Методи вирішення проблем дискретного логарифмування

Методи вирішення проблем дискретного логарифмування

1. Метод Поліга-Хелмана

Метод Поліга-Хелмана запропонований в 1978 році для визначення дискретного логарифма в мультиплікативній групі поля .

Він заснований на відомій для групи факторизації порядку групи за ступенями простих чисел

Стосовно до адитивної групи точок з генератором порядку маємо Відповідно до відомої китайської теореми про залишки існує єдине натуральне число , таке що

Після визначення значення дискретний логарифм здобувають за допомогою розширеного алгоритму Евкліда. Наведемо приклад.

Приклад 1

Нехай порядок циклічної групи дорівнює , а точка , тобто . Це значення має бути визначене в підсумку рішення ECDLP.

Тут На першому етапі визначаємо точку Отримуємо точку другого порядку з відомими координатами Оскільки , маємо перше порівняння

На наступному етапі знаходимо одну із точок третього порядку Ці точки також відомі, тому з отримуємо наступне порівняння

Нарешті, визначаємо точку 5-го порядку й отримуємо

.

Наведені три порівняння дають єдине розв’язання В загальному випадку необхідно знати координати точок із загальної кількості .

Задача ускладнюється із зростанням переважно простого співмножника в розкладанні порядку групи. У цьому зв'язку для захисту від атаки Поліга-Хелмана порядок криптосистеми обирають рівним великому простому числу, при цьому порядок кривої називають ² майже простим ² (з малим множником ).

2. Метод ділення точок на два

Метод ділення точок на два. Для кривих над полем запропонований метод розв’язання , заснований на процедурі, зворотної обчисленню точки шляхом послідовних подвоєнь і додавань при двійковому поданні числа .

У звичайній арифметиці двійкове подання цілого числа починається з визначення молодшого біта: при непарних з віднімається 1 (це молодший біт двійкового подання ) і результат ділиться на 2.

Якщо частка парна, ділення триває, у протилежному випадку виконується віднімання 1 і ділення на 2 (отримуємо наступний розряд числа рівний відповідно 0 або 1). Процедура триває до одержання частки, рівної 1. Якщо точка – генератор простого порядку , то при знанні відповіді на питання про парність (непарність) множника точки легко вирішується ( у поліноміальному часі ) описаною вище послідовною процедурою віднімання-ділення на два.

У простому полі ділення на два тотожно множення на елемент

Виявляється замість багаторазового додавання ділення точки на два виконується набагато ефективніше й швидше.

Визначимо порядок кривої як

де - велике просте число (в існуючих криптографічних стандартах ), - непарне число.

Нехай - точка порядку , тоді генератор криптосистеми може бути визначений як точка порядку .

Введемо операцію ділення точки несуперсингулярної кривої

: (1)

на два як зворотну подвоєнню. Нехай маємо точку та точку з координатами

(2)

Інакше кажучи, визначення означає знаходження координат точки з відомої точки Відповідно до (2) для цього необхідно вирішувати квадратне рівняння

(3)

У загальному випадку це рівняння має два розв'язки й при наслідку

(4)

Якщо слід то точка - непарна точка - непарне). Під час виконання (4) отримуємо дві точки: і ділення точки на два з координатами

(5)

З (1) і (5) неважко отримати співвідношення між координатами точок ділення

які можуть бути корисні при криптоаналізі. Відзначимо дві властивості точок ділення.

Точки ділення пов'язані як , де - точка другого порядку, дорівнює . Дійсно,

,

тому що

Якщо - точка непарного порядку , тобто , то точка

ає порядок , тому що

й .

У порівнянні з подвоєнням точки (2), яке вимагає обчислення двох множень й інверсії елемента (найбільш трудомістка обчислювальна операція), ділення (5) не вимагає інверсії елемента й може бути реалізоване набагато швидше.

Найбільш ефективне розв’язання рівняння (3) і операцій (4), (5) виконуються в НБ (нормальному базисі) мінімальної складності, зокрема, в ОНБ (оптимальному нормальному базисі).

Розв’язання квадратного рівняння в НБ здійснюється за допомогою простої -бітової рекурентної послідовності. Слід (4) елементів парної ваги дорівнює 0, а непарної ваги - 1.

Піднесення у квадрат (добування кореня квадратного) у нормальному базисі зводиться до циклічного зсуву вправо (вліво) -бітового елемента поля.

Поряд з додаванням елементів за модулем 2 перераховані операції часто називають ²безкоштовними² і не враховують у наближених розрахунках обчислювальної складності. Ділення відповідно до (5) вимагає лише двох множень у нормальному базисі як найбільш складних операцій. Це приблизно на порядок збільшує швидкість виконання операцій ділення на два в порівнянні з операцією подвоєння точки.

