Аналитическая геометрия 2

министерство образования российской федерации

магнитогорский государственный

технический университет им. г. и. носова

кафедра математики

аналитическая геометрия

Методическая разработка для самостоятельной

работы студентов по курсу «Высшая математика»

Магнитогорск

2007

Составитель: Акуленко И. В.

Аналитическая геометрия: Методическая разработка для самостоятельной работы студентов по курсу «Высшая математика» для студентов всех специальностей. Магнитогорск: МГТУ, 2007. 30 с.

Методическая разработка содержит перечень вопросов по изучаемому разделу, решение типовых задач по изучаемому разделу.

Рецензент: старший преподаватель Коротецкая В. А.

Введение

Методическая разработка предназначена для студентов всех специальностей.

Данная методическая разработка ставит своей целью помочь студенту самостоятельно овладеть методами решения задач по разделу «Аналитическая геометрия».

В методической разработке:

• содержится теоретическое введение;
• решение типовых задач;
• указана литература.

Методическая разработка предоставляет студенту широкие возможности для активной самостоятельной работы.

Прямая на плоскости

1) – общее уравнение прямой;

2) – уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀) перпендикулярно нормальному вектору

3) уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀) параллельно направляющему вектору (каноническое уравнение прямой);

4) параметрическое уравнение прямой;

5) уравнение прямой в отрезках, где и - величины направленных отрезков, отсекаемых на координатных осях и соответственно;

6) уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀), угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси ;

7) уравнение прямой с угловым коэффициентом ; - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ;

8) тангенс острого угла между двумя прямыми и

9) и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых и

10) расстояние от точки М₀(х₀, у₀) до прямой ;

11) уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых и

12) уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(х₁, у₁) и М₂(х₂, у₂);

Пример 1. Даны вершины треугольника М₁(2; 1), М₂(-1; -1) и М₃(3; 4). Составить уравнения его высот.

Решение.

Пусть М₁N – высота треугольника М₁М₂М₃. Рассмотрим два вектора и По условию эти векторы ортогональны.

Значит,Аналогично находим другие высоты треугольника.

Ответ:

Пример 2. Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами А(3; 2), В(5; -2), С(1; 0).

Решение.

1) Воспользуемся уравнением прямой,

АВ:

Найдем уравнение медианы АМ. Для этого найдем координаты точки М – середины отрезка ВС:

М(3; -1).

Уравнение АМ:

уравнение медианы, проведенной из вершины А.

2) Найдем уравнения СВ и CN; N(x; y), где

N(4; 0).

Тогда ВС:

CN:

Ответ: АВ: ВС: СА: АМ:

СN: BF:

Пример 3. Даны вершины треугольника А(1; -1), В(-2; 1) и С(3;5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

Решение.

По условию следовательно,

Тогда искомое уравнение будет:

Ответ:

Пример 4. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин В(2;-7), а также уравнение высоты и медианыпроведенных из различных вершин.

Решение.

1) По условию есть уравнение высоты треугольника, значит, её нормальный вектор является направляющим вектором стороны ВС.

(ВС).

2) Обозначим координаты вершины А через x₁, y₁: A(x₁; y₁). Так как точка М(х; у) середина отрезка АВ, то Так как точка М(х; у) лежит на медиане, то её координаты удовлетворяют уравнениюКроме того, точка А лежит на высоте h: , значит, координаты точки A(x₁; y₁) удовлетворяют этому уравнению. Получаем линейную алгебраическую систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Отсюда находим х₁=-4, у₁=1, А(-4; 1).

3) Найдем уравнение стороны АВ треугольника как уравнение прямой, проходящей через В(2; -7) параллельно вектору

(АВ).

4) Найдем координаты вершины С как точки пересечения прямых (ВС) и (m):

отсюда С(5; -6).

5) Уравнение стороны АС как уравнение прямой, проходящей через две данные точки: А(-4; 1) и С(5; -6); (АС).

Ответ: (ВС) , (АВ) ,

(АС) .

Пример 5. Составить уравнение биссектрис углов между прямыми .

Решение.

Точка М(х, у) лежит на одной из биссектрис углов, образованных данными прямыми тогда и только тогда, когда расстояние d₁ и d₂ от этой точки М до данных прямых равны между собой: d₁=d₂ , т.е.

Значит, уравнение одной из биссектрис имеет вид: , а уравнение другой или

Ответ:

Пример 6. Составить уравнение биссектрисы того угла между двумя прямыми в котором лежит точка А(2; -1).

Решение.

