 14.46292 6.110319 2.37 0.031 1.509625 27.41622

korm1 | -5.633853 5.967609 -0.94 0.359 -18.28462 7.016912

ves1 | .6831225 6.892859 0.10 0.922 -13.92909 15.29533

_cons | -1.33304 .6029802 -2.21 0.042 -2.611301 -.0547791

------------------------------------------------------------------------------

Видим что коэффициент детерминации хорош - 0,659 и по F-критерию Фишера уравнение значимо. Но параметры при переменных korm1, ves1 не значимы по t-критерию Стьюдента с P-значениями 0.359 и 0.922. Значит, эта модель не подходит.

Будем рассматривать различные комбинации переменных при включении в модель. Построим модель вида:

. reg sst lnud korm1 ves1

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F( 3, 16) = 10.09

Model | .031497211 3 .01049907 Prob > F = 0.0006

Residual | .016653739 16 .001040859 R-squared = 0.6541

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.5893

Total | .04815095 19 .002534261 Root MSE = .03226

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud | -.2065493 .0898758 -2.30 0.035 -.3970775 -.0160212

korm1 | -5.156249 5.939941 -0.87 0.398 -17.74836 7.435864

ves1 | 1.094516 6.895036 0.16 0.876 -13.52231 15.71134

_cons | 2.109487 .8816345 2.39 0.029 .2405058 3.978469

------------------------------------------------------------------------------

Так же как и в предыдущих моделях, значение R-квадрата хорошее, уравнение значимо по F-критерию Фишера, но одновременно с этим параметры при переменных korm1, ves1 с P-значениями 0.398 и 0.876 соответственно не значимы по t-критерию Стьюдента. Также отбросим эту модель.

Построим модель вида:

. reg sst lnud1 korm ves1

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F( 3, 16) = 10.60

Model | .032029999 3 .010676666 Prob > F = 0.0004

Residual | .016120951 16 .001007559 R-squared = 0.6652

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6024

Total | .04815095 19 .002534261 Root MSE = .03174

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud1 | 15.74117 6.497854 2.42 0.028 1.966333 29.516

korm | .0027978 .0025644 1.09 0.291 -.0026386 .0082341

ves1 | .0207899 6.780318 0.00 0.998 -14.35284 14.39442

_cons | -1.732706 .8136604 -2.13 0.049 -3.457589 -.0078235

------------------------------------------------------------------------------

R-квадрат хорош- 0,665, уравнение значимо согласно F-критерию Фишера. Но при этом параметры при переменных korm, ves1 с P-значениями 0.291 и 0.998 соответственно не значимы по t-критерию Стьюдента. Также отбросим эту модель.

Рассмотрим модель:

. reg sst lnud1 korm1 ves

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F( 3, 16) = 10.31

Model | .031738225 3 .010579408 Prob > F = 0.0005

Residual | .016412725 16 .001025795 R-squared = 0.6591

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.5952

Total | .04815095 19 .002534261 Root MSE = .03203

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud1 | 14.53007 7.378598 1.97 0.066 -1.111856 30.172

korm1 | -5.544031 5.927707 -0.94 0.364 -18.11021 7.022147

ves | -.0001462 .002454 -0.06 0.953 -.0053485 .005056

_cons | -1.322613 .969369 -1.36 0.191 -3.377583 .7323579

------------------------------------------------------------------------------

Как и в предыдущих моделях, несмотря на значимость уравнения и хорошее значение коэффициента детерминации, эту регрессионную модель мы также отбросим, так как в ней незначимы параметры при переменных lnud1, korm1, ves согласно t-критерию Стьюдента.

Рассмотрим модель:

. reg sst lnud lnud2 korm korm2 ves ves2

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F( 6, 13) = 4.52

Model | .032557159 6 .005426193 Prob > F = 0.0109

Residual | .015593791 13 .001199522 R-squared = 0.6761

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.5267

Total | .04815095 19 .002534261 Root MSE = .03463

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud | -5.729043 9.44621 -0.61 0.555 -26.13634 14.67825

lnud2 | .341597 .5910669 0.58 0.573 -.9353253 1.618519

korm | .0132344 .0388671 0.34 0.739 -.0707327 .0972016

korm2 | -.0001134 .0004041 -0.28 0.783 -.0009865 .0007596

ves | .0150622 .0364293 0.41 0.686 -.0636385 .0937629

ves2 | -.0001446 .0003466 -0.42 0.683 -.0008934 .0006042

_cons | 23.57414 36.19652 0.65 0.526 -54.62369 101.772

------------------------------------------------------------------------------

Эта модель также не подходит, поскольку параметры при всех переменных не значимы согласно t-критерию Стьюдента.

Рассмотрим модель:

. reg sst lnud2 korm2 ves2

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F( 3, 16) = 10.39

Model | .031819188 3 .010606396 Prob > F = 0.0005

Residual | .016331762 16 .001020735 R-squared = 0.6608

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.5972

Total | .04815095 19 .002534261 Root MSE = .03195

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud2 | -.0150021 .0079436 -1.89 0.077 -.0318418 .0018377

korm2 | .000028 .0000263 1.07 0.302 -.0000277 .0000838

ves2 | 2.49e-06 .0000227 0.11 0.914 -.0000457 .0000507

_cons | 1.258054 .4178871 3.01 0.008 .3721731 2.143935

------------------------------------------------------------------------------

И в этой модели параметры при переменных не значимы по t-критерию Стьюдента. Отбрасываем эту модель.

Воспользуемся процедурой пошагового отбора регрессоров при построении множественной регрессии. При этом из исходного набора объясняющих переменных будут включаться в число регрессоров в первую очередь те переменные, которые имеют больший уровень значимости. Вначале включим в набор переменных переменную , а затем переменную .

