Сравнительный анализ использо-вания занимательных задач в практической деятельности древнего и c

Министерство образования и науки Республики Казакстан

Акимат г.Алматы

Университет «Туран»

ГОРОДСКОЙ КОНКУРС ШКОЛЬНЫХ НАУЧНЫХ РАБОТ

ДОКЛАД

Секция: математика

Тема: «Сравнительный анализ использования занимательных задач в практической деятельности древнего и coвременного мира»

Школа лицей №8 тел:292-67-47

Класс 10 «А»

Баимбетова Динара и Пак Екатерина

Тел: 87016699993

Научный руководитель

Галактионова Любовь Петровна

Алматы - 2010

Данный научный проект включает в себя исследования и сравнительный

анализ использования математических задач на практике в древности и современном мире. В работе рассматривалась математика Древнего Египта, междуречья и Древней Греции, а также новые сферы использования.

Цель исследования.

Целью данного проекта является изучение и анализ занимательных задач древнего и современного мира, выявление сходств и различий.

Гипотеза: открытия древних математиков используются по сей день, но, благодаря современным ученым, математика достигла еще более высокого уровня, но и это не предел.

Этапы исследования: изучение достижений математиков Древнего Египта, Междуречья, Древней Греции, использование математики в информационных технологиях, в физике и в быту. Работа с энциклопедиями, материалами Интернет сайтов.

Методика исследования: аналитический, описательный методы, сравнение и систематизация данных.

Новизна исследования: на основе сравнительного анализа выявлены специфика и особенности использования математических задач во все времена.

В истории науки принято называть первым математиком Фалеса.

Математика является одним из важнейших открытий человечества.

С XVIII в., со времен Эйлера и Лагранжа, математика служит базой для инженерных наук. Все крупные технические достижения – от строительства зданий и мостов до раскрепощения атомной энергии, сверхзвуковой авиации и космических полетов - были бы не возможны без математики. Потребность решать эти грандиозные задачи привела к созданию компьютеров, и на наших глазах происходит новая техническая и информационная революция. Наше время – период невиданного расцвета математики.

Древний мир

Самые ранние математические тексты, известные в наши дни, оставили великие цивилизации древности – Египет и Месопотамия, или Междуречье.

Древний Египет

Уровень древнеегипетской математики был довольно высок. Древние греки, достижения которых лежат в основе современной науки, считали себя учениками египтян.

Все правила счета древних египтян основывались на умении складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы.

Для дробей были специальные обозначения. Египтяне использовали дроби вида 1/п, где п - натуральное число. Такие дроби называются аликвотными. Единственная неаликвотная дробь, которую «признавали» египетские математики, - это 2/3. Действияс дробями составляли особенность египетской арифметики.

В египетских папирусах встречаются также задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии, что еще раз подчеркивает теоретический характер древней математики.

Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа π,которое из формулы для площади круга диаметра d:

Египтяне предполагали, что (погрешность менее 1 %)

Среди пространственных тел самым «египетским» можно считать пирамиду. Так вот, оказывается, кроме объемов куба, параллелепипеда, призмы и цилиндра египтяне умели вычислять объем усеченной пирамиды, в основаниях которой лежат квадраты со сторонами a и b, а высота равна h. Они применяли формулу

Эта формула считается высшим достижением древнеегипетской математики.

Междуречье

В Вавилонском царстве всеми расчетами занимались писцы. Школа, где обучались писцы называлась «дом табличек». Для таких школ предназначались специальные математические таблички. Тексты на них можно разделить на два класса: таблицы и задачники.

Среди вычислительных задач на клинописных табличках встречаются задачи на арифметические и геометрические прогрессии, представления о которых у вавилонян были более развиты чем у египтян. Методы решения в основном опирались на идеи пропорциональной зависимости и среднего арифметического. Вавилонские писцы знали правило суммирования п членов арифметической прогрессии:

Вавилонские математики умели решать квадратные уравнения, знали теорему в последствии названную как теорема Пифагора, о свойствах прямоугольных треугольников, могли решать достаточно сложные задачи стереометрии.

В клинописных текстах содержатся первые задачи на проценты - ведь Вавилон стоял на пересечении торговых путей, и здесь рано появились денежные знаки и кредит. Было у вавилонян и правило для приближенного вычисления квадратных корней.