Подставляя координаты точки А в левые части уравнения прямых, получим 2+7(-1)+3<0, 2-1+2>0. Значит, точка А лежит в тех полуплоскостях от данных прямых, для координат точек которых Искомая биссектриса проходит, следовательно, в тех областях, для координат точек которых функции и имеют разные знаки. Значит, уравнение искомой биссектрисы: или

Ответ:

Плоскость

1) уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору

2) общее уравнение плоскости, - нормальный вектор этой плоскости.

3) уравнение плоскости в отрезках, где a, b, c – величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ох, Оу, Оz соответственно;

4) Пусть даны две плоскости

В качестве угла между плоскостями и принимается угол между их нормальными векторами: или в координатной форме

5) Условие перпендикулярности двух плоскостей и : или в координатной форме: .

6) Условие параллельности двух плоскостей и :

7) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки :

М₁(х₁; y₁; z₁), М₂(х₂; y₂; z₂), М₃(х₃; y₃; z₃):

или в координатной форме:

8) Если плоскость задана общим уравнением а - некоторая точка пространства, то есть формула расстояния от точки М₀ до плоскости.

9) Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей.

Еслииесть уравнения двух различных непараллельных плоскостей, пересечением которых служит некоторая прямая L, а числа любые не равные одновременно нулю, то есть уравнение плоскости, проходящей через прямую L. Более того, какова бы ни была проходящая через прямую L плоскость, она может быть определена из пучка плоскостей при определенных значениях .

Пример 1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₁(2; 1; -1) и имеет нормальный вектор

Решение.

Для вывода уравнения плоскости возьмем на этой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами. Получим вектор

По условию

Ответ:

Пример 2. Даны две точки М₁(3; -1; 2) М₂(4; -2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через М₁ перпендикулярно вектору

Решение.

По условию вектор является нормальным вектором искомой плоскости Уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ перпендикулярно вектору есть или

Ответ:

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁(3; 4; -5) параллельно двум векторам и

Решение.

Отложим векторы и в плоскости, проходящей через точку М₁, и возьмем на искомой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами.

Получим, что три вектора , лежат в одной плоскости, т.е. они компланарны.

Условие компланарности есть равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов.

Ответ:

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁(2; -1; 3) и М₂(3; 1; 2) параллельно вектору

Решение.

Отложим вектор и точку М(x; y; z) с текущими координатами в плоскости, проходящей через точки М₁ и М_2.

Получим компланарные векторы Следовательно, по условию компланарности трех векторов будем иметь:

или

Ответ:

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точку М₁(3; -1; 2), М₂(4; -1; -1) и М₃(2; 0; 2).

Решение.

Возьмем на плоскости точку с текущими координатами М(x; y; z), будем иметь векторы

Эти векторы по условию компланарны. Условие компланарности есть равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов:

или

Ответ:

Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁(3; -2; 7) параллельно плоскости

Решение.

Так как искомая плоскость и данная – параллельны, то у них общий нормальный вектор. Таким образом, получим: через данную точку М₁ провести плоскость, перпендикулярно данному вектору

Ответ:

Пример 7. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:

Решение.

Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскостям и , то нормальные векторы и и вектор (М – точка с текущими координатами) – компланарны. Следовательно, или

Ответ:

Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки М₁(1; -1; -2) и М₂(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости

Решение.

Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскости , то нормальный вектор отложим в плоскости точек М₁ и М₂.

Возьмем на искомой плоскости ещё точку с текущими координатами, получим векторы:

Три вектора и - компланарны, поэтому или

Ответ:

Пример 9. Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось Оу и точку М₂(1; 4; 3).

Решение.

Так как плоскость проходит через ось Оу, то её уравнение можно взять в виде . Плоскость проходит через точку М₂(1; 4; 3), значит, координаты точки удовлетворяют уравнению. Получаем: , к=-3,

Ответ:

Пример 10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(7; 2; -3) и М₂(5; 6; -4) параллельно оси Ох.

Решение.

Уравнение плоскости, параллельной оси Ох, имеет вид: (коэффициенты B, C, D отличны от нуля). Запишем это уравнение так: Так как эта плоскость проходит через точки М₁ и М₂, то координаты этих точек удовлетворяют искомому уравнению, получаем линейную алгебраическую систему уравнений:

Þ

Тогда или

Ответ:

Пример 11. Докажите, что четыре точки А(1; 2; -1), В(0; 1; 5), С(-1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости.

Решение.

Рассмотрим векторы , ,.Если они компланарны, то данные точки лежат в одной плоскости.

