Использование расчетных формул в задачах

Задача 1.

Определить центр тяжести сечения.

Решение

Укажем оси координат X и Y с началом в нижнем левом углу сечения.

Сечение разобьем на два простых сечения – прямоугольник 1 с центром тяжести С₁ и квадрат 2 с центром тяжести С₂.

Координаты центра тяжести С сечения находим по формулам:

и , где

x₁ = 15 мм - координата центра тяжести С₁прямоугольника по оси Х;

y₁ = 30 мм - координата центра тяжести С₁ прямоугольника по оси Y;

x₂ = 45 мм - координата центра тяжести С₂ квадрата по оси Х;

y₂ = 15 мм - координата центра тяжести С₂квадрата по оси Y;

F₁ = = 1800 мм2 - площадь прямоугольника;

F₂ = = 900 мм2 - площадь квадрата.

Тогда

мм, мм.

Задача 2.

К стальному валу приложены три известных момента М₁, М₂, М₃. Требуется: 1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равно нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его значение до ближайшего, равного 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм; 4) построить эпюру углов закручивания; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (на 1 м).

Для стали принять G = МПа. Полярный момент инерции м⁴

a = 1,9 м, b = 1,2 м, c = 1,4 м,

М₁= 1900 Нм, М₂ = 1200 Нм,

М₃ = 1700 Нм, [τ] = 75 МПа.

Решение.

1) Угол поворота правого концевого сечения определяется как алгебраическая сумма взаимных углов поворота сечений на участках АВ, BC, CD, DE

.

Отсюда определим момент X

Х = 1178,125Нм

2) Строим эпюру крутящих моментов M_К (см. рис а)

Определяем опорные реакции. Отбросив опору (в данном случае защемление), заменим ее возможными реакциями. Т. к. все активные силы представляют собой крутящие моменты, то в опоре возникает только одно воздействие крутящий момент М_Е, который определим из уравнения равновесия:

; М_Е – 1900 + 1200 – 1700 + 1178,125 = 0

М_Е = 1900 – 1200 + 1700 – 1178,125 = 1221,875 Нм

При построении эпюры крутящих моментов М_К применяем метод сечений дл каждого из четырех участков.

Для участка DE:

; Нм

Для участка CD:

; Нм

Для участка ВС:

; Нм

Для участка АВ:

; Нм

3) Определяем диаметр вала

Из эпюры максимальный М_К = 1221,875 Нм на участке DE. На этом участке возникает максимальное касательное напряжение , где W_P – момент сопротивления сечения

Приравнивая τ [τ], определим диаметр вала

0,043 м или 43 мм,

Согласно условиям задачи принимаем d = 45 мм.

4) Строим эпюру углов закручивания (см. рис. в) для всех участков по формуле

.

Выбираем начало координат в точке Е.

Участок DE:

Угол поворота сечения, взятого на расстоянии z от неподвижного сечения Е, будет

, где ;

при z = 0 φ = 0;

при z = a = 1,9 м

= – 0,071 рад.

Участок CD:

, где

при z = а = 1,9 м φ = – 0,071 рад;

при z = (a+ b) = 3,1 м = – 0,046 рад.

Участок BC:

, где

при z = (а + b) = 3,1 м φ = – 0,046 рад;

при z = (a+ b +c) = 4,5 м = – 0,068 рад.

Участок AB:

, где

при z = (а + b + c) = 4,5 м φ = – 0,068 рад;

при z = (2a + b + c) = 6,4 м = 0 рад.

5) Наибольший относительный угол закручивания будет на участке DE

== 0,037 рад/м

Задача 3.

Для поперечного сечения, составленного из стандартных прокатных профилей, требуется:

1) определить положение центра тяжести;

2) найти значения осевых и центробежных моментов инерции относительно горизонтальной и вертикальной осей, проходящих через центр тяжести сечения;

3) определить направления главных центральных осей инерции;

4) найти значения моментов инерции относительно главных центральных осей;

5) вычертить сечение в масштабе 1:2 и указать на нем все оси и размеры.

Схема сечения состоит из двух прокатных профилей:

профиля I - швеллера № 30,

профиля II - двутавра № 33.

Решение.

Геометрические характеристики швеллера берем по ГОСТ 8240-72:

h^I = 300 мм, b^I = 100 мм, d^I = 6,5 мм, t^I = 11 мм,

см⁴, см⁴, А₁ = 40,5 см², z₀ = 2,52 см.

Геометрические характеристики двутавра берем по ГОСТ 8239-72:

h^II = 330 мм, b^II = 140 мм, d^II = 7 мм, t^II = 11,2 мм,

см⁴, см⁴, А₂ = 53,8 см².

Выбираем вспомогательные оси V, Zи определяем относительно их координаты центра тяжести составного сечения

19,7 см;

13,4 см.

Вспомогательные центральные оси X_C и Y_C параллельны осям V и Z.

Вычисляем осевые и центробежные моменты инерции относительно этих осей. Центральные вспомогательные осиX_C и Y_C параллельны осям центральным осям швеллера и двутавра, относительно которых моменты инерции известны.

Тогда

Осевые моменты инерции

см⁴ = м⁴

см⁴ = м⁴

Центробежный момент инерции

Для швеллера оси X₁, Y₁ являются главными, поэтому . Для двутавра оси X₂, Y₂ являются главными, поэтому .

Тогда

см⁴ = м⁴

Определяем положение главных осей инерции составного сечения (угол наклона) к исходной оси X_C

–1,165 .

Определяем главные моменты инерции составного сечения по формулам

м⁴;

м⁴.

Проверим правильность расчетов по выполнению соотношений

м⁴

м⁴

, то есть расчет произведен точно.

Задача 4.

Определить диаметр стального вала постоянного сечения из условия прочности, приняв [τ] = 30 Н/мм². Мощности P₁ = 52 кВт, Р₂ = 100 кВт, Р₃ = 60 кВт. Угловая скорость ω = 32 рад/с.

Решение

Разбиваем вал на три участка – по сечениям, в которых приложены вращающие моменты. Находим вращающие моменты

= 1625 Нм, = 3125 Нм, = 1875 Нм.

Равномерное вращение обеспечивается условием

; =0; = – 375 Нм.

Знак «–» указывает, что момент M₄ направлен в противоположную сторону, указанному в условии задачи.

Крутящий момент на участке 1

Справа ;

3125 Нм.

Крутящий момент на участке 2

Справа ;

3125 – 1875 = 1250 Нм.

Крутящий момент на участке 3

Справа ;

1625 + 3125 – 1875 = 375 Нм.

По полученным результатам строим эпюру.

Диаметр вала определяем для наиболее напряженного участка.

Наиболее напряженный участок – первый – 3125 Нм.

Касательное напряжение сечения вала . Из условия прочности .

Отсюда = 80,5 мм.