Открытия, сделанные математиками Междуречья, поражают своим размахом. Ведь именно здесь появилась первая позиционная система счисления, которая оказалась выше, чем у греков. Здесь впервые была разработана алгебра линейных и квадратных уравнений и рассмотрены первые неопределенные уравнения, возникшие из геометрических задач. Такая тесная связь геометрических задач с алгеброй и теорией чисел - одна из особенностей вавилонской математики.

Фалес и первые доказательства

Фалес— древнегреческийфилософ и математик,купец и путешественник (он родился в VII в. до н. э.в городе Милеете.).

Он был первым, кто доказал некоторые геометрические предложения, что превратило геометрию из свода правил в подлинную науку.

Фалес доказал ряд первых теорем геометрии:

равенство вертикальных углов, равенство углов при основании равнобедренного треугольника. Он установил и один из признаков равенства треугольников: если два треугольника имеют равную сторону и два равных угла, прилегающих к этой стороне, то эти треугольники равны.

Фалес не был только «чистым» математиком, он решал и прикладные задачи. Измерив тень от египетской пирамиды и тень от шеста и применив свои теоремы о подобии, он вычислил высоту пирамиды. Так родилась наша наука. Фалес сделал и много открытия в области астрономии.

Архимед

Несомненно, Архимед (около 287 - 212 до н. э.) - самый гениальный ученый Древней Греции. Его труды посвящены не только математике. Он сделал замечательные открытия в механике, хорошо знал астрономию, оптику, гидравлику и был поистине легендарной личностью. Знание гидравлики позволило Архимеду изобрести винтовой насос для выкачивания воды. Такой насос до недавнего времени применялся на испанских и мексиканских серебреных рудниках.

Самые замечательные математические открытия Архимеда связаны с его методами вычисления площадей и объемов. Архимед вычислил площадь произвольного сегмента параболы.

Архимеду принадлежит много замечательных геометрических открытий. Он научился вычислять стороны вписанного семиугольника; доказал, что наклонное сечение конуса представляет собой эллипс. Формулу нахождения площади треугольника по длинам его сторон:

Называют формулой Герона, но Архимед знал ее раньше.

Кроме того, Архимед построил спираль, называющуюся теперь его именем.

«Арифметика» Диофанта

До наших дней дошли два произведения Диофанта, оба не полностью.

Это: «Арифметика» (шесть книг из тринадцати) и отрывки из трактата «О многоугольных числах». Но о самом авторе не известно почти ничего. Благодаря буквенной символике Диофанта алгебра обрела новый язык, гораздо более оперативный и удобный, чем язык геометрии.

Диофант сделал решительный шаг в алгебре – ввел отрицательные числа и сформулируровал два основных правила преобразования уравнений: правило переноса члена уравнения из одной части уравнения в другую с обратным знаком и правило приведения подобных членов.

Современный мир

Теория информации

С давних пор люди задумывались над тем, как с помощью технических средств упростить и ускорить работу с информацией. Изобретение книгопечатания позволило быстро копировать информацию и облегчило ее хранение. В XIX в. заметно увеличились темпы передачи информации:

сначала пароходы и паровозы стали перевозить почту, затем появился телеграф, а в конце века - телефон. В хх в. информация превратилась в глобальную - ее можно передавать за считанные минуты в любую точку земного шара, причем не только тексты, но и изображения.

В хх в. появились технические устройства и приборы для переработки информации: приборы автоматической телефонной станции (АТС) ,

компьютер.

Любой процесс передачи информации можно представить несложной схемой. От передатчика информации по каналу связи к приемнику информации. В данной схеме основным является надежность и время передачи, преобразования и защита информации.

Различные технические средства обеспечивают необходимое в каждом конкретном случае качество передачи. Ихразрабатывают специалисты по технике связи. Однако большую роль в теории информации играют и математические методы. В их основе лежат принципы измерения информации, с открытия которых и началась теория информации.