. sw reg sst lnud korm ves korm1 ves1 lnud2 korm2 ves2,pe(0.05)

begin with empty model

p = 0.0000 < 0.0500 adding lnud

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F( 1, 18) = 31.70

Model | .030711968 1 .030711968 Prob > F = 0.0000

Residual | .017438982 18 .000968832 R-squared = 0.6378

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6177

Total | .04815095 19 .002534261 Root MSE = .03113

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud | -.1672727 .0297095 -5.63 0.000 -.22969 -.1048553

_cons | 1.703191 .241499 7.05 0.000 1.19582 2.210561

------------------------------------------------------------------------------

В итоге получили модель . Это уравнение значимо согласно F-критерию Фишера, и параметр при переменной lnud и константа значимы по t-критерию Стьюдента. 63,78 % суммы квадратов отклонений переменной sst от среднего значения объясняется переменными модели. А при увеличении удоя молока на 2,72 % себестоимость снижается на 0,17 %.

. sw reg sst lnud1 korm ves korm1 ves1 lnud2 korm2 ves2,pe(0.05)

begin with empty model

p = 0.0000 < 0.0500 adding lnud1

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F( 1, 18) = 32.04

Model | .030830369 1 .030830369 Prob > F = 0.0000

Residual | .017320581 18 .000962254 R-squared = 0.6403

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6203

Total | .04815095 19 .002534261 Root MSE = .03102

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud1 | 11.2229 1.982717 5.66 0.000 7.057366 15.38843

_cons | -1.038311 .2443161 -4.25 0.000 -1.5516 -.5250216

------------------------------------------------------------------------------

Получили модель . Это уравнение значимо по F-критерию Фишера, и параметр при переменной lnud1 и константа значимы по t-критерию Стьюдента. 64,03 % суммы квадратов отклонений переменной sst от среднего значения объясняется переменными модели.

Сделаем выбор между этими двумя моделями. Представим критерии выбора модели в следующей таблице:

Из данной таблицы видно, что по всем критериям гиперболическая модель лучше линейной.

Проверим регрессию на автокорреляцию остатков:

. regdw sst lnud1,t(lnud1) force

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F( 1, 18) = 32.04

Model | .030830369 1 .030830369 Prob > F = 0.0000

Residual | .017320581 18 .000962254 R-squared = 0.6403

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6203

Total | .04815095 19 .002534261 Root MSE = .03102

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud1 | 11.2229 1.982717 5.66 0.000 7.057366 15.38843

_cons | -1.038311 .2443161 -4.25 0.000 -1.5516 -.5250216

------------------------------------------------------------------------------

Durbin-Watson Statistic = 2.460766

Проверка на автокорреляцию дает удовлетворительное значение статистики Дарбина-Уотсона 2,46 (автокорреляция отсутствует), так как , где (табличное значение). Это означает, что ошибки независимы между собой.

Построим график остатков регрессии от оцененной зависимой переменной:

. fit sst lnud1

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F( 1, 18) = 32.04

Model | .030830369 1 .030830369 Prob > F = 0.0000

Residual | .017320581 18 .000962254 R-squared = 0.6403

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6203

Total | .04815095 19 .002534261 Root MSE = .03102

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud1 | 11.2229 1.982717 5.66 0.000 7.057366 15.38843

_cons | -1.038311 .2443161 -4.25 0.000 -1.5516 -.5250216

------------------------------------------------------------------------------

. rvfplot, c(m)

Можно предположить наличие гетероскедастичноти, поскольку разброс значений остатков увеличивается с ростом значений себестоимости молока. Проверим этот факт с помощью теста Бреуша-Пагана:

. hettest

Cook-Weisberg test for heteroskedasticity using fitted values of sst

Ho: Constant variance

chi2(1) = 0.01

Prob > chi2 = 0.9328

Тест Бреуша-Пагана подтверждает наличие гетероскедастичности, потому что гипотеза о постоянстве дисперсий отклоняется.

Скорректируем стандартные ошибки по Навье-Весту, учитывая гетероскедастичность:

. newey sst lnud1, lag(0) force

Regression with Newey-West standard errors Number of obs = 20

maximum lag : 0 F( 1, 18) = 60.26

Prob > F = 0.0000

------------------------------------------------------------------------------

| Newey-West

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud1 | 11.2229 1.445712 7.76 0.000 8.18557 14.26023

_cons | -1.038311 .1784612 -5.82 0.000 -1.413244 -.6633776

------------------------------------------------------------------------------

Изменились доверительные интервалы для параметров переменных модели.

Итак, имеем модель: ,

(sst-себестоимость молока за 1 кг, руб) ;

lnud-логарифм удоя молока на среднегодовую корову, кг.

Себестоимость не зависит ни от расхода кормов на 1 корову, ни от удельного веса чистопородных коров в стаде. Выявлена обратная пропорциональность между себестоимостью молока и логарифмом удоя молока, а следовательно, и просто удоем молока. Стандартная ошибка переменной составляет 1.4457, а константы – 0.1785. Доверительный интервал   для    переменной –   [ 8.1856 ; 14.2602 ], для константы  –  [ -1.4132 ; -0.6634 ].

Рассчитаем прогнозные значения показателей, когда уровень факторных показателей на 30 % превышает средние величины исходных данных. Средний показатель удоя молока на среднегодовую корову равен 3476.5 кг. Превышение этого значения на 30 % составляет 4519.45 кг. Прологарифмируя, получим: lnud = 8.416. Тогда, согласно модели, себестоимость при таком значении удоя молока составит 0,296 руб. за 1 кг.