Вычисление наибольшей прибыли предприятия

Содержание

Задача 1. 2

Задача 2. 4

Задача 3. 6

Задача 1

Пусть х (млн. шт.) – объем производства, С(х)=2х³-7х и D(x)=2х²+9х+15 – соответственно функция издержек и доход некоторой фирмы. При каком значении х фирма получит наибольшую прибыль π(х)? какова эта прибыль?

Решение

Прибыль фирмы является разницей между доходом и издержками фирмы:

,

,

.

Найдем наибольшее значение прибыли путем нахождения максимума функции .

- не удовлетворяет условию задачи,

.

График функции прибыли представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 - График функции прибыли

Как видно из рисунка 1, функция прибыли в точке х=2 достигает максимального значения. Следовательно, фирма получает наибольшую прибыль при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составляет:

млн. у.е.

Ответ: наибольшую прибыль фирма получит при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составит 39 млн. у.е.

Задача 2

Заданы: функция прибыли , где х₁ и х₂ – объемы некоторых ресурсов; цены р₁=1 и р₂=1 за единицу каждого ресурса соответственно (в некоторых у.е.); бюджетное ограничение I=150 на затраты по приобретению указанных ресурсов (в тех же у.е.). При каких значениях объемов используемых ресурсов фирма–производитель получит наибольшую прибыль?

Решение

Задача сводится к поиску максимума функции при существовании ограничения :

при .

,

.

Найдем максимум функции графически.

Рисунок 2 – График функции

Как видно, функция достигает максимального значения при х₁=90.

,

.

Ответ: фирма–производитель получит наибольшую прибыль при объемах ресурсов х₁=90 и х₂=60.

Задача 3

Задана парная выборка из 10 пар значений случайных велbчин X и Y (таблица 1).

Таблица 1 – Исходные данные

1) Изобразите корреляционное поле случайных величин X и Y.

2) Вычислите основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации.

3) Найдите их совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции.

4) С помощью найденных характеристик составьте уравнение линейной регрессии Y на X.

5) Составьте уравнение линейной регрессии X на Y.

6) Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии.

7) Вычислите стандартные ошибки коэффициентов регрессии b₀ и b₁.

8) Проверьте гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b₀ и b₁.

9) Вычислите с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b₀ и b₁ регрессии Y на X.

10) Найдите коэффициент детерминации R² и поясните смысл полученного результата.

Решение.

1) Корреляционное поле случайных величин X и Y

2) Основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации

Таблица 2 – Вспомогательные расчеты

Математическое ожидание:

,

.

Дисперсия:

,

.

Среднеквадратическое отклонение:

,

.

Размах вариации:

,

.

3) Совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции

Ковариация:

.

Коэффициент корреляции:

.

4) Уравнение линейной регрессии Y на X

,

,

.

5) Уравнение линейной регрессии X на Y

,

,

.

6) Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии

Точка пересечения (18,4;46,9).

7) Стандартные ошибки коэффициентов регрессии b₀ и b₁

Таблица 3 – Вспомогательные расчеты

Для линии регрессии Y на X:

,

,

.

Для линии регрессии X на Y:

,

,

.

8) Проверка гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b₀ и b₁

Для α=0,05 и k=n-1-1=8 значение критерия Стьюдента t=2,31

Для линии регрессии Y на X:

, коэффициент значим,

, коэффициент значим.

Для линии регрессии X на Y:

, коэффициент значим,

, коэффициент значим.

9) Вычисляем с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b₀ и b₁ регрессии Y на X

Доверительный интервал для b₀:

<a₀<,

<a₀<,

54,97<a₀<83,03.

Доверительный интервал для b₁:

<a₁<,

<a₁<,

-1,23<a₁<-1,17.

10) Коэффициент детерминации R² :

.

Коэффициент детерминации R²=0,6724 показывает, что вариация параметра Y на 67,24% объясняется фактором Х. Доля влияния неучтенных факторов – 32,76%.