Почта при расчетах количества информации может обойтись традиционными физическими мерами - весом и объемом писем и посылок. Но для современных систем таких «грубых» мер недостаточно. При отправке телеграмм мы платим за каждое слово. Чем длиннее телеграмма, тем она дороже не только нам, но и телеграфной службе: длинный текст дольше кодируется в передатчике (т. е. превращается в электрические сигналы), дольше декодируется в приемнике, дольше передается по каналу связи. Итак, при передаче сообщения важна его длина. Но тогда точнее измерять ее не числом слов, а числом букв и цифр, короче говоря - числом символов (знаков).

Представим себе, что мы передаем числа. Тогда число 25 после выражения в электрические сигналы будет выражено пятью знаками в двоичной системе: 11001. в обоих случаях содержание информации одно и то же, но длина записей различна.

Чем больше мощность алфавита, тем короче запись. Самый бедный алфавит - двоичный: он состоит из двух символов, неважно каких. И у большого, и у маленького алфавита есть: свои плюсы и минусы.

Какой алфавит выбрать - решают проектировщики конкретной системы передачи. Но для измерения информации желательно иметь единицы, которые не зависели бы от алфавита. В качестве такой единицы выбрали бит - единицу минимальной по числу символов двоичной системы кодирования.

Более крупной единицей информации является байт - запись из восьми битов. Общее количество символов, используемых в обычных текстах, больше чем 2⁷=256. (На клавиатуре компьютера можно насчитать около 150 знаков.)

При записи обычных текстов каждый символ, как правило, кодируется одним байтом. Следовательно, число байтов примерно равно числу символов; но байтов может быть больше за счет пробелов в тексте.

Измерение информации, основанное на подсчете числа символов в сообщении, необходимо для того, чтобы оценить возможности технических устройств, работающих с ней. Количество информации, установленное таким способом, называют объемом информации. Объем информации, которая может в них храниться (объем памяти), измеряется в килобайтах

(тысячах байтов) и мегабайтах (миллионах байтов). Чем больше объем памяти компьютера, тем шире его возможности. Время передачи сообщения по каналу связи зависит не только от длины текста, но и от того, какой объем информации за единицу времени можно передать через канал, или от пропускной способности. Эта величина обычно измеряется в килобайтах в

секунду.

Математические основы информатики

Криптография

Алгоритмы для защиты конфиденциальной информации, включают в себя шифрование.

Теория графов

Основы структур данных и алгоритмов поиска.

Математическая логика

Булева логика и другие способы моделирования логических запросов.

Теория типов

Формальный анализ типов данных и использование этих типов для понимания свойств программ, в частности, их безопасности.

Финансовая математика

Финансовая математика- раздел прикладной математики, имеющий дело с математическими задачами, связанными с финансовыми расчётами.

Основные направления:

· классическая финансовая математика (проведение процентных расчётов и анализ потоков платежей, применяемые в банковском деле, кредитовании, инвестировании)

· стохастическая финансовая математика, включающая расчёт безарбитражной (или «справедливой») цены финансовых инструментов

· проведение актуарных расчётов (составляющих математическую основу страхования)

· эконометрические расчёты, связанные с прогнозированием поведения финансовых рынков

Преобразования

Арифметика ДифференциальноеВекторный

и интегральноеанализ

исчисление

Анализ

ДифференциальныеДинамическиеТеория

Уравнениясистемыхаоса

Арифметика – Векторный анализ – Анализ – Теория меры – Дифференциальные уравнения – Динамические системы – Теория хаоса – Перечень функций

Пространственные отношения

Более наглядные подходы в математике.

Геометрия ТригонометрияДифференциальная Топология

геометрия

Фракталы

Геометрия – Тригонометрия – Алгебраическая геометрия – Топология – Дифференциальная геометрия – Дифференциальная топология – Алгебраическая топология – Линейная алгебра – Фракталы.

Заключение

Таким образом проведено сравнительное исследование различных сфер

применения математики. Ученые древности внесли огромный вклад в развитие математики и заложили ее основу. Ихоткрытия и исследования мы используем и сейчас. Каждый школьник знает теорему Пифагора, на основе математики Древнего Египта мы строим небоскребы, поражающие своей высотой. Но и современная математика не стоит на месте. На основе математики появились такие науки как информатика, экономика и многие другие. Математика не потеряла своего значения: она используется во всех видах деятельности человека, развивается и достигает новых высот.