Функции

РЕФЕРАТ

Функции

Понятие функции – одно из важнейших понятий математики. Пусть даны два множества Х и У и каждому элементу х Î Х поставлен в соответствие единственный элемент у Î У, который обозначен через f(х). В этом случае говорят, что на множестве Х задана функция f и пишут:

f : Х ® У.

Например, пусть Х = {а; b; с; d}, У = {a; b; g; d} и функция f:Х ®У определена так:

f(a) = b, f(b) = a, f(c) = f(d) = d.

Наглядно эту функцию можно представить следующим образом: множества Х и У изобразим в виде областей, элементы множеств – в виде точек, а установленное соответствие – в виде стрелок:

Идея функциональной зависимости зародилась в античной математике, но она еще не была явно выражена и не являлась самостоятельным объектом исследования, хотя и был известен широкий круг конкретных систематически изучавшихся функциональных соответствий. В зачаточной форме понятие функции появляется в трудах ученых в средние века, но лишь в работах математиков 17 века, и прежде всего П. Ферма, Р. Декарта, И. Ньютона и Г. Лейбница, это понятие стало оформляться как самостоятельное. Термин «функция» впервые появился у Г. Лейбница. Для задания функции использовались геометрические, аналитические и кинематические концепции, но постепенно стало превалировать представление о функции как о некотором аналитическом выражении. В четкой форме это было сформулировано в 18 веке. И. Бернулли принадлежит определение, что «функцией переменной величины… называется количество, составленное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Л. Эйлер, приняв это определение, заменил в нем слово «количество» словами «аналитическое выражение». Несколько позже у Л. Эйлера появился уже и более общий подход к понятию функции как зависимости одной переменной величины от другой. Эта точка зрения получила свое дальнейшее развитие в трудах Ж. Фурье, Н.И. Лобачевского, П. Дирихле, Б. Больцано, О. Коши, где стало выкристаллизовываться представление о функции как о соответствии между двумя числовыми множествами. Так, в 1834 году Н.И. Лобачевский писал: «Общее понятие функции требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбрать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Определение функции как соответствия между двумя произвольными (не обязательно числовыми) множествами в 1887 году было сформулировано Р. Дедекиндом.

Понятие соответствия, а следовательно, и понятие функции иногда сводится к другим понятиям (множеству, отношению или другим теоретико-множественным и логико-математическим концепциям), а иногда принимается за первичное, неопределяемое понятие, поскольку, как это выразил, например, А. Черч: «В конечном счете понятие функции – или какое-либо сходное понятие, например, понятие класса, - приходится считать первоначальным, или неопределимым».

Ниже рассматривается понятие функции, основанное на понятии множества и простейших операций над множествами.

Пусть даны два множества Х и У. Всякое множество f = {(х; у)} упорядоченных пар (х; у), х Î Х, у ÎУ, такое, что для любых пар (х¢; у¢) Îf и (х¢¢; у¢¢) Îf из условия у¢¹у¢¢ следует, что х¢¹ х¢¢, называется функцией, или, что то же самое, отображением из Х в У.

В рассмотренном выше примере функция представляет собой следующее множество упорядоченных пар: f = {(а; b), (b; a), (с; d), (d; d)}. Таким образом, функция есть не что иное, как спецификация подмножества декартова произведения Х У.

Множество всех первых элементов упорядоченных пар (х; у) некоторой функции f называется областью определения этой функции и обозначается Х_f, а множество всех вторых элементов – множеством значений функции, которое обозначается У_f . Если f = {(х; у)} есть функция, то пишут f: Х_f® У и говорят, что f отображает множество Х_f во множество У. В случае Х = Х_f пишется просто f: Х®У.

Если f: Х®У – функция и (х; у) Îf, то пишут у = f(х), а также f: ху,

х Î Х, у Î У, и говорят, что функция f ставит в соответствие элементу х элемент у или, что тоже самое, элемент у соответствует элементу х. В этом случае говорят также, что элемент у является значением функции f в точке х или образом элемента х при отображении f.

