Решение нелинейных уравнений методом простых итераций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Реферат на тему: «Решение нелинейных уравнений

методом простых итераций»

Выполнил:. Бубеев Б.М.

Проверил: Ширапов Д.Ш.

Улан-Удэ

2011 г.
Введение

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

1. точные методы;

2. итерационные методы.

Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.

Пусть дано уравнение

где:

1. Функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка.

2. Значения f(x) на концах отрезка имеют разные знаки (f(a) * f(b) < 0).

3. Первая и вторая производные f' (x) и f'' (x) сохраняют определенный знак на всем отрезке.

Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a, b] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что f(x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным.

Решить уравнение (1) итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью.

Всякое значение , обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что:

называется корнем уравнения (1) или нулем функции f(x).

Задача нахождения корня уравнения f(x) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов:

1. отделение корней - отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

2. уточнение приближенных корней - доведение их до заданной степени точности.

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f(x) в граничных x = a и x = b точках области ее существования.

Пример 1. Отделить корни уравнения:

Составим приблизительную схему:

Следовательно, уравнение (2) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах [-3, -1], [0, 1] и [1, 3].

Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом.

В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней.

Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) - это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением:

где функции f₁(x) и f₂(x) - более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = f₁(x) и у = f₂(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Рисунок 2.

Пример 2. Графически отделить корни уравнения (Рисунок 2):

Уравнение (4) удобно переписать в виде равенства:

lg x=.

Отсюда ясно, что корни уравнения (4) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = . Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень уравнения (4) или определим его содержащий отрезок [2, 3].

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х₀. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х₁, х₂, ..., х_n. Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.

Метод простой итерации

Для использования метода итерации исходное нелинейное уравнение f(х) = 0 заменяется равносильным уравнением

Пусть известно начальное приближение корня х = х₀. Подставляя это значение в правую часть уравнения (8), получим новое приближение:

Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в (8), получаем последовательность значений:

Геометрически метод итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости хОу графики функций у = х и у = j (х). Каждый действительный корень уравнения (8) является абсциссой точки пересечения М кривой у = j (х) с прямой у = х (Рисунок 6, а).

Рисунок 6.

Отправляясь от некоторой точки А₀ [x₀, j (x₀)], строим ломаную А₀В₁А₁В₂А₂... (“лестница”), звенья которой попеременно параллельны оси Ох и оси Оу, вершины А₀, А₁, А₂, ...лежат на кривой у=j (х), а вершины В₁, В₂, В₃, …, - на прямой у = х. Общие абсциссы точек А₁ и В₁, А₂ и В₂, ..., очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х₁, х₂, ... корня .

Возможен также другой вид ломаной А₀В₁А₁В₂А₂ ... - “спираль” (Рисунок 6, б). Решение в виде “лестницы” получается, если производная j' (х) положительна, а решение в виде “спирали”, если j' (х) отрицательна.

На Рисунке 6, а, б кривая у = j (х) в окрестности корня - пологая, то есть <1, и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай, где >1, то процесс итерации может быть расходящимся (Рисунок 7).

Рисунок 7.

Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.

Теорема: Пусть функция j (х) определена и дифференцируема на отрезке [a, b], причем все ее значения j (х) [a, b].

Тогда, если существует правильная дробь q такая, что

q < 1

при a < x < b, то: 1) процесс итерации

сходится независимо от начального значения х_{0 I} [a, b];

2) предельное значение является единственным корнем уравнения х = j (х) на отрезке [a, b].

Пример 5. Уравнение

имеет корень x [1, 2], так как f(1) = - 1 < 0 и f(2) = 5 > 0.

Уравнение (10) можно записать в виде

Здесь

j (х) = х³ - 1 и j' (х) = 3х²;

поэтому

j' (х) 3 при 1 х 2

и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены.

Если записать уравнение (10) в виде

то будем иметь:

.

Отсюда при 1 х 2 и значит, процесс итерации для уравнения (12) быстро сойдется.

Найдем корень x уравнения (10) с точностью до 10^-2. Вычисляем последовательные приближения х_n с одним запасным знаком по формуле

Найденные значения помещены в Таблицу 1:

Таблица 1

Значения последовательных приближений x_i.

С точностью до 10^-2 можно положить x = 1,324.