Тогда

Ответ: данные точки лежат в одной плоскости.

Пример 12. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₁(4; 3; 2) и отсекает на координатных осях положительные отрезки одинаковой длины.

Решение.

Уравнение плоскости в отрезках: По условию а=b=c>0. Тогда уравнение плоскости можно записать Так как точка М₁(4; 3; 2) лежит в этой плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению: 4+3+2=а, а=9. Следовательно,

Ответ:

Пример 13. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей параллельно вектору

Решение.

Векторы и - нормальные векторы данных плоскостей.

Найдем их векторное произведение:

В качестве направляющего вектора прямой пересечения плоскостей примем вектор

Возьмем какую – нибудь точку на этой прямой, например, М₁(х; у; 0), тогда

Û М₁().

Так как векторы компланарны, то Þ

Ответ:

Прямая и плоскость в пространстве

1) каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М₀(x₀; y₀; z₀) параллельно направляющему вектору

2) уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(x₁; y₁; z₁) и М₂(x₂; y₂; z₂);

3) уравнения параметрическое уравнение прямой в пространстве.

4) Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями

L₁: ,

L₂: .

За угол φ между прямыми принимают угол между их направляющими векторами :

, или в координатной форме

.

5) условие перпендикулярности двух прямых L₁ и L₂.

6) условие параллельности двух прямых L₁ и L₂ в пространстве.

7) Общие уравнения прямой в пространстве

где коэффициенты А₁, В₁, С₁ не пропорциональны коэффициентам А₂, В₂, С₂. В данном случае прямая задана как линия пересечения плоскостей.

Пример 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямые:

L₁: , L₂: .

Решение.

Обозначим точки, через которые проходят прямые L₁ и L₂ - М₁(2; -1; 3) и М₂(1; 2; -3). Им соответствует вектор

Возьмем на искомой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами, получим вектор . Таким образом, три вектора и направляющий вектор прямой

компланарны. По условию компланарности трех векторов имеем или

Ответ:

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости

Решение.

, . Данная прямая действительно перпендикулярна данной плоскости:

Следовательно, по условию задачи будут удовлетворять все плоскости, принадлежащие пучку плоскостей, проходящих через эту прямую.

Ответ:

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁(1; 2; -3) параллельно прямым , .

Решение.

Отложим в искомой плоскости точки М₁(1; 2; -3), М(x; y; z) и векторы , .

Тогда три вектора и будут компланарны. По условию компланарности трех векторов будем иметь: , т.е.

Ответ:

Пример 4. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М₁(1; -1; -3) параллельно прямой .

Решение.

Возьмем на искомой прямой точку М(x; y; z) с текущими координатами, тогда векторы и будут коллинеарные, т.е. . Отсюда получаем

Ответ:

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁(2; -2; 1) и прямую

Решение.

По уравнениям данной прямой находим точку прямой М₂(1; 2; -3) и направляющий вектор прямой .

Получаем три вектора, отложенных в искомой плоскости: , .

По условию компланарности трех векторов имеем:

или

Ответ:

Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости

Решение.

Три вектора , компланарны только тогда, когда или

Ответ:

Пример 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁(1; -2; 1) перпендикулярно прямой

Решение.

Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой, заданной общими уравнениями, то нормальные векторы данных плоскостей можно отложить вместе с вектором в одной плоскости. Следовательно, векторы , , компланарны. По условию компланарности трех векторов имеем:

или

Ответ:

Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁(1; 1; -1) и М₂(3; 4; 1) параллельно прямой .

Решение.

Возьмем на искомой плоскости точку с текущими координатами, получим вектор .

Векторы , , и компланарны. По условию компланарности трех векторов , , имеем:

или

Ответ:

Пример 9. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М₀(2; 3; 1) на плоскость

Решение.

Нормальный вектор данной плоскости будет по условию направляющим вектором прямой, проходящей через точку М₀(2; 3; 1). Её уравнение

Ответ: .

Пример 10. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М₁(3; 2; 1) на прямую .

Решение.

1) Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку М₁(3; 2; 1) перпендикулярно данной прямой (или перпендикулярно вектору - направляющему вектору прямой):

или

2) Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую. На данной прямой возьмем точку М₂(0; 0; -3). Тогда надо найти вторую плоскость, проходящую через точки М₁(3; 2; 1) и М₂(0; 0; -3), и параллельно направляющему вектору данной прямой . Имеем . Следовательно, уравнение второй плоскости

или

Найденные плоскости пересекаются по прямой l, которая проходит через данную точку и перпендикулярна данной прямой, поэтому уравнения и будут уравнениями прямой l – искомого перпендикуляра.