Иногда сама функция f обозначается символом f(х). Обозначение функции f:Х®У и ее значения в точке х Î Х одним и тем же символом f(х) обычно не приводит к недоразумению, так как в каждом конкретном случае, как правило, всегда бывает ясно, о чем именно идет речь. Обозначение f(х) часто оказывается удобнее обозначения f:х у при вычислениях. Например, запись f(х) = х² удобнее и проще использовать при аналитических преобразованиях, чем запись f:х х².

Вспомним еще, что бинарное отношение из множества Х во множество У мы определили как всякое подмножество декартова произведения Х У. Таким образом, функция f:Х®У – это просто специальный вид бинарных отношений из Х в У, который удовлетворяет условию: для каждого х Î Х существует единственный у Î У такой, что (х; у) Îf. Подчеркнем, что один и тот же образ могут иметь несколько элементов области определения, и что не все элементы множества У обязаны быть образами некоторых элементов Х, т.е. множество значений функции У_f может совпадать с множеством У, а может быть его собственным подмножеством.

При заданном у Î У совокупность всех таких элементов х Î Х, что

f(х) = у называется прообразом элемента у и обозначается f^-1(у). Таким образом,

f^-1(у) = {х½ х Î Х, f(х) = у}.

Очевидно, что если у Î У У_f, то f^-1(у) = Æ.

Сюръекции, инъекции и биекции

Пусть задано отображение f:Х ® У. Иначе говоря, каждому элементу х Î Х поставлен в соответствие и притом единственный элемент у Î У, и каждый элемент у Î У_fÍ У поставлен в соответствие хотя бы одному элементу х Î Х. Если У=Х, то говорят, что отображение f отображает множество Х в себя. Если У= У_f , т.е. множество У совпадает с множеством значений функции f, то говорят, что f отображает множество Х на множество У, или что отображение f является сюръективнымотображением, короче сюръекцией. Таким образом, отображение f:Х ® У есть сюръекция, если для любого элемента у Î У существует, по крайней мере, один такой элемент х Î Х, что f(х) = у.

Если при отображении f:Х ® У разным элементам х Î Х соответствуют разные элементы у Î У, т.е. при х¢¹ х¢¢ имеет место f(х¢) ¹f(х¢¢), то отображение f называется инъективным отображением или инъекцией. Таким образом, отображение f:Х ® У инъективно тогда и только тогда, когда прообраз каждого элемента у, принадлежащего множеству значений функции f, т.е. y У_f, состоит в точности из одного элемента. Если отображение f:Х ® У является одновременно инъекцией и сюръекцией, то оно называется биективным отображением или биекцией.

Примеры.

1. Функция f:R®R, f(х) = х² не является ни инъекцией, ни сюръекцией, так как разным элементам, например, х¢ = 2 и х¢¢ = -2 соответствует одинаковый образ 4, и любое отрицательное действительное число не является образом ни для одного из элементов области определения.

2. Функция f: {a; b; c; d}®{a, b, g, d, e}, заданная следующим образом: f(а) = b, f(b) = g, f(c)=, f(d) = e является инъективной и не является сюръективной.

Эта функция инъективная, потому что у нее ни для одной пары элементов области определения образы не совпадают, но сюръекцией эта функция не является, потому что элемент d множества У не является образом какого-либо элемента множества Х.

3. С другой стороны, функция g:{a; b; c; d; e}®{a; b; g; d}, определенная так g(a) = a, g(b) = a, g(c) = b, g(d) = d, g(e) = g является сюръективной и не является инъективной.

Эта функция сюръективна потому, что каждый элемент множества У является образом, по крайней мере, одного элемента из множества Х, но инъективной эта функция не является, потому что два элемента а и b области определения имеют один образ.

На практике доказательство того, что заданная функция является инъективной, как правило, бывает проще производить, используя метод доказательства с помощью контрапозиции, согласно которого доказывается, что для всех х¢и х¢¢Î Х из равенства f(х¢)= f(х¢¢) следует, что х¢= х¢¢. Конечно, чтобы показать, что функция не является инъективной, нам достаточно найти контрпример, то есть найти два разных элемента х₁ и х₂ Î Х, у которых образы равны: f(х₁) = f(х₂).

4. Любая линейная функция f:R®R, f(x) = ax+b, (где а,b – фиксированные действительные числа, а¹0) является одновременно и инъективной и сюръективной, т.е. является биекцией.

