Вычисление радиальных функций Матье-Ханкеля

Вычисление радиальных функций матье-ханкеля

Н.И. Волвенко, V курс, Институт математики и компьютерных наук ДВГУ, Т.В. Пак – научный руководитель, доцент, к.ф.-м.н., и.о. зав. кафедрой КТ

Функции Матье, в отличие от широко известных специальных функций, таких как полиномы Лежандра, функции Бесселя и Неймана, изучены ещё недостаточно полно. Почти все используемые методы расчёта связаны с разложением в ряды по более простым цилиндрическим и т.п. функциям. Недостаток таких методов в том, что они достаточно громоздки и имеют ограниченную применимость.

Функции Матье возникают при разделении переменных в уравнении Гельмгольца:

, (1)

где - некоторая вещественная положительная константа и - оператор Лапласа.

Эллиптические координаты , допускающие разделение переменных связаны с декартовыми: ,.

Полагая в методе разделения переменных, получаем уравнения:

, ,

где - константа разделения. Эти уравнения являются вариантами уравнений Матье.

Дифференциальное уравнения Матье имеет вид

, (2)

где обычно переменная имеет вещественное значение, а - заданный вещественный ненулевой параметр.

Собственные значения и граничные условия

(3)

соответствуют чётным функциям Матье , а собственные значения и граничные условия

(4)

нечётным функциям Матье

В силу свойств симметрии уравнение (2) имеет 4 типа периодических решений, называемых функциями Матье 1-ого рода: чётную π-периодическую, чётную 2π-периодическую, нечётную 2π-периодическую, нечётную π-периодическую функции, которые чаще всего обозначаются таким образом: , , , .

Собственные значения , отвечающие функциям , , , , обозначаются через , , , .

Модифицированное уравнение Матье

(5)

получается из уравнения Матье (2) подстановкой . В зависимости от того, будет в (5) или , это уравнение имеет либо решение , либо решение , которые являются соответственно чётной и нечётной функциями от ξ.

Функции, являющиеся решениями уравнения (5), называются радиальными функциями Матье (РФМ).

Различают РФМ 1, 2, 3 и 4 рода: , , , .

Вычисление функций Матье I рода

Радиальные функции Матье первого рода являются решениями ОДУ второго порядка

, (6)

удовлетворяющие в нуле условию

, если (7)

, если

И на бесконечности условию

~, (8)

где - задано, а () - собственные значения задачи (2), (3), (4),

Параметр используются для различия случаев использования чётного или нечётного номера собственного значения для π и 2π периодических собственных функций:

Для решения задачи (6)-(8) используем модификацию метода фазовых функций.

Введём замену переменных:

(9)

(10)

Здесь - "масштабирующая" функция, положительная на , удовлетворяющая условию при , её выбор находится в нашем распоряжении.

Подставляя (9), (10) в исходное уравнение (6) задачи для и :

(11)

(12)

где и .

Для совместного решения задач Коши для и используется следующий приём. Функцию ищем в точках . На каждом из отрезков вспомогательные функции находятся, как решение задач Коши

(13)

где .

Поскольку для любых решений и , уравнений (12) и (13) справедливо соотношение , получаем рекуррентные формулы «назад» для вычисления , ,

, , (14)

причём .

Итак, краткий алгоритм решения задачи (6)-(8) состоит в следующем:

1. Решаются совместно задачи Коши (11), (12) запоминая в точках разбиения отрезка величины , , ;

2. Полагая , по формуле (14) вычисляем , ;

3. По формуле (10) вычисляем функции , ;

4. Из (9) и (10) получаем выражение для производной функции

.

В качестве сглаживающей функции предлагается следующая функция

, где .

Вычисление функций Матье III рода

Волновая радиальная функция Матье-Ханкеля третьего рода является решением обыкновенного дифференциального уравнения второго ворядка на полубесконечном интервале:

,. (15)

Условие на бесконечности

~, . (16)

Для уравнения (15) условие (16) эквивалентно условию:

,

и при достаточно больших линейному соотношению:

, .

(17)

Решение задачи (17) существует, единственно и при достаточно больших представимо асимптотическим рядом .

Рассмотрим алгоритм нахождения функций . Для их вычисления нужно перенести граничное условие

,

где , справа налево от точки до точки .

Воспользуемся вариантом ортогональной дифференциальной прогонки.

По всему отрезку переносим соотношение

,

потребовав выполнение условия для всех , , где и удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 1-ого порядка

.

Функции Матье 3-его рода ищем по формуле:

,

где .

Функции Матье 2-ого рода вычисляются по формуле:

.

функция матье дифференциальное уравнение

Описанные алгоритмы вычисления радиальных функций эллиптического цилиндра опробованы в широком диапазоне изменения параметров. Точность результатов определяется точностью используемого метода Рунге-Кутта для решения соответствующих задач Коши.

Литература

1. Абрамов А.А., Дышко А.Л., Пак Т.В. и др. Численные методы решения задач на собственные значения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями. – Третья конференция по дифференциальным уравнениям и приложениям. – Тезисы докладов. Руссе, Болгария, 1985. – с.4.

2. Миллер У. мл. Симметрия и разделение переменных / Пер. с англ. – М.: Мир, 1981. – 342 с.

3. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками таблицами. / Под редакцией М. Абрамовица, И. Стигана. – М. – 1979. – 832 с.:ил.