Розглянемо можливі підходи до розв’язання задач дискретного логарифма. Найбільш проста ситуація виникає для кривої

,

,

з коефіцієнтом , порядок якої

Максимальний простий порядок досягається при . Покладемо, що , а генератор має порядок . У циклічній групі всі точки є точками подільності на два, відповідно до (4) їх -координати мають слід й, отже, непарну вагу при поданні в НБ. При діленні на два отримуємо дві точки, одна з яких належить групі й має порядок , а інша максимальний порядок

Вони мають відповідно непарну й парну вагу -координат і легко розрізнюються без множення на Вибір однієї із точок (5) порядку здійснюється досить просто. Оскільки в групі випливає, що

то після множення визначається вага елемента або його слід.

При (парна вага елемента) користуються другою формулою (5), у протилежному випадку - першою формулою (5). Таким чином, ділення на два з вибором точки порядку практично зводиться до двох множень у поле.

Відзначимо, що при послідовному діленні на два для половини всіх кривих (з коефіцієнтом і порядком достатнім виявляється лише одне множення в поле.

Для цього при кожному діленні обчислюється лише розв'язання квадратного рівняння (4) і координата точки ділення. Нехай , і при послідовному діленні на два з вибором точки із групи одержуємо

.

Згідно з (5) (перша формула) , . . . , , тому підсумовуючи рівності

отримуємо з урахуванням першого ділення

(6)

де кожне з рішень вибирається так, щоб виконувалася умова тобто в НБ вагу вектора була непарним.

Як видно, рекурентне обчислення за формулою (6) не вимагає обчислення координати на кожному кроці ділення, замість неї слід лише запам'ятати параметри й . За необхідності – координата обчислюється як

Таким чином, відповідно до (6) алгоритм послідовного ділення на дві точки із групи вимагає лише одного множення елементів у поле . Це чудова властивість операції ділення на два можна використати з метою збільшення продуктивності обчислень як при криптоаналізі, так і при швидкому експоненціюванні будь-якої точки із групи .

Якщо припустити, що для будь-якої точки ми знайшли спосіб визначення парності (непарності) , то послідовна процедура віднімання й ділення на два з вибором точки із групи за поліноміальний час приведе нас до відомої точки .

Значення у двійковому поданні визначається самою процедурою віднімання-ділення. Зрозуміло, що така функція вже не однобічна. Це питання поки залишається відкритим і доводиться вирішувати відомими методами з експонентною складністю.

Для кривої з коефіцієнтом оптимальний порядок . При діленні на дві точки із групи , як й у попередньому випадку, отримуємо дві точки порядку й , однак обидві точки ділення парні й мають слід - координат (і, відповідно, парна вага в нормальному базисі).

Визначити, яка з них має порядок , можна шляхом множення кожної з них на , але це вимагає більших обчислювальних витрат. Більш раціональне дворазове ділення на два, яке в одній з галузей дасть дві точки порядку , вони не діляться на два й мають координати непарної ваги. Ця галузь відбраковується й залишається точка із групи

Приклад 1. Розглянемо криву Коблиця над полем , яка має порядок . Всі точки з генератором наведено в таблиці 1

Таблиця 1- Координати точок кривої над полем

Приймемо

.

При діленні точки на два отримаємо дві точки

й .

Розглянемо всі операції при діленні точки відповідно до (3), (5) (друга з формул) в ОНБ із ізоморфізмом, тобто

, .

У нормальному базисі маємо . Розв’язуємо рівняння (3)

.

Відповідно до таблиці 2 , тоді одне з розв’язань для легко отримати, задаючи перший біт, скажімо, рівним 0.

Таблиця 2 - Елементи поля як степені елемента в ОНБ

При цьому інші біти визначаються із суми

, тобто

.

Друге розв’язання, мабуть, дорівнює . Легко перевірити, що отримані розв’язання задовольняють рівняння

.

Згідно з (5) (перша з формул) і даних таблиці 2 маємо

Отримано дві точки:

і .

Для визначення кожної необхідно виконати по два множення елементів поля. Неважко перевірити виконання умови

дискретне логарифмування метод

, ,

зокрема,

.

Обидві точки мають сліди

,

і, отже, діляться на два, але мають різні порядки. Точка має порядок 22, а точка - порядок Для визначення порядку достатньо виконати ще одне ділення на два. Якщо поділити точку, то отримаємо дві точки порядку 44, що не діляться на два (з непарною вагою x координат). При діленні точки отримаємо дві точки з порядками 22 й 11 (з парною вагою x координат).