Чтобы показать, что f является инъекцией, мы должны показать, что для всех действительных чисел х¢и х¢¢ из равенства f(х¢)= f(х¢¢) следует, что х¢= х¢¢. Итак, пусть f(х¢)= f(х¢¢) Û ах¢ + b = ах¢¢ + bÛ ах¢= ах¢¢Û х¢= х¢¢, поэтому f – инъекция.

Чтобы показать, что f – сюръекция, предположим, что у – любое действительное число. Мы должны найти х ÎR такое, что f(х) = у.

Пусть

,

тогда х ÎR и

,

поэтому f -сюръекция.

Рассмотрим функцию f: Х ® У, где Х и У – подмножества R. Если у нас есть график функции у = f(х), то мы можем легко ответить на вопросы: является или нет функция f(х) инъективной или сюръективной?Предположим, что f не инъективна. Тогда существуют два элемента х¢и х¢¢ в Х такие, что х¢¹ х¢¢, но f(х¢)= f(х¢¢) = b, то есть горизонтальная прямая у = b должна дважды пересечь график функции в точках, которые отвечают х = х¢ и х = х¢¢.

Если же f – инъективна, то такой ситуации никогда не возникнет, то есть горизонтальная прямая у = b, проведенная через любую точку bÎ У на оси Оу, никогда не будет иметь с графиком функции более, чем одной общей точки.

Если же f – сюръективна, то У_f = У, и любая горизонтальная прямая, проходящая через точку множества У, обязательно будет иметь общую с графиком точку.

Проведенные рассуждения суммируем в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть f:Х ® У – функция, где Х и У – подмножества R. Тогда:

1) f – инъективна, если и только если каждая горизонтальная прямая, проходящая через точку b на оси Оу, будет иметь самое большее, одну общую точку с графиком f(х);

2) f – сюръективна, если и только если каждая горизонтальная прямая, проходящая через точку bÎ У оси Оу, будет иметь, по крайней мере, одну общую точку с графиком f(х).

Примеры.

График (б) – это график функции, которая сюръективна, но не инъективна. Каждая горизонтальная прямая, проходящая через точки У, обязательно имеет хотя бы одну общую точку с графиком. Однако, у самой функции имеется горизонтальный участок, поэтому при соответствующем значении у горизонтальная прямая будет иметь бесконечно много общих точек с графиком.

Аналогичные рассуждения показывают, что функция, представленная на графике (в), будет одновременно и инъективна и сюръективна, т.е. является биекцией, а функция, изображенная на графике (г), одновременно не является ни инъективной, ни сюръективной.

Если f:Х ® У и А Í Х, то множество S = {у½уÎУ, у = f(х), х Î А}, т.е. множество всех тех у, в каждый из которых при отображении f отображается хотя бы один элемент из подмножества А множества Х, называется образом подмножества А и обозначается S = f(А). В частности, всегда У_f = f(X). Для образов множеств А Х и В Х справедливы следующие соотношения:

f(АÈВ) = f(А)Èf(B),

f(АÇВ) Íf(А)Çf(B),

f(А)f(В) Íf(АВ),

и если АÍВ, то f(А)Íf(В).

Если f:Х ® У и SÍУ, то множество А = {х½хÎХ, f(х)ÎS}

называется прообразом множества S и обозначается А=f^-1(S). Таким образом, прообраз множества S состоит из всех тех элементов хÎХ, которые при отображении f отображаются в элементы из S, или, что то же самое, которое состоит из всех прообразов элементов уÎS, т.е. f^-1(S) = f^{- -1}(у). Для прообразов множеств SÍУ и ТÍУ справедливы соотношения:

f ^-1(S ÈТ) = f ^-1(S) È f ^-1(Т)

f ^-1(S ÇТ) = f ^-1(S) Ç f ^-1(Т)

f ^-1(S Т) = f ^-1(S) f ^-1(Т),

а если SÍТ, то f^-1(S) Íf^-1(Т).