Ответ:

Пример 11. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀(-4; 3; 0) и параллельно прямой

Решение.

Найдем направляющий вектор прямой ,

Тогда уравнение искомой прямой есть .

Ответ: .

Пример 12. Найти прямую, проходящую через точку М₀(-4; 3; 0) и перпендикулярно к прямым и .

Решение.

Вычислим направляющий вектор перпендикуляра к плоскости, проходящей через прямую параллельно другой прямой.

Тогда уравнение искомого перпендикуляра будет:

Ответ:

Пример 13. Задана плоскость Р: и прямая L: , причем LÎР.

Требуется найти:

a) угол между прямой и плоскостью;

b) координаты точек пересечения прямой и плоскости.

Решение.

a) ,, ,

b) Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

, или параметрически х=1, у=2t, z=t-1.

Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, найдем значение t: 1+2t-t+1+1=0; t=-3. Тогда координаты точки пересечения прямой и плоскости будут: х=1, у=-6, z=-4.

Ответ: а) b) (1; -6; -4).

Пример 14. Определить косинус угла между прямыми:

Решение.

Найдем направляющие векторы данных прямых

,

Ответ:

Пример 15. Найти проекцию точки А(4; -3; 1) на плоскость

Решение.

8) Найдем уравнение перпендикуляра, проходящего через точку А(4; -3; 1), к плоскости

Получим .

9) Найдем точку пересечения прямой и данной плоскости. Для этого подставим х=t+4, у=2t, z=-t+1 в уравнение плоскости. Будем иметь уравнение относительно параметра t: t+4+2(2t-3)-(t+1)-3=0; 6t=6; t=1.

10) Подставим найденное значение параметра t=1 в параметрическое уравнение прямой, получим х₀=5, у₀=-1, z₀=0.

Ответ: (5; -1; 0).

Пример 16. Найти расстояние от точки М(2; -1; 3) до прямой .

Решение.

; найдем

Ответ:

Пример 17. Заданы скрещивающиеся прямые L₁: и

L₂: Найти расстояние d(L₁; L₂) между прямыми и написать уравнение общего перпендикуляра L к этим прямым.

Решение.

Найдем уравнение плоскости Р, проходящей через прямую L₁, параллельную L₂. Точка М₁(0; 1; -2) лежит на прямой L₁ и, следовательно, принадлежит искомой плоскости Р. В качестве нормального вектора к этой плоскости возьмем вектор

Уравнение плоскости Р: или в общем виде Расстояние d(L₁; L₂) равно расстоянию от любой точки прямой L₂, например, точки М₂(-1; -1; 2), до данной плоскости Р.

Для того, чтобы составить уравнение общего перпендикуляра L, найдем уравнение плоскостей Р₁ и Р₂, проходящих через заданные L₁ и L₂ сооответсвенно и перпендикулярных плоскостей Р. Имеем: М₁(0; 1; -2)ÎР₁ и откуда Р₁:

Аналогично, М₂(-1; -1; 2)ÎР₂ (^Р) и откуда Р₂: Так как L=P₁ÇP₂, то - общее уравнение прямой L.

Ответ:

Пример 18: Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀(2; 1; 0) и пересекающей две прямые и .

Решение.

Искомую прямую можно рассматривать как прямую, по которой пересекаются две плоскости, проходящие через данную точку и одну из данных прямых.

Уравнения этих плоскостей:

,

или - искомые уравнения прямой.

Ответ:

Библиографический список

1. Писменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [ в 2 ч.]. Ч. 1 / Д. Т. Писменный. – 6-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 288 с.

2. Соболь Б. В., Мишняков Н. Т., Поркшеян В. М. Практикум по высшей математике. – Ростов Н/ Д: изд-во «Феникс», 2004. – 640 с.

Решение:

1) проверить, что заданные высоты не проходят через известную вершину C;
2) найти угловые коэффициенты данных прямых;
3) найти угловые коэффициенты сторон треугольника BC и AС, исходя из того, что прямые, на которых лежат эти стороны, перпендикулярны данным прямым (высотам):

, ;

4) составить уравнения этих сторон, зная их угловые коэффициенты и точку С, через которую они проходят;
5) найти остальные вершины треугольника, решая совместно уравнения соответствующих высот и сторон треугольника;
6) найти уравнение оставшейся стороны AB треугольника по двум точкам - найденным вершинам А и В.