Если АÍХ, то функция f:Х ® У естественным образом порождает функцию, определенную на множестве А, ставящую в соответствие каждому элементу хÎА элемент f(х). Эта функция называется сужением функции f на множестве А и иногда обозначается f_А. Таким образом, f_А: А®У и для любого хÎА имеет место f_А: хf(х). Если множество А не совпадает со множеством Х, то сужение f_А функции f на множестве А имеет другую область определения, чем функция f, и, следовательно, является другой, чем f, функцией.

Композиция функций

Пусть f:Х®У и g:У®Z – функции. Функция F:X®Z, определенная для каждого хÎХ формулой F(x)=g(f(x)) называется композицией (суперпозицией) функций f и g, или сложной функцией, и обозначается .

Композицию функций можно проиллюстрировать следующим образом:

Пример. Пусть Х= {a; b; c; d; e}, У= {a; b; g; d}, Z= {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Пусть f:Х ®У и g:У®Z – функции, определенные соответственно так:

f(a) = b, f(b) = a, f(c) = f(d) = f(e) = d;

g(a) = 3, g(b) = g(d) = 5, g(g) = 1.

Тогда композиция функций : Х®Z будет: а5, b3, с5, d5, e5.

Заметим, что множество значений композиции является подмножеством множества значений функции g, т.е. имеет место

Теорема 2. Пусть ¦:Х®У и g:У®Z. Тогда () (Х) Íg (У) или Í.

Доказательство. Пусть zÎ (gf) (X), тогда существует хÎХ такой, что

()(х) = g(f(x)) = z. Пусть у=¦(х)ÎУ, тогда g(y) =z, поэтому zÎg(Y) и теорема доказана.

Теорема 3. Пусть даны две функции f:Х®У и g:У®Z. Тогда если f и g обе инъективны, то композиция также инъективна, а если f и g обе сюръективны, то и композиция также сюръективна.

Доказательство. Пусть f и g – инъективны. Пусть х¢, х¢¢ÎХ, у¢=f(x¢), у¢¢=f(x¢¢). Тогда из равенства ()(х¢) = () (х¢¢) следует, что g(f(x¢)) = g(f(x¢¢)) или g(y¢) = g(у¢¢)Þ у¢ = у¢¢ (так как g инъективна) Þf(x¢) = f(x¢¢) (так как у¢ = f(x¢), у¢¢ = f(x¢¢) Þ х¢ = х¢¢ (так как f инъективна), следовательно – инъективна.

Пусть f и g сюръективны и zÎZ. Так как g сюръективна, то существует у Î У такой, что g(y) = z, и так как f сюръективна, то существует х Î Х такой, что f(x) = у.

Следовательно, существует х Î Х такой, что () (х) = g(f(x)) = g(y) = z, поэтому сюръективна.

Можно показать, что обратное утверждение не имеет места, то есть если композиция инъективна (сюръективна), то отсюда не следует, что f и g с неизбежностью являются инъективными (сюръективными). Для этого приведем следующий пример:

Пусть

Х= {х₁; х₂}, У={у₁; у₂; у₃}, Z = {z₁; z₂} и определим f:Х®У,

f(х₁) = у₁, f(х₂) = у₂;

g:У®Z, g(у₁) = Z₁, g(у₂) = g(у₃) = Z₂:

Рассмотренный пример приводит к следующей теореме:

Теорема 4. Пусть даны две функции f:Х®У и g:У®Z. Тогда если композиция инъективна, то f также инъективна, а если композиция сюръективна, то g также сюръективна.

Доказательство. В обоих случаях применим метод доказательства с помощью контрапозиции. В первом случае высказывание контрапозиции будет следующим: если f – неинъективная, то и композиция – неинъективная. Предположим, что f – неинъективная, тогда существуют х¢, х¢¢ÎХ такие, что х¢¹х¢¢, но f(x¢) = f(x¢¢).

Следовательно, ()(х¢) = (g°f)(х¢¢), поэтому композиция функций также не инъективна.

Во втором случае высказывание контрапозиции будет таким: если g несюръективна, то композиция несюръективна. Предположим, что g несюръективна. Тогда множество значений этой функции g(У) является собственным подмножеством множества Z. Так как, по теореме 2, ()(Х) Íg(Y), то ()(Х) есть также собственное подмножество множества Z, поэтому композиция не является сюръективной функцией.